Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача

1.

Бинарный случайный опыт
(испытание), успех и неудача.
Независимые испытания.
Серия независимых испытаний до
первого успеха
ВИС-10 КЛАСС

2.

Биномиальный эксперимент (испытание Бернулли) – это испытание, результат
Биномиальный
эксперимент
—одно
это эксперимент,
обладающий
которого может принимать
только
из двух значений
(успех или неудача).
следующими четырьмя свойствами:
1. Эксперимент состоит из n повторных попыток. Число n может быть любым. Например,
если мы подбросим монету 100 раз, то n = 100.
2. Каждое испытание имеет только два возможных исхода. Мы часто называем результаты
либо «успехом», либо «неудачей»
3. Вероятность успеха, обозначаемая p , одинакова для каждого испытания.
Чтобы эксперимент был настоящим биномиальным экспериментом, вероятность
4. «успеха»
Каждое испытание
является
независимым.
должна быть
одинаковой
для каждого испытания. Например, когда мы
подбрасываем монету, вероятность выпадения орла («успех») всегда одинакова каждый
Это
просто
что исходмонету.
одного испытания не влияет на исход другого испытания.
раз,
когда означает,
мы подбрасываем
Например, предположим, что мы подбрасываем монету, и она падает решкой. Тот факт, что она
выпала орлом, не меняет вероятности того, что она выпадет орлом при следующем
подбрасывании. Каждый флип (т. е. каждое «испытание») независим.

3.

Пример №1
Подбросьте монету 10 раз. Запишите, сколько раз она приземляется на решку.
Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:
•Эксперимент состоит из n повторных попыток. В этом случае есть 10 испытаний.
•Каждое испытание имеет только два возможных исхода. Монета может приземлиться только орлом
или решкой.
•Вероятность успеха одинакова для каждого испытания. Если мы определяем «успех» как
приземление орлом, то вероятность успеха составляет ровно 0,5 для каждого испытания.
•Каждое испытание является независимым. Результат одного подбрасывания монеты не влияет на
результат любого другого подбрасывания монеты.

4.

Пример № 2
Бросьте правильный шестигранный кубик 20 раз. Запишите, сколько раз выпадет цифра 2.
Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:
•Эксперимент состоит из n повторных попыток. В этом случае есть 20 испытаний.
•Каждое испытание имеет только два возможных исхода. Если мы определим двойку как «успех», то
каждый раз, когда кубик падает либо на 2 (успех), либо на какое-то другое число (неудача).
•Вероятность успеха одинакова для каждого испытания. Для каждого испытания вероятность того, что
кубик выпадет на 2, равна 1/6. Эта вероятность не меняется от одного испытания к другому.
•Каждое испытание является независимым. Результат одного броска кубика не влияет на результат
любого другого броска кубика.

5.

Алексей Викторович Швед — российский профессиональный баскетболист, выполняет 70%
штрафных бросков. Предположим, он делает 15 попыток. Запишите количество попаданий бросков,
которые он делает.
Это биномиальный эксперимент, поскольку он обладает следующими четырьмя свойствами:
•Эксперимент состоит из n повторных попыток. В этом случае есть 15 испытаний.
•Каждое испытание имеет только два возможных исхода. При каждой попытке Швед либо
попадает в корзину, либо промахивается.
•Вероятность успеха одинакова для каждого испытания. Для каждого испытания вероятность того,
что Швед попадет в корзину, составляет 70%. Эта вероятность не меняется от одного испытания к
другому.
•Каждое испытание является независимым. Результат одной попытки штрафного броска не влияет
на результат любой другой попытки штрафного броска.

6.

Примеры, не являющиеся биномиальными экспериментами
Спросите 100 человек, сколько им лет .
Это не биномиальный эксперимент, поскольку существует более двух возможных исходов.
Бросайте правильный шестигранный кубик, пока не выпадет 5.
Это не биномиальный эксперимент, потому что нет заранее определенного числа n испытаний. Мы
понятия не имеем, сколько потребуется бросков, пока не выпадет 5.
Вытяните 5 карт из колоды карт.
Это не биномиальный эксперимент, потому что результат одного испытания (например, вытягивание
определенной карты из колоды) влияет на исход будущих испытаний.

