PF_1_Mnogochleny_ot_odnogo_peremennogo

1.

Многочлены
от одного переменного.
Глава III, §1.

2. Многочлены.

Из курса алгебры основной школы, мы знаем что
существуют различные виды многочленов.
1. Одночлен: 2а³, 3a²b, 7…
2. Двучлен: 3х+4, 2а³ – 4с² …
3. Трёхчлен (включая квадратный трёхчлен): 3х+4b+c,
2x²+3x–7…
И так далее
Особое место
переменной.
занимают
многочлены
от
одной

3.

БУДЕМ ЗНАТЬ!!!

4.

Многочлен от одной переменной.
Определение
•Любой многочлен P(x), содержащий только переменную х и её натуральные
степени, можно записать в стандартном виде
P(x) = a0xn +a1xn – 1 +…+ an – 1 x + an
где a0,a1……an – 1 ,an – некоторые действительные числа.
•Если а0 0, то многочлен P(x) называют многочленом n – ой степени, член a0xn
старшим членом, an – свободным членом.
•Если P(x) = а0, где а0 0, называют многочленом нулевой степени. Число 0
называют нулевым многочленом.

5.

БУДЕМ ЗНАТЬ!!!

6.

Чтобы показать, что степень многочлена
равна n, пишут (см индекс):
Рп ( х) а0 х а1 х
п
п 1
... ап 1 х ап
… – п степени

7.

УСТНО ПОВТОРИМ ЗАДАНИЕ!!!

8.

Заполните пропуски:
Многочлен
3х 8 х 8 х
5
2
2х 4х 5
4
2
х 3х 8
7
6
8
Старший
член
Степень
Свободный
многочлена
член

9.

Проверьте заполнение пропусков:
Многочлен
Старший
Степень
Свободный
член
многочлена
член
3х 8 х 8 х
3х
5
5
2х 4х 5
2х
7
х
8
4
0
5
7
8
0
8
5
4
2
2
х 7 3х 6 8
8
4

10.

Проверьте
заполнение пропусков:
Многочлен
Старший
Степень
Свободный
член
многочлена
член
3х 8 х 8 х
3х
5
5
2х 4х 5
2х
7
х
8
4
0
5
7
8
0
8
5
4
2
2
х 7 3х 6 8
8
4
0 - … многочлен

11.

БУДЕМ ЗНАТЬ!!!

12. Определение

Два многочлена Р(х) и S(х) тождественно
равны, если равны их степени и равны
коэффициенты при одинаковых степенях
переменной в обоих многочленах.

13.

УСТНО ПОВТОРИМ ЗАДАНИЕ!!!

14.

Укажите числа a,b и c многочленов,
если они тождественно равны
а)3х 8 х 8 х ах bх cх
5
5
2
2
б ) х 3х 5х 8x 1 aх bх cх dx p
9
7
5
2
9
7
5
2

15.

1)2 х 4 х 5х 3 ( x 1)(2 x ax bx 2 x 3)
5
2
4
3
2
Можно ли сразу назвать числа
a и b?
Что нужно сделать, чтобы
назвать числа
a и b?

16.

1)2 х 4 х 5х 3 ( x 1)(2 x ax bx 2 x 3)
5
2
4
3
2
Сколько слагаемых получится в
правой части равенства после
умножения?
Выполняем умножение в правой
части равенства и приводим
подобные.

17.

1)2 х 4 х 5х 3 ( x 1)(2 x ax bx 2 x 3)
5
2
4
3
2
( x 1)(2 x ax bx 2 x 3)
4
3
2
2 х ах bх 2 х 3x 2 x ax bx 2 x 3
5
4
3
2
4
3
2
Укажите подобные слагаемые

18.

1)2 х 4 х 5х 3 ( x 1)(2 x ax bx 2 x 3)
5
2
4
3
2
( x 1)(2 x ax bx 2 x 3)
4
3
2
2 х ах bх 2 х 3x 2 x ax bx 2 x 3
5
4
3
2
4
3
2

19.

1)2 х 4 х 5х 3 ( x 1)(2 x ax bx 2 x 3)
5
2
4
3
2
( x 1)( 2 x ax bx 2 x 3)
4
3
2
2 х ах bх 2 х 3x 2 x ax bx 2 x 3
5
4
3
2
4
3
2
2 х (а 2) х (b а) х (2 b) x 5х - 3
5
4
3
2
Назовите значения выделенных
выражений

20.

1)2 х 4 х 5 х 3 ( x 1)( 2 x ax bx 2 x 3)
5
2
4
3
2
( x 1)( 2 x 4 ax 3 bx 2 2 x 3)
2 х 5 ах 4 bх 3 2 х 2 3 x 2 x 4 ax 3 bx 2 2 x 3
2 х 5 (а 2) х 4 (b а ) х 3 (2 b) x 2 5х - 3
а 2 0,
b а 0,
2 b 4
Найдите значения
а,b и с

21.

1)2 х 5 4 х 2 5 х 3 ( x 1)( 2 x 4 ax 3 bx 2 2 x 3)
4
3
2
( x 1)( 2 x ax bx 2 x 3)
2 х ах bх 2 х 3 x 2 x ax bx 2 x 3
5
4
3
2
4
3
2
2 х (а 2) х (b а ) х (2 b) x 5х - 3
5
а 2 0,
b а 0,
2 b 4
4
3
2
а 2, b 2
Ответ : а 2, b 2

22. Свойства многочленов от одной переменной

Многочлены имеют много свойств,
аналогичных свойствам целых чисел. Саму
запись многочлена в указанном виде можно
считать аналогом записи чисел в десят
системе счисления
Рп ( х) а0 х п а1 х п 1 ... ап 1 х ап

23. Свойства многочленов от одной переменной

Теорема 1.
Степень произведения двух
многочленов равна сумме
степеней многочленов
множителей.

