Нестандартные способы решения задач на смеси и сплавы

1.

Нестандартные
способы решения
задач на смеси и
сплавы
Автор: Немченко Марина Германовна,
учитель математики МАОУ лицея №6
г. Тамбова

2. Задания из вариантов ЕГЭ

1. В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного
5. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40%
раствора некоторого вещества, добавили 7 литров
меди. Масса второго сплава больше массы первого
воды. Сколько процентов составляет
на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав,
концентрация получившегося раствора?
содержащий 30% меди. Найдите массу третьего
сплава. Ответ дайте в килограммах.
2. Смешали некоторое количество 15% раствора
некоторого вещества с таким же количеством 19%
6. Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив
раствора этого вещества. Сколько процентов
10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты.
составляет концентрация получившегося
Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%
раствора?
раствора той же кислоты, то получили бы 41%
раствор кислоты. Сколько килограммов 30%
3. Смешали 4 литра 15% водного раствора
раствора использовали для получения смеси?
некоторого вещества с 6 литрами 25% водного
раствора этого же вещества. Сколько процентов
7. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а
составляет концентрация получившегося
второй — 20 кг раствора кислоты различной
раствора?
концентрации. Если эти растворы смешать, то
получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если
4. Имеется два сплава. Первый содержит 10%
же смешать равные массы этих растворов, то
никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух
получится раствор, содержащий 70% кислоты.
сплавов получили третий сплав массой 200 кг,
Сколько килограммов кислоты содержится в первом
содержащий 25% никеля. На сколько килограммов
сосуде?
масса первого сплава меньше массы второго?

3. Задания из вступительных экзаменов в МГУ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
Имеются три металлических
слитка. Первый весит 5 кг, второй
– 3 кг, и каждый из этих двух
слитков содержит 30% меди. Если
первый слиток сплавить с
третьим, то получится слиток,
содержащий 56% меди, а если
второй слиток сплавить с третьим,
то получится слиток, содержащий
60% меди. Найти вес третьего
слитка и процент содержания
меди в нём.
ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Сосуд вместимостью 8 л наполнен
смесью кислорода и азота. На долю
кислорода приходится 16% вместимости
сосуда. Из сосуда выпускают некоторое
количество смеси и впускают такое же
количество азота, после чего опять
выпускают такое же, как в первый раз,
количество смеси и опять добавляют
столько же азота. В новой смеси
кислорода оказалось 9%. Какое
количество смеси каждый раз
выпускалось из сосуда?

4.

Теоретическая
часть

5.

Теоретические основы
решения задач «на смеси, сплавы»
Примем некоторые допущения:
Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ
равна сумме масс компонентов.
Определение. Процентным содержанием ( концентрацией)
вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе
всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях,
либо в процентах.
Терминология:
- процентное содержание вещества;
- концентрация вещества;
- массовая доля вещества. Всё это синонимы.

6.

Практическая
часть

7.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?

8.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?

9.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?

10.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?
+
=

11.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?
=
+
оло
во
оло
во
медь
+
оло
во
медь
=
медь

12.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?
=
+
оло
во
оло
во
медь
медь
оло
во
медь
72%
+
медь
оло
во
медь
=
+
оло
сви
нец
во
оло
во
медь
80%
=
75%

13.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?
=
+
оло
во
оло
во
медь
медь
72%
оло
во
оло
во
медь
+
72%
Хг
+
медь
80%
оло
во
медь
медь
оло
во
медь
=
+
оло
во
оло
во
=
оло
во
медь
80%
(800-Х) г
75%
=
медь
75%
800 г

14.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?
оло
во
оло
во
медь
72%
+
Хг
оло
во
медь
80%
=
(800-Х) г
Решение:
1) 0, 72 x 0,8 800 x 0, 75 800
x 500
2) 800 x 300.
Ответ:500 г, 300 г.
медь
75%
800 г

15.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?
оло
во
оло
во
медь
15%
+
Хг
Решение:
0,72 x 0,8 y 0,75 800,
x y 800,
x 500, y 300.
Ответ:500 г, 300 г.
медь
65%
Уг
оло
во
=
медь
30%
200 г

16.

Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит
72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого
сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?
СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
72
75
80
72
5
80
3
75
(800 : (5 + 3) = 100 г приходится на одну часть)
для получения 800 г 75%-ного сплава нужно взять:
72%-ного сплава 100·5 = 500 г,
а 80%-ного – 100·3 = 300 г.
Ответ:500 г, 300 г.

17.

Задача 2. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы
с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?
СТАРИННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ
375
250
750
125
500
x : y 250:125;
x : y 2:1.
Ответ: Нужно взять две части 375-й пробы и одну часть 750-й пробы.

18.

