Принципы и соотношения численных методов инженерного анализа

1.

Барановичский государственный
университет ―
региональный центр подготовки
высококвалифицированных, конкурентоспособных
специалистов в области образования, информационных
технологий, экономики, права, сельского хозяйства
и машиностроения.

2.

ОСНОВЫ АВТОМАТИЗАЦИИ
КОНСТРУИРОВАНИЯ
Принципы и соотношения численных методов
инженерного анализа
Н.Ю. Кондратчик, старший
преподаватель кафедры технологии и
оборудования машиностроения
О.И. Наливко, преподаватель кафедры
технологии и оборудования
машиностроения
Барановичи
2020

3.

СОДЕРЖАНИЕ
1. Классификация и применимость конечных элементов.
2. Общая схема компьютерной реализации МКЭ.
3. Методы оптимизации в инженерном анализе.
4. Комплексные решения задач оптимального проектирования.
5. Методы визуализации в системах инженерного анализа.
6. Погрешности моделирования и расчетов.
7. Интерпретация результатов.

4.

1. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИМЕНИМОСТЬ КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ.
Суть метода конечных элементов (МКЭ) заключается в том, что область
(одно- , двух- или трехмерная), занимаемая конструкцией, разбивается на
некоторое число малых, но конечных по размерам подобластей.
Последние носят название конечных элементов (КЭ), а сам процесс разбивки –
дискретизацией.

5.

Все многообразие конечных элементов (КЭ), которые используются для
инженерно-физического моделирования машиностроительных конструкций и
процессов, можно условно разделить на следующие две большие группы:
• «Классические», к которым относятся самые простые и универсальные
элементы;
• «Проблемно-ориентированные» , предназначенные для решений специальных
задач.
В разряд классических будем относить элементы, построенные на
классических принципах метода перемещений, которые составляют типовой набор
КЭ для создания моделей и используются в различных предметных областях.
Такие КЭ составляют основу библиотеки конечных элементов практически любой
промышленной CAE — системы.

6.

ОСНОВНЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
№
Тип элемента
Назначение
Комментарий
Стержневой
элемент
Моделирование ферм,
стоек, ребер, поясов и
других элементов
каркаса изделия
Работает на
растяжениесжатие
2
Плоский
треугольный
элемент
Моделирование
изотропной обшивки
мембран
Воспринимает
растяжениесжатие в своей
плоскости и
сдвиг
3
Мембранный
четырехугольн
ый элемент
Моделирование
изотропной обшивки
мембран
Составной
элемент,
удобный для
генерации
сетки
1
Схема элемента

7.

ОСНОВНЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
№
Схема элемента
Тип
элемента
Назначение
4
Четырехугол
ьный
сдвиговый
элемент
5
Объемный
Массивные
элемент
в изотропные
форме
машин
тетраэдра
6
Комментарий
Стенки
балок
и Работает
обшивка работающая только
на
на сдвиг
чистый сдвиг
Простейший
детали универсальны
й
объемный
элемент
Объемный
Массивные
элемент
в изотропные детали
форме куба
Составной
элемент,
удобный для
генерации
сетки

8.

ОСНОВНЫЕ КЛАССИЧЕСКИЕ КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
№
7
8
Схема элемента
Тип
элемента
Назначение
Комментарий
Объемный
осесимметри
чный
элемент
Моделирование
массивных тел
вращения
Обеспечивает
удобство
моделирования
тел вращения
Трехмерная
оболочка
Моделирование
несущих оболочек
Воспринимает
изгиб и
нагрузку из
плоскости

9.

Элементы, имеющие только угловые узлы, обеспечивают линейную
интерполяцию функций. Это приводит к тому, что на границах смежных элементов
возникают скачки и разрывы функций. Поэтому для более точного описания
геометрии тела и искомых функций разработаны элементы, имеющие
дополнительные узлы на своих границах. Они обеспечивают интерполяцию
высокого уровня – квадратичную или даже более высоких порядков.
Такие элементы иногда называют параболическими:

10.

