Элементы теории вероятностей. Решение текстовых задач на геометрическую вероятность

1.

Элементы теории
вероятностей
Решение текстовых задач на
геометрическую вероятность

2.

Задача 1. Выберем на географической карте мира случайную
точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова
вероятность, что эта точка окажется в Казахстане?
Число исходов бесконечно.
Вероятность будет зависеть от размера карты
(масштаба).

3.

Задача 1. Выберем на географической карте мира случайную
точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова
вероятность, что эта точка окажется в Казахстане?
S ( A)
P( A)
?
S ( )
Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей
карты занимает Казахстан.
Точнее, какую часть всей площади карты составляет Казахстан.
Отношение этих площадей и даст искомую вероятность.

4.

Общий случай: в некоторой ограниченной области случайно
выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в
область А? На прямую L?
S ( A)
P( A)
S ( )
L
А
0
S ( L) 0; P( L)
0
S ( )

5.

Вероятность попадания точки на территорию Казахстана:
Р(А) =
площадь Казахстана на карте .
площадь карты
Вероятность попадания точки на Гринвичский меридиан:
Р(А) =
площадь меридиана = 0.
площадь карты

6.

Геометрическое определение вероятности
Если предположить, что попадание в любую точку области
равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное
множество А будет равна отношению площадей:
S ( A)
P( A)
S ( )
Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна
нулю.
Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на
прямой:
V ( A)
L( A)
P( A)
; P( A)
V ( )
L ( )

7.

№1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом
отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок:
1) АМ; 2) АС; 3)МС; 4) МВ; 5) АВ?
А
М
С
В
Решение.
1) A={точка Х попадает на отрезок АМ}, АМ=2см, АВ=12см,
P ( A)
AM
2 1
AB 12 6
2) В ={точка Х попадает на отрезок АС}, АС=2см+4см=6см,
P( B)
AC 6 1
AB 12 2
3) С ={точка Х попадает на отрезок МС}, МС=4см, АВ=12см,
P (C )
MC
4 1
AB 12 3
4) D={точка Х попадает на отрезок МВ}, МВ=12см–2см=10см,
P( D)
MB 10 5
AB 12 6
5) Е={точка Х попадает на отрезок АВ},
P ( A)
AB
1
AB

8.

№2. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства х 1 2
Какова вероятность того, что оно являетя и решением неравенства х 0,5 ?
Решение:
1) х 1 2
1;3
длина отрезка 1;3 равна 4.
2) х 0,5
0,5;0,5
длина отрезка 0,5;0,5 равна 1.
1
Р А 0,25
4
Ответ : 25%

9.

№3 На рисунке изображена цель, состоящая из
концентрических кругов с радиусами 1, 3 и 5. Если
известно, что наудачу выстреленная стрела из лука
попадет в эту цель, то найдите вероятность того, что она
попадет в область:
а) закрашенную в красный цвет;
б) закрашенную в зеленый цвет;
в) закрашенную в синий цвет

10.

Решение:
2
Площадь большого круга R=5, S R 25
2
среднего круга R=3,
S R 9
2
S R
малого круга R=1,
1
a ) P A
0,04 4%
25 25
9
8
b) P A
0,32 32%
25
25
25 9 16
c ) P A
0,64 64%
25
25

11.

№4. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова
вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей
стороны квадрата будет меньше 1 см?
Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от
ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.
Площадь закрашенной части квадрата
2 – 4см2 = 12см2.
16см
12 3
P( A) 0,75
Значит,
16 4

12.

№5. Округлите до сотых и используйте 3.14 для π.
a.Найдите площадь круга.
b.Найдите площадь квадрата.c.Найти вероятность того, что
брошенный дротик случайно попадет в круг. Дайте ответ в виде
дроби, десятичной дроби и процента.

13.

Решение:
a ) S R 3 9
2
2
b) S кв 6 36
2
9 9 3,14 28,26
0,785 78,5%
с ) P A
36
36
36

14.

№6. Прямоугольный треугольник ABC вписан в круг. Известно,
что AC = 26, BC = 24, AB = 10. Найти вероятность того, что
случайно брошенный дротик не попадет в треугольник. Дайте
ответ в виде дроби, десятичной дроби и процента.

15.

Решение:
2
26
S круга R 169
2
2
1
S треуг 24 10 120
2
Р А
169 120 530,66 120 410,66
0,774 77,4%
169
530,66
530,66

16.

№7. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В
решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50
случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените
приближенно радиус мяча.
Решение.
NA
50
1
P ( A)
N
100
2
S мяча
R 2
P ( A)
S кв
400
R 2
1
400
2
400
200
2
R
2
200
2
R
10
4,5(см)

17.

Рефлексия: оцените свои знания по теме
«Геометрическая вероятность» попаданием в цель.
Наклейте стикер на соответствующую область