Презентация_к_уроку_геометрии_«Перпендикулярность_плоскостей_признак

1. Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей.

Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

2. Повторим!

Двугранным углом называется фигура,
образованная
прямой
а
и
двумя
полуплоскостями с общей границей в виде
прямой а, не принадлежащими одной
плоскости. Полуплоскости, образующие
двугранный угол, называются его гранями.
Прямая а, которая является общей
границей полуплоскостей, называется
ребром двугранного угла

3. Повторим!

Двугранный угол с ребром CD, на
разных гранях которого отмечены
точки A и B называют двугранным
углом CABD.

4. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Если один из этих двугранных углов
равен , то другие три угла равны
соответственно 180 - , и 180 - .

5. Определение перпендикулярных плоскостей

В частности, если один из углов
прямой, то и остальные три угла
прямые.
Если
угол
между
пересекающимися плоскостями равен
90 градусом, будем называть такие
плоскости перпендикулярными.

6. Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
Рассмотрим
плоскости
и такие,
что
плоскость проходит через прямую АВ, АВ и
АВ =А. Докажем, что .
= АС. При этом прямая АВ АС, так как по
условию прямая АВ , это означает, что
прямая АВ перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в плоскости .
Проведем
в
плоскости
прямую
AD,
перпендикулярную к прямой АС. Тогда BAD —
линейный угол двугранного угла, образованного при
пересечении плоскостей и . Но BAD = 90 , так
как
АВ . Следовательно, угол между
плоскостями и равен 90 .
Что и требовалось доказать.

7. Следствие

Плоскость, перпендикулярная к
прямой, по которой пересекаются
две
данные
плоскости,
перпендикулярна к каждой из
этих плоскостей.
Если =a, a, то и

8.

Укажите пары перпендикулярных плоскостей в
каждой из фигур и обоснуйте.

9. Задача № 1

Плоскости равносторонних треугольников АВС
и ADC перпендикулярны. ВМ – медиана АВС,
ВМ = 5 см. Вычислите длину отрезка ВD.
Дано: АВС и ADC – равносторонние,
(АВС) (ADC), ВМ – медиана АВС,
ВМ = 5 см
Найти: ВD
ОТВЕТ: 5 2 см
15.02.2026
9

10. Задача № 2

Плоскости квадратов АВСD и MNCB
перпендикулярны, ВС = 5 см. Вычислите
длину отрезка АN.
Дано: АВСD и MNCB – квадраты, (АВС) (MNC)
ВС = 5 см
Найти: АN
ОТВЕТ: 5 3 см
15.02.2026
10

11. Задача № 3

Плоскости прямоугольного треугольника АВС ( С
= 90 ) и квадрата ACPR перпендикулярны. Сторона
квадрата 6 см, гипотенуза АВ = 10 см. Найдите
длину отрезка ВP.
Дано: АВС – прямоугольный, ACPR – квадрат,
(АВС) (ACP), АС = 6 см, АВ = 10 см
Найти: ВР
ОТВЕТ: 10 см
15.02.2026
11

12. Задача № 4

Отрезок МК перпендикулярен плоскости
прямоугольного треугольника АВС ( С = 90 ).
KN AC, AK = KB, AC = 12 см, MK = 8 см. Найдите
длину отрезка MN.
Дано: АВС – прямоугольный, МК (АВС), KN AC,
AK = KB, AC = 12см, MK = 8 см.
Найти: MN
ОТВЕТ: 10 см
15.02.2026
12

13. Задача № 5

Плоскости равнобедренных треугольников АВС и
АDС перпендикулярны. АС – их общее основание.
ВК – медиана АВС, ВК = 8 см, DК = 15 см.
Найдите длину отрезка ВD.
Дано: АВС и АDС – равнобедренные,
АС – общее основание, (АВС) (АDС),
ВК – медиана АВС, ВК = 8 см, DК = 15 см.
Найти: ВD
ОТВЕТ: 17 см
15.02.2026
13

14. Задача № 6

Точка A находится на расстоянии 1 см до одной
из двух перпендикулярных плоскостей. Найдите
расстояние от точки A до второй плоскости, если
расстояние от A до прямой их пересечения
равно 5 см.
Дано: , А , А , АВ , АВ = 1 см,
АD , = с, АС = 5 см
Найти: АD
ОТВЕТ: 2 см
15.02.2026
14

15. Задача № 7

Отрезок длиной 25 см опирается концами на две
перпендикулярные плоскости. Расстояние от
концов отрезка до плоскостей равны 7 см и 15 см.
вычислите проекции отрезка на каждую из
плоскостей.
Дано: , АВ = В, АВ =А, АВ = 25 см,
АС , BD , АС = 7 см, BD = 15 cм
Найти: ВС, АD
ОТВЕТ: 24 см, 20 см
15.02.2026
15

16. Домашнее задание

Выучить правила § 3, п.23
Выполнить в тетради:
1. Отрезок длиной 25 см опирается концами на две
взаимно перпендикулярные плоскости. Проекции отрезка
на эти плоскости равны 369 см и 20 см. Найдите
расстояния от концов отрезка до данных плоскостей.
2. Из концов отрезка, лежащих в двух взаимно
перпендикулярных
плоскостях,
проведены
перпендикуляры к этим плоскостям, длины которых
соответственно равны 16 см и 15 см. Расстояние между
основаниями этих перпендикуляров равно 12 см.
Найдите длину данного отрезка.

17. Использованные источники

https://resh.edu.ru/subject/lesson/4748/conspect/20809/
https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/perpendikulyarnostpryamyh-i-ploskostejb/priznak-perpendikulyarnosti-dvuh-ploskostey
https://foxford.ru/wiki/matematika/perpendikulyarnyeploskosti?utm_referrer=https%3A%2F%2Fyandex.ru%2F
https://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/perpendikuliarnost-vprostranstve-10441/poniatie-dvugrannogo-ugla-priznak-perpendikuliarnostiploskostei-11035/re-9aa441b9-4440-42d1-a6ab-0778481ce000