2. ОБЩАЯ СХЕМА КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ МКЭ.
Имея математический аппарат для получения матриц жёсткости
конечных элементов, зная методы суммирования жесткостей элементов в
глобальную матрицу жесткости всей конструкции, а также освоив правила
наложения граничных условий, можно производить анализ напряженнодеформированного состояния машиностроительных изделий любого
размера и самой сложной формы. Теоретически, соотношения метода
конечных элементов можно использовать даже в аналитических расчетах,
выполняемых вручную. Но с увеличением числа элементов, трудоемкость
вычислений растет в геометрической прогрессии. Поэтому практическое
применение
МКЭ
стало
возможным
лишь
с
появлением
высокопроизводительных электронно-вычислительных машин.
Схему применения методов инженерного анализа в литературе по
МКЭ часто разделяют на три больших стадии: препроцессирование,
процессирование и постпроцессирование.

11.

Препроцессирование связывается с подготовкой исходных
данных для расчета. Наряду с разбивкой исследуемого объекта на
конечные элементы, нагрузки должны быть приведены к системе узловых
сил.
На текущей стадии создается конечноэлементная модель, которая
хранится в памяти компьютера в виде таблиц (массивов):
• таблица данных об узлах, включающая координаты узлов, узловые силы
и степени свободы;
• таблица данных об элементах, включает информацию о номерах узлов,
принадлежащих каждому элементу, его жесткостных характеристиках и
свойствах выбранного конструкционного материала.

12.

В результате препроцессирования собственно и создается
конечноэлементая модель, которая хранится в памяти компьютера в виде
следующих таблиц (массивов):
• таблица данных об узлах, включающая координаты узлов, узловые
силы и степени свободы;
• таблицы данных об элементах, которые составляются для каждого
типа элементов и включают информацию о номерах узлов,
принадлежащих каждому элементу, его жесткостных характеристиках:
толщинах,
поперечных
сечений
и
свойствах
выбранного
конструкционного материала.

13.

Второй этап — процессирование может производиться
автоматически с помощью компьютерной программы, так называемой
МКЭ - процессором, или решателем (solver). С помощью МКЭ-процессора
автоматически формируются матрицы жесткостей для всех элементов,
собираются в глобальную матрицу жесткости конструкции. Решается
система линейных уравнений (СЛАУ), в результате чего определяются
неизвестные перемещения для всех узлов модели.
По заданию оператора автоматизированной системы уже на этом
этапе могут вычисляться компоненты напряжений в элементах и другие
интересующие разработчика параметры изделия.

14.

Постпроцессирование является не самым затратным по
вычислениям и трудоемкости, но самым ответственным, и в значительной
мере чисто человеческим этапом инженерного анализа.
Формально постпроцессирование заключается в обработке и
визуализации результатов расчетов конечноэлементной модели.
Формируются таблицы отчетов, строятся графики и диаграммы.
На данном этапе широко используются средства интерактивной
компьютерной графики, которая при обработке результатов расчетов
выступает в роли главного инструмента, поскольку автоматизирует
создание разнообразных графических картин, необходимых специалисту
для принятия итоговых выводов и проектных решений.

15.

Только обоснованные выводы и профессиональные инженерные
решения, принятые на данном этапе работ, могут как технически, так и
экономически оправдать все многочисленные затраты на моделирование.
Но выводы и принятие решений — уже интеллектуальная задача, которую
в состоянии выполнить только профессионально подготовленный в своей
предметной области, обученный и тренированный специалист.

16.

3. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ИНЖЕНЕРНОМ АНАЛИЗЕ.
Важнейшей задачей инженерного анализа, как и всей проектной
деятельности в целом, являются не только поверочные расчеты вариантов
технических решений, например, выявление предельных напряжений и
недопустимых деформаций в конструкциях, но и отыскание путей
улучшения — оптимизация изделий и процессов.
Можно утверждать, что любой технический проект может и
должен ставиться и решаться как оптимизационная задача.

17.

Поиск рационального решения в инженерной практике может
достигаться посредством следующих основных подходов:
• Традиционный подход, или «экспертная методика», предполагает
следование определенным нормативам и правилам, в которых заложен
«опыт
предыдущих
поколений».
Наиболее
известные
и
апробированные технические решения находят свое отражение в виде
стандартов и регламентов. Рекомендации, заложенные в стандартах и
справочниках, формировались поколениями разработчиков и содержат
проверенные наборы рецептов «что делать», «что такое хорошо, а что
такое плохо». Этот подход рекомендуется для типовых разработок.
Очевидно, что для инновационных проектов экспертная методика не
совсем подходит, а в ряде случаев консерватизм оказывается вреден,
поскольку накладывает существенные ограничения на область поиска.