7.

Испытанием Бернулли или просто испытанием называют случайный опыт,
который может закончиться одним из двух элементарных событий.
Одно из двух элементарных событий
Якоб
Бернулли
в таких опытах условно называют успехом, а
(6 января 1655 — 16 августа 1705)
другой — неудачей.
— опыт
швейцарский
Вероятность того, что
закончится
математик.
Один
успехом, обычно обозначают
буквой
р. из
Вероятность неудачи
обозначают теории
q.
основателей
Числа р и q положительные,
вероятностей и
при этом pматематического
+ q= 1
анализа.

8.

Если проводится несколько одинаковых и независимых испытаний
Бернулли
подряд, то говорят, что проведена серия или последовательность
испытаний Бернулли. Серия испытаний Бернулли также является
случайным экспериментом.

9.

Элементарные события изображаются цепочками, ведущими из
точки S к конечным вершинам. Например, элементарное событие
НННУ (три неудачи и затем успех) изображается в этом дереве
цепочкой SНННУ (выделена красным цветом).

10.

11.

Пример 1. Коля бросает игральный кубик до тех пор, пока на нем не
выпадет шестёрка. Найти вероятность того, что это произойдёт на пятом
броске.
Пример 2. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания.
Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна p = 0,2.
Какова вероятность того, что стрелку потребуется:
а) ровно два выстрела; б) не больше пяти выстрелов?

12.

Не может ли случиться так, что в серии испытаний до первого успеха успех
никогда не наступит?
Сложим вероятности известных нам элементарных событий:
p qp q 2 p q3 p q 4 p ... q k p ...
Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ,так как знаменатель прогрессии
0 q 1
Из курса алгебры известно, что эта сумма равна
p
p
p qp q p q p q p ... q p ...
1
1 q p
Вероятности элементарных событий, оканчивающихся успехом, в сумме дают
единицу. Следовательно, на долю события «бесконечная цепочка неудач»
приходится вероятность 0. Такое событие не произойдёт. Рано или поздно
наступит успех, как бы ни была мала его вероятность p
(мы договорились, что p > 0).
2
3
4
k

13.

Пример 3. Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Постройте дерево
эксперимента. Укажите в дереве событие A и найдите его вероятность, если событие
А состоит в том, что:
а) потребуется ровно два броска;
б) три раза выпадет решка, на четвёртый раз — орёл;
в) потребуется три или четыре броска, чтобы орёл появился;
г) первые четыре броска окончатся решкой.

14.

а) Р А =0,5 0, 25 ;
2

15.

Пример 4. Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет единица или двойка. Найдите
вероятность того, что это случится при втором, третьем или четвёртом броске.
Решение. Вероятность успеха р
2 1
2
, неудачи – q .
6 3
3
Построим дерево эксперимента. Отметим на нем событие А «единица или двойка выпадет во
второй, третий или четвёртый раз»

16.

Найдем вероятность этого события. Разобьём всё множество элементарных
событий на три несовместных события А, В и С

17.

Пример
5 Проводится серия одинаковых независимых испытаний до
Решение:
б)
достижения
первого успеха. Вероятность неудачи в каждом отдельном
испытании равна q. Выразите через q вероятность того, что для
достижения успеха потребуется:
а) не менее k испытаний;
б) от k до n испытаний (k < n).

18.

Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3.

19.

Задача 4. Оля пытается отправить СМС подруге из леса. Связь в лесу плохая, поэтому
при каждой отдельной попытке СМС может быть отправлено с вероятностью 0,1.
Телефон делает последовательные и независимые попытки до тех пор, пока СМС не
будет отправлено.
Какова вероятность события:
а) «СМС будет отправлено с третьей попытки»;
б) «СМС будет отправлено не позже, чем с пятой попытки».
Задача 5. Вероятность того, что мобильный телефон выйдет из строя в течение
первого года работы, равна 0,25. Если телефон проработал какое-то время, то
вероятность его поломки в течение следующего года такая же (телефон не содержит
изнашивающихся деталей, поэтому вероятность его поломки не растёт со временем).
Найдите вероятность того, что новый телефон выйдет из строя в течение второго или
третьего года службы.