Пирамида

1.

2. Пирамида

• Многогранник,
составленный из nугольника A1A2…An и n
треугольников,
называется пирамидой
P
An
A1
A2
A3

3.

Многоугольник A1A2…An называется
основанием пирамиды,
треугольники A1PA2 , A2PA3 , … , AnPA1 –
боковыми гранями пирамиды.
Точка P называется вершиной пирамиды, а
отрезки PA1, PA2, …,PAn - её боковыми
ребрами.
P
An
A1
A2
A3

4.

Перпендикуляр, проведенный из
вершины пирамиды к плоскости
основания, называется высотой
P
пирамиды
P
O
(
A
B
C
)
D
A
O
B
C

5.

• Площадью
полной
поверхности
пирамиды
называется
сумма площадей
всех ее граней , а
площадью
боковой
поверхности
пирамиды —
сумма площадей
ее боковых
граней.

6. На рисунке изображены треугольная, четырёхугольная и шестиугольная пирамиды

P
P
P
B
A
F
E
A
C
D
A
D
B
C
B
C

7. Тетраэдр

P
Треугольную
пирамиду иногда
называют
тетраэдром по
числу граней
B
A
C

8. Правильная пирамида

Пирамида называется
правильной, если её
основание –
правильный
многоугольник, а
отрезок, соединяющий
вершину пирамиды с
центром основания,
является её высотой.
P
C
B
O
A
D

9. Правильные пирамиды

10. Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды

P
C
B
O
A
D
Все боковые ребра
правильной
пирамиды равны, а
боковые грани
являются равными
равнобедренными
треугольниками

11.

Высота боковой грани правильной
пирамиды, проведенная из её вершины
называется апофемой.
P
P
N
K
M
M
O
N
O
L
K

12. Свойства пирамиды

• Если все боковые ребра равны, то вокруг основания
пирамиды можно описать окружность, а центр
основания совпадает с центром окружности. Также
перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит
через центр основания (круга).
• Если все боковые ребра равны, то они наклонены к
плоскости основания под одинаковыми углами.
• Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с
плоскостью основания равные углы или если вокруг
основания пирамиды можно описать окружность.
• Если боковые грани наклонены к плоскости
основания под одним углом, то в основание
пирамиды можно вписать окружность, а вершина
пирамиды проектируется в ее центр.
• Если боковые грани наклонены к плоскости
основания под одним углом, то апофемы боковых
граней равны.

13. Свойства правильной пирамиды

• Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.
• Все боковые ребра равны.
• Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к
основанию.
• Апофемы всех боковых граней равны.
• Площади всех боковых граней равны.
• Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.
• Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной
сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые
проходят через середину ребер.
• В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы
будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между
ребром и основанием.
• Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной
сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или
наоборот, один угол равен π/n, где n - это количество углов в
основании пирамиды.

14.

15.

16. Задача №1

Дано: SABCD – пирамида, SB⊥ABCD
ABCD – квадрат, АВ = 2, ∠SAB = 60°.
Найдите: Sбок.
S
60º
С
В
2
А
2
D

17. Задача №2

S
Дано: SABCD – пирамида,
ABCD – ромб, АВ = BD, РABCD = 16,
SO⊥(АВС), SO = 1.
Найдите: Sбок.
1
С
В
O
А
H
D

18. Задача №3

S
Дано: SABCD – пирамида,
ABCD – ромб, АС = 8, BD = 6,
SO ⊥ (АВС), SO = 1.
Найдите: Sбок.
1
С
В
O
А
H
D

19.

Домашняя работа
Ответьте на вопросы
теста

20.

21.

22.

Критерии оценок:
«5» – 100% верных ответов
«4» - 80%-90% верных ответов
«3» – 60-70% верных ответов