18.

• «Эвристическая методика». Разработчики новой техники опираются
на инженерную интуицию, присущую хорошо подготовленному и
опытному специалисту, а также используют для активизации
креативных способностей человека методы и рекомендации поискового
конструирования и инженерного творчества. Это дает неплохие
результаты, даже и в ручном исполнении, особенно когда решаются не
слишком громоздкие и точные задачи. Эвристика хорошо
зарекомендовала себя в изобретательской деятельности и претендует на
роль самостоятельного направления технических наук.
Большинство объектов машиностроения отличаются высокой
сложностью структуры и неохватным разнообразием форм и вариаций.
Только появление и развитие компьютерного моделирования, и в том
числе систем инженерного анализа, позволяют автоматизировать
оптимизацию технических объектов и процессов.

19.

Научно обоснованное и гарантированное достижение оптимума
дает «использование методов оптимального проектирования», которые
опираются на научную теорию и имеют хорошо разработанный и строгий
математический аппарат.
Возникнув как средство решения прикладных задач, оптимальное
проектирование достаточно давно перестало быть «чистой» наукой,
превратившись в реальный рабочий инструмент, который может быть
использован на всех уровнях проектирования: от общей концепции
изделия до конструирования отдельных деталей.

20.

Обстоятельство, оказавшееся принципиальным для объединения
методов численного анализа и оптимизации, — это развитие
препроцессоров в программах численного анализа. На препроцессор
возлагается задача автоматизированного построения оптимальной
конечно-элементной сетки, а также реализация граничных условий. Кроме
того, производительность как программных, так и аппаратных средств
сейчас такова, что методы численного анализа могут использоваться
совместно с алгоритмами оптимизации, в то время как раньше
использовались, в основном, аналитические решения.

21.

Рассмотрим иллюстрацию применения методов оптимального
проектирования на примере проектирования силовых
конструкций.
• Параметрическая оптимизация силовых конструкций позволяет
произвести эффективный подбор основных параметров силового
набора: поперечных сечений каркаса, толщин слоев материала, углов
армирующих волокон и т.д. В том числе возможна локальная
модификация (в рамках заданной структуры) и элементов формы
объемного тела.
• Структурная оптимизация машиностроительных конструкций
предполагает выявление их рациональной структуры, то есть типа,
расположения и взаимной связи силовых элементов, составляющих
конструкцию.

22.

4. КОМПЛЕКСНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ.
Моделирование, как и проектирование в целом, состоит из
серии последовательных итераций — приближений. На ранних
этапах проектирования используются приближенные описания и
выполняются проектировочные расчеты.
Полученные описания и модели в дальнейшем могут
уточняться и использоваться для поверочных расчетов.
Применение систем инженерного анализа и структурной
оптимизации наиболее эффективно на ранних стадиях
конструкторско-технологической подготовки производства. В этом
случае удается избежать концептуальных ошибок в проектах и
расчетным путем обосновать выбор рациональных вариантов
решения сложных инженерных задач.

23.

В качестве примера комплексного использования методов
инженерного анализа, оптимизации и геометрического моделирования для решения типовых инженерных задач рассмотрим
информационную технологию, реализованную в компьютерном
тренажере по проектированию силовых машиностроительных
конструкций.
.

24.

Конечноэлементная модель (КЭМ-1) первого уровня

25.

Визуализация оптимального распределения материала

26.

Визуализация силовых потоков в КЭМ-1

27.

Использование растровой подложки с графической моделью ТОК для
принятия решения о рациональной форме силовой части конструкции

28.

Использование растровой подложки для принятия решения о расположении
силовых элементов в конструкции

29.

Вариант 3D модели, разработанный на основе результатов инженерного
анализа

30.

5. МЕТОДЫ ВИЗУАЛИЗАЦИИ В СИСТЕМАХ ИНЖЕНЕРНОГО
АНАЛИЗА.
В интерактивных автоматизированных системах
большая часть графических изображений не является
конечным продуктом, кроме иллюстраций и чертежей, а
используется на промежуточном этапе для анализа и
принятия решений пользователем. То есть графическая
визуализация выступает как часть одного из этапов общего
процесса принятия решений по проектной задаче.

31.