24.

УСТНО!!!

25.

Степень произведения двух
многочленов равна:
а)Qk ( х) Рп ( х) М ... ( х)
б )Q3 ( х) Р4 ( х) М ... ( х)
в)Q5 ( х) Р1 ( х) М ... ( х)
г )Q3 ( х) Р0 ( х) М ... ( х)
Проверка

26.

Степень произведения двух
многочленов равна:
а)Qk ( х) Рп ( х) М k n ( х)
б )Q3 ( х) Р4 ( х) М 7 ( х)
в)Q5 ( х) Р1 ( х) М 6 ( х)
г )Q3 ( х) Р0 ( х) М 3 ( х)

27. Свойства многочленов от одной переменной

Теорема 2. (О делении многочленов уголком)

28.

Выполните деление уголком
1)( x 2 x 35) : ( х 7)
2
Выполняем деление уголком пошагово

29.

х 2 х 35 х 7
2

30.

х 2 х 35 х 7
2
х

31.

х 2 х 35 х 7
2
х ...
2
х

32.

х 2 2 х 35 х 7
2
х
х 7х

33.

х 2 2 х 35 х 7
2
х
х 7х
5х

34.

х 2 2 х 35 х 7
2
х
х 7х
5х 35

35.

х 2 2 х 35 х 7
2
х 7х
х 5
5х 35

36.

х 2 2 х 35 х 7
2
х 7х
х 5
5х 35
5х 35
0
x 2 x 35 ( х 7)( х 5)
2
Формула деления

37.

Определение (уточните этот факт в
тетради, обратив внимание на
индексы!!!)

38. Свойства многочленов от одной переменной

Теорема 3. (О делении многочленов уголком)
АЛГОРИТМ! СМ НИЖЕ! ЗАПИШИ И
ВЫУЧИ!

39.

Чтобы разделить многочлен P(x) на многочлен Q(x)
нужно:
1. Расположить делимое и делитель по убывающим
степеням х;
2. Разделить старший член делимого на старший член
делителя; полученный одночлен сделать первым
членом частного;
3. Первый член частного умножить на делитель; результат
вычесть из делимого; полученная разность является
первым остатком;
4. Чтобы получить следующий член частного, нужно с
первым остатком поступить так, как поступали с
делимым и делителем в пунктах 2 и 3.

40.

УСТНО РАЗБЕРЕМ РЕШЕНИЕ
ЗАДАНИЯ!!!

41.

Закрепление нового материала
2)(6 x 7 x 3) : (2 х 3)
2
Выполните задание самостоятельно
Проверка

42.

6 х 2 7 х 3 2х 3
3х 1
6х2 9х
2х 3
2х 3
0
делитель
6 x 7 x 3 (2 х 3)(3х 1)
2
делимое
частное

43.

Закрепление нового материала
3)(6 x 11x 1) : (2 х 3х 1)
3
2
2
Поясните выполнение
деления

44.

6 х 11х 1
3
2
2 х 3х 1
2

45.

6 х 11х 1
3
2
2 х 3х 1
3х
2

46.

6 х 11х 1
3
6х
3
2
2 х 3х 1
3х
2

47.

6 х 11х 1
6 х3 9 х 2
3
2
2 х 3х 1
3х
2

48.

2 х 3х 1
6 х 11х 1
3
2
6 х 9 х 3 х 3х
3
2
2

49.

6 х 11х 1 2 х 3 х 1
3
2
6 х 9 х 3 х 3х
2
2 х 3х 1
3
2
2

50.

6 х 11х 1 2 х 3 х 1
3
2
6 х 9 х 3 х 3х 1
2
2 х 3х 1
3
2
2

51.

6 х 11х 1 2 х 3 х 1
3
2
6 х 9 х 3 х 3х 1
2
2 х 3х 1
2
2 х 3х 1
3
2
2

52.

6 х 11х 1 2 х 3 х 1
3
2
6 х 9 х 3 х 3х 1
2
2 х 3х 1
2
2 х 3х 1
0
3
2
2
6 x 3 11x 2 1 (2 х 2 3х 1) (3х 1)
Формула деления

53.

ВЫУЧИМ! ЗАПИШЕМ!!!
(Формулировки свойств с
примерами)

54.

Изучение нового материала
Свойства делимости многочленов

55.

Изучение нового материала
Свойства делимости многочленов

56.

Пример : Разделить многочлен P(x) = 3x4 + 2x2 – 1 на многочлен
Q(x) = x2 + x.
3x4 + 0х3 + 2x2 + 0х – 1
3x4 + 3x3
– 3x3 + 2х2 + 0х – 1
– 3x3 – 3x2
x2 + x
3x2 – 3х + 5
5x2 + 0х – 1
2
5x +
5x – 5x – 1
Степень остатка – 5x – 1 меньше степени делителя x2 + x,
деление закончено.
Ответ: 3x2 – 3х + 5 частное, – 5x – 1 остаток.

57.

Деление многочленов c остатком

58.

РАЗБЕРЕМ! ЗАПИШЕМ!!!

59.

Деление многочленов c остатком
Делимое
остаток
Делит

60.

x x 2 х 4 ( х 3х 1) ( х 2) 3х 2
3
2
делимое
2
делитель частное
Формула деления с остатком
остаток