Лекция 04. О термине «Геометрия»

1.

О термине
«Геометрия»

2.

Термин «Геометрия»
используется в значении
наука;
метод (область);
теория, описывающая некоторые
пространства.
2

3.

Термин «Геометрия»
используется в значении
наука;
Геометрия есть наука, изучающая
свойства фигур, не меняющиеся при
преобразованиях некоторой группы
преобразований
метод (область);
теория, описывающая некоторые
пространства.
3

4.

Термин «Геометрия»
используется в значении
наука;
метод (область);
синтетическая геометрия;
аналитическая геометрия;
дифференциальная геометрия.
теория, описывающая некоторые
пространства.
4

5.

Термин «Геометрия»
используется в значении
наука;
метод (область);
теория, описывающая некоторые
пространства
евклидова геометрия;
аффинная геометрия;
проективная геометрия
конформная геометрия;
геометрия Лобачевского;
Риманова геометрия.
5

6.

Можно одно и то же пространство описывать
разными способами.
Например, в евклидовой геометрии
применяются:
синтетическая геометрия
(используются свойства фигур);
аналитическая геометрия
(средствами алгебры на основе
метода координат);
векторный метод
(используются аксиоматика Вейля
и векторная алгебра).
6

7.

Примеры
(семейство
евклидовых геометрий)
7

8.

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
8

9.

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
Вводим на ней расстояние, и получаем
двумерное многообразие точек.
9

10.

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
Вводим на ней расстояние, и получаем
двумерное многообразие точек.
Также вводим группу изометрий – взаимно
однозначных отображений плоскости на себя,
сохраняющих расстояние.
10

11.

Евклидова плоскость
Простирается неограниченно.
Вводим на ней расстояние, и получаем
двумерное многообразие точек.
Также вводим группу изометрий – взаимно
однозначных отображений плоскости на себя,
сохраняющих расстояние.
Эта группа состоит из
параллельных переносов;
поворотов относительно любой точки;
скользящих симметрий (это симметрия
относительно прямой и последующий
параллельный перенос вдоль этой прямой).
11

12.

Евклидова геометрия изучает фигуры
«с точностью до изометрий».
Она содержит, например,
довольно богатое семейство треугольников
(зависящее от трех параметров),
двухпараметрическое семейство эллипсов
и т.п.
12

13.

Евклидова геометрия изучает фигуры
«с точностью до изометрий».
Она содержит, например,
довольно богатое семейство треугольников
(зависящее от трех параметров),
двухпараметрическое семейство эллипсов
и т.п.
Конгруэнтность – отношение эквивалентности
на множестве геометрических фигур.
13

14.

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
14

15.

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
Допускается более широкая группа
преобразований – аффинных.
15

16.

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
Допускается более широкая группа
преобразований – аффинных.
Кроме изометрий содержит растяжения вдоль
любых направлений.
16

17.

Аффинная плоскость
Состоит из тех же точек, что и евклидова.
Допускается более широкая группа
преобразований – аффинных.
Кроме изометрий содержит растяжения вдоль
любых направлений.
Аффинную группу можно определить иначе:
это такие взаимно однозначные
преобразования плоскости, которые прямые
переводят в прямые.
Например, с аффинной точки зрения все
треугольники равноправны.
17

18.

Проективная плоскость
Евклидова плоскость дополняется бесконечно
удаленными точками и прямой.
18

19.

Проективная плоскость
Есклидова плоскость дополняется бесконечно
удаленными точками и прямой.
Проективное преобразование (коллинеация) –
взаимно-однозначное отображение
проективной плоскости в себя, при котором
точки, лежащие на прямой, переходят в точки,
также лежащие на прямой.
19

20.

Дополнение плоскости
бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1
пересекаются в бесконечно удалённой точке.
20

21.

Дополнение плоскости
бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1
пересекаются в бесконечно удалённой точке.
То есть, эта точка не является обыкновенной,
а представляет собой новый объект –
бесконечно удалённую (несобственную)
точку прямой а.
21

22.

Дополнение плоскости
бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1
пересекаются в бесконечно удалённой точке.
То есть, эта точка не является обыкновенной,
а представляет собой новый объект –
бесконечно удалённую (несобственную)
точку прямой а.
Все прямые, параллельные прямой а, имеют
одну общую бесконечно удалённую точку А.
22

23.

Дополнение плоскости
бесконечно удалёнными элементами
Пусть параллельные прямые а и а1
пересекаются в бесконечно удалённой точке.
То есть, эта точка не является обыкновенной,
а представляет собой новый объект –
бесконечно удалённую (несобственную)
точку прямой а.
Все прямые, параллельные прямой а, имеют
одну общую бесконечно удалённую точку А.
Бесконечно удалённые точки непараллельных
прямых считаются различными.
23

24.

Таким образом, евклидова плоскость
пополняется бесконечным числом бесконечно
удалённых точек.
24

25.

Таким образом, евклидова плоскость
пополняется бесконечным числом бесконечно
удалённых точек.
Совокупность всех этих бесконечно удалённых
точек плоскости называется бесконечно
удалённой (несобственной) прямой.
25

26.

Таким образом, евклидова плоскость
пополняется бесконечным числом бесконечно
удалённых точек.
Совокупность всех этих бесконечно удалённых
точек плоскости называется бесконечно
удалённой (несобственной) прямой.
Плоскость , дополненная таким образом
бесконечно удалёнными точками и бесконечно
удалённой прямой является проективной
плоскостью.
26

27.

Таким образом, евклидова плоскость
пополняется бесконечным числом бесконечно
удалённых точек.
Совокупность всех этих бесконечно удалённых
точек плоскости называется бесконечно
удалённой (несобственной) прямой.
Плоскость , дополненная таким образом
бесконечно удалёнными точками и бесконечно
удалённой прямой является проективной
плоскостью.
На ней, например, пересекаются две любые
прямые.
27