Чаще всего графические картины, применяемые для
инженерного анализа машиностроительных изделий, представляют
собой отображения на поверхности или срезе конечноэлементной
модели полей параметров различной природы: полей температур,
усилий, напряжений и пр.
Некоторые из рассматриваемых параметров являются
скалярными, например величины напряжений и температур, а
некоторые векторными, например направления усилий и скоростей.
Причем поля физических параметров, непрерывные по своей природе,
при использовании сеточных моделей становятся дискретными. В этих
моделях распределение параметров кусочно-непрерывное и при
переходе от элемента к элементу могут быть изломы и разрывы
аппроксимирующих функций.

32.

Для изображения скалярных полей параметров в различных
предметных областях широко используются картины, получаемые с
помощью построения линий равного уровня (изостаты), или графики в
виде эпюр.
Визуализация скалярных полей параметров:
Изостаты
Изменение характера
изображения в
зависимости от
числа изостат
Эпюры

33.

Указанные
способы
достаточно
хорошо
отражают
количественное распределение параметров, так как линии равного
уровня или масштаб эпюр имеют конкретные числовые значения.
Однако они не совсем удобны для отображения качественной картины
физических явлений. Линии равного уровня проводятся с определенным
шагом, то есть получаемая картина в свою очередь дискретна, а
градиенты между различными цветами неоднозначно воспринимаются
человеком.
Для получения изостат в кусочных моделях требуется предварительно производить сглаживание полей параметров. То есть
человек видит на экране монитора не истинные результаты расчетов, а
искусственно осредненное, сглаженное поле параметров.

34.

В задачах расчета и проектирования конструкций
для анализа силовой работы в виде набора стрелок
изображают
векторные
поля,
например,
главные
напряжения и главные усилия, действующие в конечных
элементах. Совокупность стрелок, попарно размещенных в
центре каждого элемента, создает важную для инженера
картину траекторий потоков усилий.

35.

Цветографическое изображение
скалярных характеристик
Изображение векторных
характеристик поля параметров

36.

Изображение объемных структур точечным способом

37.

6. ПОГРЕШНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЕТОВ.
Причиной многих ошибок дискретных методов моделирования
является незнание особенностей и свойств конечных элементов. Особенно
внимательно Надо относиться к специальным КЭ. Ошибки могут
возникнуть, если тип проблемно ориентированных конечных элементов не
соответствует условиям работы или материалам реального изделия.
Очень часто ошибки допускаются при выборе типа и направлений
кинематических ограничений (моделировании закреплений и опор).
Необходимо обратить внимание на то, чтобы число закреплений
ограничивало перемещение модели как абсолютно твердого тела, но при
этом число связей должно быть минимальным и не должно приводить к
появлению ложных опор. Назначение закреплений зависит от вида
моделируемого нагружения: растяжение, изгиб, чистый сдвиг и пр.

38.

Ошибки и погрешности, связанные с численным
решением, на ЭВМ возникают реже, но и они могут
проявиться при больших градиентах параметров в моделях,
таких как резкая разница геометрических и жесткостных
характеристик
у
соседних
элементов.
Накопление
погрешностей
возможно
в
процессе
итерационных
вычислений и вырождении элементов в процессе
оптимизации.
Тип и количество элементов заметно влияют на
точность вычислений, особенно в случае нелинейного
анализа.

39.

7. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ.
Ошибки интерпретации результатов носят как субъективный
характер, определяемый квалификацией пользователя, так и
систематический, зависящий от использованных методик и способов
обработки результатов.
В процессе обработки результатов инженерных расчетов необходимо придерживаться определенных правил и рекомендаций.
Например, элементы непосредственно в узлах, в которых заданы
кинематические и силовые ограничения, могут выдавать искаженные
результаты и поэтому должны быть исключены из анализа. Известно,
что многие конечноэлементные модели завышают жесткость реальных
конструкций, что должно учитываться при оценке напряженнодеформированного состояния изделий.

40.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Черепашков, А. А. Компьютерные технологии, моделирование и
автоматизированные
системы
в
машиностроении
/
А. А. Черепашков, Н. В. Носов. – М.: Ин-Фолио, 2009. – 640 с.

41.

КОНТАКТЫ
Учреждение образования «Барановичский
государственный университет»
ул. Войкова, 21,
225404 г. Барановичи,
Брестская область,
Республика Беларусь
тел./факс:
+375 163 66 53 74
+375 163 64 35 87
e-mail: barsu@brest.by
www.barsu.by