Линейные пространства. Подпространства. Евклидовы и унитарные пространства

1.

АГиТДУ
Линейная алгебра
Лекция 1 Линейные пространства. Подпространства.
Евклидовы и унитарные пространства
Лектор курса
Поторочина К.С.
Доцент ДИТиА, ИРИТ-РТФ

2.

Линейное пространство
Пусть L – непустое множество элементов, P – числовое поле. L
называется линейным пространством над полем P , если на L определены две операции:
- сложение – правило, по которому любой упорядоченной паре x, y L
ставится в соответствие единственный элемент из L , называемый суммой
и обозначаемый x y , и
- умножение элемента из L на число из P , т.е. указан закон (правило), по которому каждому элементу x из L и любому числу из P поставлен
в соответствие единственный элемент из L , называемый произведением
элемента на число и обозначаемый x .

3.

Аксиомы линейного пространства
При этом выполнены следующие аксиомы:
10. x, y L
x y y x
(коммутативность);
20. x, y, z L x y z x y z (ассоциативность);
30. L : x L
x x (существование нулевого элемента);
40. x L ! x L : x x (существование противоположного элемента).
50 . x L , , P
60 . x L
x x ;
1 x x для единицы 1 поля P ;
70 . x L , , P
x x x ;
80 . x , y L , P
x y x y .

4.

Подпространства
Определение.
Непустое
подпространством в
подмножество
(обозначение
L
M
из
L
называется
линейным
M L ), если оно само является линейным
пространством относительно операций, определенных в L .
Критерий
подпространства.
Непустое
подмножество
M
из
L
является
подпространством в L тогда и только тогда, когда выполнены условия:
(1) x, y M
x y M ,
(2) x M , P x M (в частности M ).
Замечание. Иногда условия (1) и (2) из критерия подпространства объединяют в одно
условие: x, y M
, P
x y M .

5.

Примеры линейных подпространств
1. Множество V2 всех геометрических векторов некоторой плоскости, проходящей через
начало координат, – подпространство линейного пространства V3 .
2. Множество C a,b всех непрерывных на отрезке
функционального пространства f x
x a ,b
.
a, b функций – подпространство

6.

Линейная оболочка
Пусть L – линейное пространство над полем P .
Пусть A a1,
, an – система элементов из L ; 1,
, n – некоторый набор чисел из
поля P .
Линейные комбинации элементов системы A a1,
1,
, an с различными наборами чисел
, n являются различными элементами из L .
Определение. Множество всех линейных комбинаций из элементов конечной системы
A a1,
, an называется линейной оболочкой системы A (или, как еще говорят, линейной
оболочкой, натянутой на систему элементов A ) и обозначается через A или a1,
, an .

7.

Основные свойства евклидова пространства
Лемма. Линейная оболочка, натянутая на конечное множество элементов a1,
является линейным подпространством в L .
Замечания.
1. Линейная оболочка, натянутая на векторы x1,
, xn является
наименьшим подпространством пространства L , их содержащим.
2.
Если
dim L n ,
то минимальное
число векторов,
которые
порождают линейную оболочку, совпадающую со всем пространством,
равно n .
, an из A ,

8.

Сумма и пересечение подпространств
Пусть в линейном пространстве L выбраны два подпространства M 1 и M 2 .
Определение. Суммой M 1 M 2 линейных подпространств M 1 и M 2 называется множество
всех векторов вида x a b , где a M 1 , b M 2 , т.е.
M1 M 2 x L | x a b, a M1, b M 2 .
Определение. Пересечением
M1 M 2
линейных подпространств
M1
и
M2
называется множество всех векторов, одновременно принадлежащих как M 1 , так и M 2 , т.е.
M1 M 2 x L | x M1, x M 2
Замечание. Сумма, и пересечение подпространств всегда являются непустыми множествами,
так как им заведомо принадлежит нулевой вектор пространства L .

9.

Основные свойства евклидова пространства
Лемма. M 1 M 2 и M1 M 2 являются подпространствами линейного пространства L .
Теорема (о размерности суммы подпространств).
Для произвольных двух конечномерных подпространств M 1 и M 2 имеет место равенство
dim M1 M 2 dim M1 dim M 2 dim M1 M 2 (формула Грассмана).
Проиллюстрируем формулу Грассмана с помощью
кругов Эйлера (рис. 1), но данная иллюстрация не может
служить четким доказательством формулы.
Рис.1

10.

