Лекция Неопр инт и методы инт

1. Лекция

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

2. Неопределенный интеграл ( основные понятия)

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией
для функции f(x) , если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F‫(י‬x)=f (x)
Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть
бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное
число С,
т.е. F1(x) = F2(x) + C.
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется
совокупность первообразных функций F(x) + C.
Записывают:
)
dx
F
(
x
)
C
;
f(x
f (x) – подынтегральная функция, dx- дифференциал переменной
интегрирования х.

3. Некоторые интегралы

x 1
C
,
1
1
x
dx
1) Степенная функция
=
2) Экспонента
dx
3) x = ln |x| +C .
x
e
dx
′
1
lnx =и
x
= ex +C
1
1
ln( x) = ( 1 ) =
x
x
′
1
dx= 1/4 lnI4x-1I+C
Примеры.1. xdx х2/2+C 4.
4 x 1
2. 5dx 5 х С
2 +5x +C
• 3. (2 х 3)dx х2 -3х + C 5.
=2х
(4x 5)dx

4. Непосредственное интегрирование

2
1
x
4 x 1=
Найти интегралы 1)
( x 4 )dx
dx
x
= х2/2-4x+ln|x|+C
x
2x-1+C
2)
1/2·
e
2 x 1
dx 2х4/4- х3 +С= х4/2- х3 +С
3) e
3
2
4) (2 х 3х )dx
хdx 2 / 3 х С
3
5)
4
(
5
x
1
)
3dx
(
5
x
1
)
С
20

5. Замена переменной в неопределенном интеграле

Пусть дан интеграл f x dx , пусть функция f x
x t непрерывна на интервале a, b и
- непрерывно дифференцируема на интервале , .
В
силу
свойства
инвариантности
неопределенного интеграла можно записать
f x dx f t t dt ,
t монотонна.
(1)

6. Замена переменной в неопределенном интеграле

Пусть
f t t dt F t c
(2)
Чтобы
вернуться
к переменной х нужно из
уравнения x t выразить t через х и подставить в
(2).
Если x t не является монотонной, то возвращение
от t к х может быть сопряжено с большими
трудностями. Поэтому формулу (1) применяют для
монотонных функций.

7. Замена переменной в неопределенном интеграле

Пример 1
1
1
1
1
cos 4 xdx x 4 t , dx 4 dt 4 cos tdt 4 sin t c
1
sin 4 x c
4
Пример 2
x at ,
adt
dt
a 2 x 2 dx adt
a 2 a 2t 2
1 t2
dx
x
arcsin t c arcsin c
a

8. Замена переменной в неопределенном интеграле

Замечание. На практике часто замену делают не в
виде x t , а в виде t x .
Пример 3
ln x t
3
3
dx
t
ln x
2
ln x x dx dt t dt 3 c 3 c
x
2

9. Интегрирование по частям

Пусть дан интеграл вида UdV , где U U x , V V x
- непрерывно дифференцируемые функции.
Рассмотрим
d UV UdV VdU UdV d UV VdU
проинтегрируем обе части равенства
или
UdV d UV VdU ,
UdV UV VdU
формула интегрирования по частям

10. Интегрирование по частям

Пусть Pn x - многочлен степени n. Методом
интегрирования по частям можно вычислить,
например, интегралы вида:
1 группа
1) Pn x cos axdx, U Pn x
P0 a
2) Pn x sin axdx, U Pn x
P1 ax b
3) Pn x e dx, U Pn x
P3 ax bx cx d
4) Pn x a dx, U Pn x
...................................
ax
bx
P2 ax 2 bx c
3
2

11. Интегрирование по частям

2 группа
1) Pn x ln axdx, U ln ax
2) Pn x arcsin axdx, U arcsin ax
3) Pn x arctg axdx, U arctg ax
4) Pn x arccos axdx, U arccos ax

12. Интегрирование по частям

3 группа
1) e ax cos bxdx
3) cos ln x dx
2) e ax sin bxdx
4) sin ln x dx
Обозначая любой из интегралов этой группы через
I и производя двукратное интегрирование по частям,
мы составим для I уравнение первого порядка.

13. Интегрирование по частям

UdV UV VdU
Пример 1
xe dx
x
U x
dU dx
dV e x dx V e x
xe x e x dx xe x e x c
Пример 2
dx
U arctg x dU
xdx
2
1 x x arctg x
2
arctg xdx
1 x
dV dx
V x
1
x arctg x ln 1 x 2 c
2

14. Интегрирование по частям

Пример 3
x
x
U
e
dU
e
dx
x
x
x
e
cos
xdx
e
sin
x
e
sin xdx
dV cos xdx V sin x
U e x dU e x dx
e x sin x e x cos x e x cos xdx c1
dV sin xdx V cos x
2 e cos xdx e sin x cos x c1
x
x
1 x
e cos xdx 2 e sin x cos x c
x

15. Интегрирование по частям

Замечание. Три перечисленные группы не
исчерпывают
всех
интегралов,
берущихся
посредством интегрирования по частям.
Пример 4
U x dU dx
xdx
cos2 x dV dx V tg x x tg x tg xdx
cos 2 x
d cos x
x tg x
x tg x ln cos x c
cos x

16. Интеграл от выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Рассмотрим интегралы вида:
Ax B
I1 2
dx
ax bx c
I2
Ax B
ax 2 bx c
dx
Эти интегралы сводятся к табличным интегралам с
помощью подстановки
b
x
t dx dt ,
2a
или применяется
дифференциала.
метод
подведения
под
знак

17. Интеграл от выражений, содержащих квадратный трехчлен.

b
x
t dx dt
2a
Пример 1
5
x 1 t
5t 1 dt
5x 4
dx x t 1
x2 2 x 5
t2 4
dx dt
tdt
t2 4
2
d
t
4
dt
5
dt
t2 4 2
t2 4
t2 4
5 t 2 4 ln t t 2 4 c
5 x 2 2 x 5 ln x 1 x 2 2 x 5 c

18. Интеграл от выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Второй способ:
d x 2 2 x 5 2 x 2 dx
5
2
x
2
1
5x 4
2
dx
x2 2x 5
x2 2x 5
2
d
x
5 2 x 5
2
2
x 2x 5
d x 1
x 1 4
2
5 x 2 2 x 5 ln x 1 x 2 2 x 5 c

19. Интеграл от выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Пример 2
d x 2
dx
x2 4 x 5 x 2 2 1 arctg x 2 C
Пример 3
dx
5 4x x
2
d x 2
x 2
arcsin
C
2
3
9 x 2
5 4 x x2 x2 4 x 5 x 2 4 x 4 9
9 x 2
2