ДС_Л.3, 4_Локальная бифуркация_ИЗО

1. Локальные бифуркации в одномерных динамических системах

2. Задача об изгибе колонны

3. Бифуркационная диаграмма

4. Основные понятия теории бифуркации

Существуют два основных класса задач, которые решаются
в рамках качественной теории динамических систем:
1) изучение поведения систем при фиксированных
значениях параметрах (построение фазового портрета);
2)качественные изменения в системе при изменении
значений параметров, т. е. бифуркация.
Бифуркация – это качественная перестройка фазового
портрета динамической системы при малых изменениях
ее параметров (бифуркационных параметров).

5. Основные понятия теории бифуркации

Значения параметров, при которых происходит бифуркация –
это бифуркационные значения или точки бифуркации системы).
В динамической системе может быть как один бифуркационный
параметр, так и несколько.
Минимальным количеством бифуркационных параметров и
определяется коразмерность бифуркации.
Бифуркационная диаграмма – изображение смены всех
возможных динамических режимов системы при изменении
значения бифуркационного параметра.

6. Основные понятия теории бифуркации

Выделяют два класса динамических систем.
Грубые динамические системы: при малом изменении
параметров динамической системы или правой части
динамического уравнения вид фазового портрета
качественно не изменяется.
В таких системах никаких бифуркаций не происходит.

7. Основные понятия теории бифуркации

Негрубые динамические системы: при малом изменении
параметров динамической системы или правой части
динамического уравнения качественно изменяется вид
фазового портрета.
Из одного равновесия рождается другое или несколько.
Или система находилась в состоянии неустойчивого
равновесия, а в результате бифуркации она переходит в
состояние устойчивого равновесия.

8. Основные понятия теории бифуркации

Выделяют два класса бифуркации:
локальная бифуркация или бифуркация равновесия;
глобальная бифуркация.
Рассмотрим первый класс – бифуркацию равновесия.

9. Седло-узловая бифуркация

Бифуркация равновесий – это бифуркации в динамической
системе, в которых изменяется: число равновесных точек и
/ или их устойчивость.
Нормальная форма седло-узловая бифуркация:
ẋ = α – х2,
α – параметр бифуркации.

10. Седло-узловая бифуркация

При α > 0 получаем две стационарные точки х* = ∓