Теорема, обратная теореме Пифагора

1. Теорема, обратная теореме Пифагора

Цель урока:
повторить теорему Пифагора и
закрепить ее в ходе решения задач;
изучить теорему, обратную теореме
Пифагора и применять ее к
решению задач.

2. «Геометрия и сейчас обладает всеми достоинствами, за которые её ценили педагоги прошлых поколений. На свете есть ещё геометрия,

которая ждёт, чтобы её
познали и оценили… Так давайте же вновь
перелистаем Евклида, познакомимся с
некоторыми новыми результатами. Быть
может, мы вновь сумеем испытать тот же
восторг и трепет, как и при первых встречах
с геометрией»
Гарольд Коксетер и Самуэль Грейтцер

3. Решение задач по готовым чертежам (устно)

Найти:
1) АВ; 2) ВС; 3) АС; 4) ВС, если АВСД – ромб;
5) АД, если АВСД – прямоугольник, АВ : АД = 3 : 4 ;
6) АВ.

4.

5.

6.

• Свойства египетского
треугольника
использовали при
сооружении храмов,
дворцов. Царская
комната в знаменитой
пирамиде Хеопса имеет
размеры, связанные
числами 3, 4, 5.
Диагональ комнаты
содержит 5 единиц,
большая стена имеет 4, а
диагональ меньшей стены
3 единицы.
4
5
3

7. ЕГИПЕТСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

8. Прямая теорема и обратная теорема

Прямая теорема
Условие теоремы
Заключение теоремы
Если............................, то.......................................
Дано:
Доказать:
Обратная теорема

9. ЕСЛИ ….. , ТО….. .

Теорема Пифагора Теорема, обратная
теореме Пифагора
Если треугольник
Если квадрат одной
прямоугольный,
стороны равен сумме
то квадрат
квадратов двух других
гипотенузы равен
сторон,
сумме квадратов
катетов.
то такой треугольник
прямоугольный.

10. Дано: ∆АВС- произвольный треугольник, АВ²=АС²+ВС², ∆А1 В 1 С1- прямоугольный треугольник, А1С1=АС, В1С1=ВС, уголС1- прямой

В
Дано:
∆АВС- произвольный треугольник,
АВ²=АС²+ВС²,
∆А1 В 1 С1- прямоугольный треугольник,
А1С1=АС, В1С1=ВС,
уголС1- прямой угол.
А1
Доказать: угол С прямой.
А
С
С1
В1
Доказательство:1)Рассмотрим ∆А1В1С1.
А1В1²=А1С1 ²+В1С1² (теорема Пифагора);
2)А1С1=АС (по условию), В1С1=ВС (по условию),
А1В1²= АС²+ВС²;
3) АВ²=АС²+ВС² (по условию),А1В1²=АВ², А1В1=АВ;
4) ∆А1В1С1=∆АВС ( по трем сторонам) А1В1=АВ
(п.3),А1С1=АС (по условию),В1С1=ВС (по условию);
5) ∟С1=∟С=90º( как соответственные углы в равных
треугольниках).

11. ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Прямоугольные треугольники со сторонами, выраженными целыми
числами, называют пифагоровыми. Например, треугольник со
сторонами 5. 12, 13; 8, 15, 17 и т. д. И существует способ
отыскания «целочисленных» прямоугольных треугольников,
т. е. таких троек чисел, что с ² = а ² + в ².
Их можно найти по формулам:
в = (а ² – 1) / 2, с = (а ² + 1) / 2.

12.

13. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

№ 498 (б,в)– 1 вариант, №498(г,д) -2 вариант.
ПРОВЕРКА
Пусть треугольник прямоугольный, тогда наибольшая сторона
треугольника, будет гипотенузой.
• б) Применим теорему, обратную теореме Пифагора: 7²= 5²+6²,
49=25+36 (неверно). Значит треугольник со сторонами 7, 5 и 6
не является прямоугольным.
• в) 15²=9²+12², 225=81+144,225=225(верно), значит по теореме,
обратной теореме Пифагора, треугольник сторонами 9, 15 и
12 является прямоугольным.
• г)26²=24²+10², 676=576+100, 676=676(верно), значит по теореме,
обратной теореме Пифагора, треугольник сторонами 10, 24 и
26 является прямоугольным.
• д)6²=3²+4², 36=9+16,36=25(неверно), значит по теореме,
обратной теореме Пифагора, треугольник сторонами 3, 4 и 6
не является прямоугольным.

14. Задача №1

15. ЗАДАЧА №2

16. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• 1) п.55 учебника
• 2) №498 (е, ж), № 499(а)
• 3) Практическое задание: с помощью веревки
с 12 метками проверить, точность построения
прямых углов в вашем кабинете.

17.

«Наглядность, воображение принадлежат
больше искусству,
строгая логика – привилегия науки.
Сухость точного вывода и живость наглядной
картины – «лёд и пламень не столь различны
меж собой». Геометрия соединяет в себе эти
противоположности, они в ней взаимно
проникают и направляют друг друга».
Академик А.Д.Александров