Основные понятия теории функций многих переменных

1.

2.

Пусть задано множество точек координатной плоскости D R 2 .
Если каждой упорядоченной паре действительных чисел
x; y D ставится в соответствие единственное действительное
число z, то говорят, что на множестве D задана
функция двух переменных со значениями в R и пишут:
z f x; y
( z f М , М x; y D).
Множество D называется областью определения функции f.
Множество E R, состоящее из всех чисел z,
равных f
x; y , где x; y D, называется
множеством значений функции.

3.

Множество называется открытым, если каждая точка множества
принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью этой точки.
Множество называется связным, если любые две точки этого
множества можно соединить непрерывной кривой, целиком
принадлежащей этому множеству.
Множество, обладающее свойствами открытости и связности,
называется областью.
Точка M называется граничной точкой области D,
если в любой её окрестности содержатся точки как
принадлежащие D, так и не принадлежащие D.
Совокупность всех граничных точек области называется
границей этой области.

4.

Замкнутой областью называется объединение области и её границы.
Область называется ограниченной, если все её точки содержатся
в некотором круге конечного радиуса с центром
в начале системы координат.
Область D R 2 называется односвязной, если для любой
замкнутой кривой, принадлежащей этой области, ограниченная
ею часть плоскости целиком принадлежит области D.
В противном случае – область многосвязная. Многосвязная область
называется n-связной, если её граница состоит из n замкнутых кривых.
Графиком функции z f x; y , определенной на
области D, называется множество точек
x; y; z
пространства R , где x; y D и z f x; y .
3

5.

Для функции нескольких переменных можно определить понятие
предела и непрерывности.
Приведём эти понятия для функции двух переменных.
Пусть M 0 x0 ; y0 некоторая точка области D R 2 .
Множество точек M x; y , для которых выполняется неравенство
(M , M 0 )
x x0 y y0 ,
2
2
называется -окрестностью точки М0.
Число А называется пределом функции z f M , z f x; y в точке М0
(при M M 0 ), если 0 0 такое, что для любой
точки M D, удовлетворяющей условию 0 M , M 0 ,
выполняется неравенство
f M A .
Обозначают:
lim f M A или lim f x; y A.
M M 0
x x0
y y0

6.

.
Множество точек x; y D R2 , для которых f x; y C ,
C const (т. е. функция имеет постоянное значение С),
называется линией уровня функции f x; y .
С помощью линий уровня изучают вид графика функции двух переменных.
Поверхностью уровня функции трёх переменных u f x; y; z
называется множество точек ( x, y, z) D R3 таких,
что f x; y; z C , C const.
Понятие функции нескольких переменных обобщается на
любое n N, n 2. С помощью поверхностей уровня
изучают вид графика функции трёх переменных.

7.

Функция z f
M z f x; y называется
непрерывной в точке M 0 D, если
f ( M ) f ( M 0 ) или lim f x; y f x ; y .
0 0
M M0
x x0
lim
y y0
Функция f называется непрерывной в области D, если
она непрерывна в каждой точке этой области.
Аналогичным образом определяются понятия предела и
непрерывности в точке для функции n переменных, n 2.

8. Пример 1

Найти область определения функции