Минимальное_расстояние_между_предметом_и_изображением_2

1.

Минимальное расстояние
между предметом и
изображением
Теоретическое исследование в тонкой собирающей линзе
Проект по геометрической оптике: фундаментальное ограничение в
системах с собирающими линзами

2.

Цель исследования
Постановка задачи
Рассматривается тонкая собирающая линза с известным фокусным
расстоянием F. Необходимо определить минимально возможное
расстояние L между предметом и его действительным (реальным)
изображением.
Ключевое условие: действительное изображение формируется только
при расположении предмета за фокусом линзы, то есть при d > F, где d —
расстояние от предмета до линзы.

3.

Физическая модель системы
Формула тонкой линзы
Полное расстояние
Область определения
Сумма расстояний от предмета до
Необходимое условие для
Фундаментальное соотношение,
линзы (d) и от линзы до
получения действительного
связывающее фокусное
изображения (f)
изображения в собирающей
расстояние с положением
предмета и изображения
линзе

4.

Вывод целевой функции
Преобразование уравнений
Из формулы тонкой линзы выражаем расстояние до изображения:
Подставляем полученное выражение в формулу полного расстояния:
Получена функция L(d), которую необходимо исследовать на экстремум для нахождения минимального расстояния между
предметом и изображением.

5.

Математическое исследование
Метод дифференциального исчисления
Условие экстремума
Для нахождения минимума функции L(d) применяем
Приравниваем производную к нулю:
стандартный метод: вычисляем производную и
приравниваем её к нулю.
Вычисление производной:
Преобразуем уравнение:
После упрощения:
Раскрываем и получаем квадратное уравнение:

6.

Решение уравнения
01
02
Факторизация
Корни уравнения
Квадратное уравнение d² − 2Fd = 0 факторизуется как d(d −
Получаем два решения: d₁ = 0 и d₂ = 2F
2F) = 0
03
04
Физическая проверка
Критическая точка
Корень d₁ = 0 не удовлетворяет условию d > F, следовательно
Решение d = 2F — это единственная критическая точка в
отбрасывается
области определения
Проверка второй производной подтверждает, что d = 2F является точкой минимума функции L(d).

7.

Расчет минимального расстояния
Симметричная конфигурация
При d = 2F вычисляем расстояние до изображения:
Подставляем в формулу полного расстояния:
Это фундаментальное физическое ограничение: предмет и его действительное изображение в тонкой собирающей линзе
не могут находиться ближе друг к другу, чем на расстоянии, равном четырём фокусным расстояниям линзы.

8.

Геометрическая интерпретация
Предмет
Расположен на расстоянии d = 2F от
оптического центра линзы
Полное расстояние
Минимальная длина Lmin = 4F
достигается при симметрии системы
Линза
Находится точно посередине между
предметом и изображением
Изображение
Формируется на расстоянии f = 2F с
противоположной стороны линзы

9.

Физический смысл результата
Свойства сопряжённых точек
При d = f = 2F предмет и изображение являются взаимно
сопряжёнными точками: если поместить предмет на место
изображения, новое изображение окажется в исходном
положении предмета.
В этой конфигурации увеличение линзы равно M = −1, то
есть изображение имеет тот же размер, что и предмет, но
перевёрнуто.
Любое другое расположение предмета приводит к L > 4F,
что подтверждает минимальность найденного значения.

10.

Заключение
Итоговый результат
Условие реализации
Минимальное расстояние между предметом и его
Достигается при симметричном расположении
действительным изображением в тонкой собирающей
предмета и изображения относительно линзы
линзе
Этот результат имеет важное значение для проектирования оптических систем, определяя минимальную габаритную длину
устройств с действительными изображениями, таких как проекторы, фотоаппараты и телескопические системы.