Вещественное евклидово пространство
Определение. Вещественное n мерное линейное пространство L называется вещественным евклидовым пространством (обозначение E n ), если любой упорядоченной паре x, y L
по некоторому правилу поставлено в соответствие вещественное число, которое обозначается через x, y , называемое их скалярным произведением (т.е. *,* : L L
ются следующие условия (аксиомы скалярного произведения):
1)
x, y L
x, y y , x ;
2) x, y L,
3) x, y, z L
4)
x L
x, y x , y ;
x y , z x, z y , z ;
x, x 0 , причем x, x 0 x .
) и при этом выполня-

11.

Примеры евклидовых пространств
1. Трехмерное евклидово пространство геометрических векторов V3 ; , ,
в котором a, b a b a b cos a, b .
2.
n
n
; , , в котором x, y i i при x 1,
i 1
, n
n
, y 1 ,
, n
n
.
3. Пространство C a ,b непрерывных функций на a, b со скалярным произведением
b
x, y x t y t dt является бесконечномерным евклидовым пространством.
a
Замечание. Иногда в пространстве C a ,b рассматривается скалярное произведение с весом:
b
x, y t x t y t dt , где t 0 – весовая функция на отрезке a, b .
a

12.

Комплексное евклидово пространство
Определение. Комплексное n -мерное линейное пространство L называется
комплексным евклидовым (унитарным) пространством E n , если любой упорядоченной
паре x, y L по некоторому правилу поставлено в соответствие комплексное число x, y , называемое их скалярным произведением (т.е. отображение *,* : L L
) и при этом выполняются
следующие аксиомы:
1) x, y L x, y y, x ;
2) x, y L,
x, y x, y ;
3) x, y, z L x y, z x, z y, z ;
4) x L x, x 0 , причем x, x 0
x .

13.

Некоторые свойства скалярного произведения в унитарных
пространствах
1. Вынесение скаляра у второго сомножителя:
x, y x, y .
Действительно, x, y y, x y , x y, x x, y .
2. Скалярное произведение линейных комбинаций векторов:
m
n
n m
i xi , j y j i j xi , y j .
j 1
i 1
i 1 j 1
Замечание. В вещественных евклидовых пространствах , поэтому
свойства 1 и 2 принимают вид:
m
n
n m
x, y x, y и i xi , j y j i j xi , y j .
j 1
i 1
i 1 j 1

14.

Основные свойства евклидова пространства
1. Длина вектора:
x x, x
(в случае конечномерных пространств).
Замечание. Если пространство бесконечномерно, то говорят о норме вектора: x x, x .
Свойства нормы
а) x En
x 0 , причем x 0
б) x E n P
в) x, y E n
x x ;
x y x y .
x ;

15.

Основные свойства евклидова пространства
2. Расстояние между векторами (метрика):
x, y x y x y , x y .
Свойства метрики
а) x, y E n
x, y 0 , причем x, y 0
б) x, y E n
x, y y , x ;
в) x, y, z E n
x, y x, z z , y .
x y;

16.

Основные свойства евклидова пространства
3. Угол между векторами x и y (в вещественном евклидовом пространстве):
cos
x, y
x y
x , y .
Замечание. В унитарном пространстве угол между векторами не вводится, вводится
лишь понятие ортогональности (аналог перпендикулярности).
4. Признак ортогональности векторов. Векторы x и y ортогональны тогда и только
тогда, когда x, y 0 .

17.

Основные свойства евклидова пространства
5. Неравенство Коши-Буняковского:
x, y E n
x, y x y , причем x, y x y
x y.
Доказательство. Докажем это неравенство для вещественного евклидова пространства E n .
Рассмотрим произвольные x, y E n и
.
По четвертой аксиоме скалярного произведения имеем: x y, x y 0 .
Преобразуем это неравенство к следующему виду: 2 x, x 2 x, y y, y 0 .
В левой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно , который принимает
неотрицательные значения при любом
.
Это возможно тогда и только тогда, когда дискриминант этого трехчлена неположителен, т.е.
x, y 2 x, x y, y 0 x, y 2 x, x y, y
x, y x y .

18.

Основные свойства евклидова пространства
6. Неравенство Минковского:
x, y E n
x y x y .
Доказательство
Рассмотрим
x y, x y 0.
x y, x y x y
2
2
2
2
2
x y x y , x y x, x 2 x, y y , y x y
2
применим
свойство 5
чтд.

19.

Продолжение следует…