Лекция_8_формулы_22.10.2024

1. Лекция №8 Разработка программного обеспечения для моделирования физических процессов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Лекция №8
Разработка программного обеспечения
для моделирования физических
процессов
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНК, к.ф.-м.н.
voskob_sp@spbstu.ru
22.10.2024

2. Содержание

Уравнения гиперболического типа
Постановка задачи.
Применение метода прямых и ИИМ.

3. Классификация уравнений в частных производных

2u
2u
2u
u
u
a11 x, y 2 a12 x, y
a 22 x, y 2 b1 x, y b2 x, y c x, y u f x, y 0
x y
x
y
x
y
u x, y
a122 x, y a11 x, y a22 x, y 0 параболический тип уравнения
a122 x, y a11 x, y a22 x, y 0 гиперболический тип уравнения
a122 x, y a11 x, y a22 x, y 0 эллиптический тип уравнения

4. Уравнение гиперболического типа

2u
2u
2u
u
u
a11 x, y 2 a12 x, y
a 22 x, y 2 b1 x, y b2 x, y c x, y u f x, y 0
x y
x
y
x
y
a122 x, y a11 x, y a22 x, y 0 гиперболический тип уравнения
a11 x, y 0,
a12 x, y 0,
a22 x, y 1
2u 2u
u
u
a11 x, t 2 2 b1 x, t b2 x, t c x, t u f x, t 0
x
t
x
t
y t
b2 0
2u
2u
u
a
x
,
t
b
x
,
t
c x, t u f x, t
11
1
t 2
x 2
x

5. Уравнение гиперболического типа

2u
u
k
x
,
t
q
x
,
t
u
f x, t ,
t 2 x
x
0 C1 k C2 ,
x a,b ,
t 0, T
u t 0 x начальное условие
u
x начальное условие
t t 0
Краевые условия первого рода
u x a 1,
u x x b 2
Краевые условия второго рода 1 0, 2 0
k
u
1 ,
x x a
k
u
2
x x b
Краевые условия третьего рода
k
u
1u x a 1 ,
x x a
k
u
2u x b 2 , 1 0, 2 0
x x b

6. Уравнение гиперболического типа

2u u
k
qu
f,
2
t
x x
x a,b ,
0 C1 k C2 ,
t 0, T
u t 0 x начальное условие
u
x начальное условие
t t 0
Краевые условия третьего рода
k
u
1u x a 1 ,
x x a
k
u
2u x b 2 , 1 0, 2 0
x x b

7. Уравнение гиперболического типа

i 1 / 2
i 1 / 2
u
2u
dx k qu dx f dx,
2
t
x x
x i 1 / 2
x i 1 / 2
x i 1 / 2
x i 1 / 2
x
x
i 1,2,..., N 1
xi 1 / 2
u
xi 1/ 2
2u
u
dx k
k
qudx fdx,
2
t
x x xi 1/ 2 xi 1/ 2
x x xi 1/ 2
xi 1/ 2
xi 1 / 2
xi 1 / 2
k
u
u ui 1
u ui 1
ki 1 / 2 i
ki 1 / 2 i
h
x x xi 1/ 2
hi
2 i
2
x i 1 / 2
x dx ,
i
i
x i 1 / 2
d 2vi
v v
v v
i 2 ki 1 / 2 i 1 i ki 1 / 2 i i 1 i qi vi i fi ,
dt
hi 1
hi
i 1,2,..., N 1

8. Уравнение гиперболического типа

Краевое условие третьего рода
k
u
1u x a 1 ,
x x a
1 0,
i 1 / 2
i 1 / 2
u
2u
x t 2 dx x x k x qu dx x f dx,
i
i
i
x i 1 / 2
x
x
i 0
xi 1 / 2
u
xi 1/ 2
2u
u
x t 2 dx k x x x k x x x x qudx x fdx,
i 1 / 2
i
i
i
i
xi 1 / 2
k
u
u u
u u
ki 1 / 2 i 1 i ki 1 / 2 i 1 i ,
h
x x xi 1/ 2
hi 1
2 i 1
2
k
i 0
xi 1 / 2
x dx ,
i
xi
u
1u x x 1 , i 0
i
x x xi
d 2vi
v v
i 2 ki 1 / 2 i 1 i 1vi 1 i qi vi i fi , i 0
dt
hi 1
i

