shema_bernulli.pptx

1. Схема Бернулли

«Теория вероятностей есть в
сущности не что иное, как
здравый смысл, сведенной к
исчислению»

2.

1. О каком событии идёт речь? «Из 25 учащихся класса
двое справляют день рождения 30 февраля».
П) достоверное
Л) невозможное
Г) случайное
2. Это событие является случайным:
О) слово начинается с буквы«ь»;
Е) ученику 9 класса 14 месяцев
А) бросили две игральные кости: сумма выпавших на
них очков равна 8.

3.

3. Запишите множество исходов для следующих испытаний.
В урне четыре шара с номерами два, три, пять, восемь. Из
урны наугад извлекают один шар
С) 5
П) 4
Л) 6
4. Найдите множество исходов следующих совместных
испытаний: подбрасывают рублёвую монету и игральный
кубик.
Л) 12
К) 10
И) 6

4.

5. Среди пар событий, найдите несовместимые.
А) В сыгранной Катей и Славой
партии шахмат, Катя проиграла и
Слава проиграл.
Л) Из набора домино вынута одна
костяшка, на ней одно число очков больше 3,другое число 5.
К) Наступило лето, на небе ни облачка.
6.Два шахматиста играют подряд две партии.
Сколько исходов у этого события?
Ь) 4
А)2
С) 9

5. Пьер Симон Лаплас

1
2
3
4
5
6
Л
А
П
Л
А
С

6.

Для числа сочетаний из n по k
справедлива формула
n!
С
k!(n k )!
k
n
5!
3! 4 5
Например: С
10
3!(5 3)!
3! 2!
3
5
0! 1
С С 1
0
n
n
n
С С
1
n
n 1
n
n
С nk С nn k

7.

Вероятностью события А, связанного с
некоторым опытом называют отношение
числа благоприятных исходов N(А)
(в результате которых наступает событие А)
к общему числу N всех элементарных
равновозможных между собой исходов этого
опыта.
N ( А)
Р ( А)
N

8.

Для нахождения вероятности события А при
проведении некоторого опыта следует:
1) найти число N всех возможных исходов
данного опыта;
2) принять предложение о равновозможности
всех этих исходов;
3) Найти количество N(А) тех исходов опыта, в
которых наступает событие А;
N ( А)
4) Найти частное
; оно и будет
N
вероятностью события А.

9.

• ЗАДАЧИ

10.

11.

Якоб Бернулли
(27 декабря 1654 - 16 августа 1705)
профессор математики
Базельского университета (с 1687).

12.

13.

Примеры независимых событий
Монета бросается n раз.
Из колоды извлекается карта n раз,
причём каждый раз карта возвращается,
колода перемешивается.
Исследуется n изделий некоторого
производства, наугад выбранные, на
качество.
Стрелок стреляет по мишени n раз и т.д.

14.

1. Производится серия n независимых
испытаний.
2. У каждого испытания 2 исхода: A - "успех"
и A - "неуспех".
3. Вероятность "успеха" в каждом испытании
одинакова и равна P(A) = p
(соответственно, вероятность "неуспеха"
также не меняется от опыта к опыту и
равна ).
Какова вероятность того, что в серии из n
опытов k раз наступит успех? Найти Рn (k ) .

15.

Какова вероятность трехкратного
выпадения «двойки» при десяти бросаниях
игрального кубика?
Какова вероятность того, что при ста
бросаниях монеты «орел» появится 73
раза?
Двадцать раз подряд бросили пару
игральных кубиков. Какова вероятность
того, что сумма очков ни разу не была
равна десяти?
Из колоды в 36 карт вытащили три
карты, записали результат и возвратили
их в колоду, затем карты перемешали. Так
повторялось 4 раза. Какова вероятность
того, что каждый раз среди вытащенных
карт была дама пик?

16.

• Вероятность Р (k ) наступления ровно k
n
успехов в n независимых повторениях одного
и того же испытания находится по формуле
Рn (k ) Сnk p k q n k
,
где p – вероятность «успеха»,
q = 1- p - вероятность «неудачи» в отдельном
опыте.

17.

• Рассмотрим частные случаи формулы
Бернулли. Вероятность того, что успех
наступит во всех n испытаниях, равна:
n
n
n n
n
0
Рn (n) Сn p q
1! p q p
n
• А вероятность того, что успех не наступит ни
разу, равна:
Рn (0) С p q
0
n
0
n 0
1! p q q
0
n
n

18.

• Пример: Найти вероятность того, что
четырехзначный номер первого встречного
автомобиля содержит две цифры 5.
= 6 · 0,01· 0,81 = 0,0486
При больших значениях n,k подсчет
проводится по приближенной формуле
(локальная теорема Муавра-Лапласа)

19.

• Пример 1. Монета бросается 6
раз. Какова вероятность
выпадения герба 0, 1, …6 раз?

20.

Случайно встреченное лицо с
вероятностью, близкой к 0,2, может
оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3
– шатеном, с вероятность. 0,4 –
блондином и с вероятность. 0,1 рыжим.
Какова вероятность того, что среди
шести случайно встреченных лиц:
Не меньше четырех блондинов;
3 блондина и 3 шатена.

21.

22. Домашняя работа

В следующих испытаниях найдите вероятности
«успеха» и «неудачи».
а) Бросают пару различных монет. «Неудача» выпадение двух «орлов».
б) Бросают игральный кубик. «Успех» выпадение числа, кратного трем.
в) Бросают пару различных кубиков. «Неудача» выпадение двух четных чисел.
г) Из 36 игральных карт берут 5. «Успех» - среди
них нет дамы пик.