Теоретическая
часть

19. Правило креста или квадрат Пирсона

Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В распоряжении
имеется два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно.
Если обозначить массу первого раствора через m 1, а второго – через m 2, то при
смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс.
Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – ω 1, во втором
– ω 2, а в их смеси – ω 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет
складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах:
m 1 ω 1 + m 2 ω 2 = ω 3(m 1 + m 2),
m 1(ω 1 – ω 3) = m 2(ω 3 – ω 2),
m1 3 2
m2 1 3
Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе
второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого
вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих
величин в первом растворе и в смеси.

20.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют
диагональную схему правила смешения или квадрат Пирсона.
При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества
в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно
приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.
Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго
растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
ω1
ω2
ω3
ω3 — ω2
ω1 — ω3

21.

Практическая
часть

22.

Задача 3. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько
пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы
концентрация соли составила 1,5%?
Решение:
5%
x
30 3, 5
;
1, 5
x = 7.0
Ответ: 70 кг
30 кг
3,5%
х кг
1,5%
0%
30 1,5
=
;
x 3,5
1,5%

23.

Задача 4. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором
кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора
этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор
кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?
Решение:
97%
36%
(х-2) л
16%
2л
81%
45%
x 2 36
;
2
16
16 x 2 72;
x 6,5.
Ответ: 6,5 литров.

24.

Задача 5. Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го
раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.
Решение:
10%
(55-х)%
500 г
(х-10)%
400 г
х%
55%
500 55 x
;
400 x 10
5 55 x
;
4 x 10
5 x 50 220 4 x;
9 x 270;
x 30.
Ответ: концентрация соли в смеси двух исходных растворов 30%.

25.

Задача 6. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго
слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное
содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После
сплавления этих двух слитков, получился слиток, процентное
содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного
слитка.
Решение:
20%
40%
(х+3) кг
30%
10%
1)
x 3 20
;
x
10
x 3 2x;
x 3;
2) 6 + 3 = 9 (кг).
Ответ: 9 килограммов.
10%
х кг

26.

Задача 7. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60%
олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова.
Сколько процентов олова в получившемся сплаве?
Решение:
60%
(80-х)%
300 г
(х-60)%
900 г
х%
80%
300 80 x
;
900 x 60
x 60 240 3 x;
4x 300;
x 75.
Ответ: 75%.

27.

Задача 8. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного
раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько
процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
12%
х%
5л
(12–х)%
7л
х%
0%
x
5
= ;
12 - x 7
7x = 60 - 5x;
12x = 60;
x = 5.
Ответ: 5%.

28.

Задача 9. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора
некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация
получившегося раствора?
Решение:
(19–х)%
15%
тг
х%
19%
19 - x m
= ;
x - 15 m
19 - x = x - 15;
2x = 34;
x = 17.
Ответ: 17%.
(х–15)% т г

29.

Задача 10. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора
некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора
этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация
получившегося раствора?
Решение:
15%
(25–х)%
4л
(х–15)%
6л
х%
25%
25 - x 4
= ;
x - 15 6
150 - 6x = 4x - 60;
10x = 210;
x = 21.
Ответ: 21%.

30.

Задача 11. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля,
второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий
сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько
килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение:
x
1) 5 =
;
15 200 - x
x
1
= ;
200 - x 3
10%
5%
х кг
15%
(200–х) кг
25%
30%
3x = 200 - x;
4x = 200;
x = 50 (кг) – 1-й сплав;
2) 200 - 50 = 150 (кг) – 2-й сплав;
3) 150 - 50 = 100(кг) – разница.
Ответ: на 100 кг.

31.

Задача 12. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди.
Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух
сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите
массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение:
10%
10%
х кг
20%
(х+3) кг
30%
1)
10
x
=
;
20 x + 3
40%
x
1
= ;
x+3 2
2x = x + 3;
x = 3 (кг) — 1-й сплав;
2) 3 + 3 = 6 (кг) — 2-й сплав;
3) 3 + 6 = 9 (кг) — 3-й сплав.
Ответ: 9 кг.

32.

Задача 13. По дороге ТУДА Винни Пух нашел дупло с мёдом. По его
ощущениям этот мёд, к сожалению, только лишь на одну пятую
часть правильный (остальные четыре пятые – неправильные). В
дупле же, найденном по дороге ОБРАТНО, мёд на 60% правильный.
Сколько килограммов мёда нужно взять из первого и второго(10 –
Х) кг дупла, чтобы в общей сложности получить 10 кг меда,
содержащего 32% правильного?
Решение:
20%
28%
Х кг
32%
60%
1)
12%
(10 – Х) кг
28
x
;
12 10 x
7 10 x 3x;
10 x 70;
x 7 (кг)
2) 10 – 7 = 3 (кг).
Ответ: 7 килограммов из первого и 3 килограмма из второго дупла.

33.

БЛАГОДАРЮ
ЗА
ВНИМАНИЕ