9. Уравнение гиперболического типа

Краевое условие третьего рода
k x
u
2u x b 2 ,
x x b
2 0
i
i
u
2u
dx k qu dx f dx,
2
t
x x
x i 1 / 2
x i 1 / 2
x i 1 / 2
xi
x
x
xi
u
xi
2u
u
dx k
k
qudx fdx,
2
t
x
x
x xi
x xi 1 / 2
xi 1/ 2
xi 1 / 2
xi 1 / 2
xi
u
u ui 1
u ui 1
k
ki 1 / 2 i
ki 1 / 2 i
,
hi
x x xi 1/ 2
h
i
2
2
k
i N
i N
xi
x dx ,
i
x i 1 / 2
u
2u x x 2 , i N
i
x x xi
d 2vi
v v
i 2 2vi 2 ki 1 / 2 i i 1 i qi vi i fi , i N
dt
hi
i

10. Уравнение гиперболического типа

d 2vi
vi 1 vi
k
1vi 1 i qi vi i fi ,
i 1 / 2
i 2
dt
h
i 1
d 2vi
vi 1 vi
vi vi 1
k
k
i qi vi i fi ,
i 2
i 1 / 2
i 1 / 2
dt
h
h
i 1
i
d 2v
v v
i 2i 2vi 2 ki 1 / 2 i i 1 i qi vi i fi ,
dt
hi
d 2vi
i 0
i dt 2 ci vi bi vi 1 i f i ,
d 2vi
i 1,2,..., N 1
i 2 ai vi 1 ci vi bi vi 1 i f i ,
dt
d 2vi
i N
i 2 ai vi 1 ci vi i f i ,
dt
i 0
i 1,2,..., N 1
i N

11. Уравнение гиперболического типа

ci
ki 1 / 2
i qi 1 ,
hi 1
k
k
k
ai i 1 / 2 , ci i 1 / 2 i 1 / 2 i qi ,
hi
hi
hi 1
k
bi i 1 / 2 , g i i f i 1 ,
hi 1
k
bi i 1 / 2 , g i i f i ,
hi 1
k
k
ai i 1 / 2 , ci i 1 / 2 i qi 2 ,
hi
hi
c0
a
1
A
b0
c1
.
b1
.
.
.
.
.
.
.
.
aN 1
cN 1
aN
,
bN 1
cN
v0
v
1
.
v . ,
.
vN 1
, v N
i 0
i 1,2,..., N 1
gi i fi 2 ,
g0
0
g
1
.
g .
D
.
g N 1
g
N
i N
1
.
.
.
N 1
N

12. Метод прямых для уравнения гиперболического типа

d 2v
D 2 Av g ,
dt
v t 0
dv
dt t 0
v
v~
w
dv~ ~ ~ ~
~
D
Av g ,
dt
dv
dt w
D dw Av g ,
dt
v t 0
w
t 0
dv
w
dt
~ 0 E
A
A 0
~ E
D
0
0
g~
g
0
D
~
~
~
~
~
N
~
~
A N N , N 2 N 1 , v , g R
A 0,
~ i A ,
A
i 1
~ v~ g~ A
~ v~ g~ ,
~ v~k 1 v~k 1 A
D
k k
k
k 1 k 1
k 1
2
~
~
D 1 ~ ~
D 1 ~ ~ 1 ~
Ak 1 vk 1 Ak vk g k g~k 1 ,
2
2
2
~
v~ t 0 ~