Численные методы: приближенные значения и оценка погрешностей

1.

Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности.
Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений. Способы
представления чисел в вычислительных машинах. Определение погрешности
при вычислении по формулам
Попов Владимир Сергеевич,
Преподаватель ПТК НовГУ
Великий Новгород, 2024 год

2.

Цели и задачи курса Численные
методы
Цели курса
Знать актуальный профессиональный и социальный контекст, в котором приходится работать и жить.
Знать основные источники информации и ресурсов для решения задач и проблем в профессиональном и/или социальном контексте.
Знать актуальные стандарты выполнения работ в профессиональной и смежных областях.
Знать актуальные методы работы в профессиональной и смежных сферах.
Номенклатуру информационных источников применяемых в профессиональной деятельности
Приемы структурирования информации
Формат оформления результатов поиска информации
Психология коллектива
Психология личности
Основы проектной деятельности
Особенности социального и культурного контекста
Правила оформления документов.
Современные средства и устройства информатизации
Порядок их применения и программное обеспечение в профессиональной деятельности
Правила построения простых и сложных предложений на профессиональные темы
основные общеупотребительные глаголы (бытовая и профессиональная лексика)
лексический минимум, относящийся к описанию предметов, средств и процессов профессиональной деятельности
особенности произношения
правила чтения текстов профессиональной направленности
Основные этапы разработки программного обеспечения.
Основные принципы технологии структурного и объектно-ориентированного программирования.
Актуальная нормативно-правовая база в области документирования алгоритмов.
Способы оптимизации и приемы рефакторинга.
Инструментальные средства анализа алгоритма.
Методы организации рефакторинга и оптимизации кода.

3.

Цели и задачи курса Численные
методы
В результате изучения курса вы сможете
Распознавать задачу и/или проблему в профессиональном и/или социальном контексте.
Анализировать задачу и/или проблему и выделять её составные части.
Правильно определить и найти информацию, необходимую для решения задачи и/или проблемы.
Составить план действия,
Определить необходимые ресурсы.
Владеть актуальными методами работы в профессиональной и смежных сферах.
Реализовать составленный план.
Оценить результат и последствия своих действий (самостоятельно или с помощью наставника).
Определять задачи поиска информации
Определять необходимые источники информации
Планировать процесс поиска
Структурировать получаемую информацию
Выделять наиболее значимое в перечне информации
Оценивать практическую значимость результатов поиска
Оформлять результаты поиска
Организовывать работу коллектива и команды
Взаимодействовать с коллегами, руководством, клиентами.
Излагать свои мысли на государственном языке
Оформлять документы
Применять средства информационных технологий для решения профессиональных задач
Использовать современное программное обеспечение
Понимать общий смысл четко произнесенных высказываний на известные темы (профессиональные и бытовые),
понимать тексты на базовые профессиональные темы
участвовать в диалогах на знакомые общие и профессиональные темы
строить простые высказывания о себе и о своей профессиональной деятельности
кратко обосновывать и объяснить свои действия (текущие и планируемые)
писать простые связные сообщения на знакомые или интересующие профессиональные темы
Формировать алгоритмы разработки программных модулей в соответствии с техническим заданием.
Оформлять документацию на программные средства.
Оценка сложности алгоритма
Выполнять оптимизацию и рефакторинг программного кода.
Осуществлять разработку кода программного модуля на современных языках программирования

4.

Введение
Что такое численные методы?
Раздел прикладной математики, используемый для приближенного решения задач.
Применяются в науке, технике, инженерии для расчетов и моделирования.
Зачем нужны приближенные значения?
Не все задачи имеют точное аналитическое решение.
Реальные расчеты часто требуют приближенных решений с высокой точностью.
Примеры: вычисление корней уравнений, интегралов, моделирование физических процессов.
Роль погрешностей в вычислениях
Любое вычисление сопряжено с неточностью.
Погрешности могут накапливаться, влияя на конечный результат.
Важно понимать и контролировать погрешности для точных вычислений.
Цель лекции:
Понять природу и важность погрешностей в вычислениях.
Научиться правильно представлять и записывать приближенные значения.
Овладеть методами оценки и минимизации погрешностей.

5.

Приближенное значение величины
Определение приближенного значения:
Приближенное значение — это численное значение, которое получено с некоторой степенью точности и может
отличаться от истинного значения из-за ограниченной точности измерений, вычислений или других факторов.
Оно используется в ситуациях, когда точное значение трудно или невозможно получить.
Понятие точности и погрешности:
Точность:
Характеризует степень близости приближенного значения к истинному. Чем точнее значение, тем
меньше разница между ним и истинным значением.
Точность определяется количеством значащих цифр или степенью округления.
Погрешность:
Отклонение приближенного значения от истинного. Погрешность может быть абсолютной или
относительной.
Абсолютная погрешность: разница между приближенным и истинным значением.
Относительная погрешность: отношение абсолютной погрешности к истинному значению,
выраженное в процентах или в виде дроби.

6.

Приближенное значение величины

7.

Абсолютная погрешность
Определение абсолютной погрешности:
Абсолютная погрешность — это величина, выражающая разницу между приближенным значением и истинным
значением измеряемой или вычисляемой величины. Она показывает, насколько приближенное значение
отклоняется от точного значения.

8.

Относительная погрешность
Определение относительной погрешности:
Относительная погрешность — это величина, показывающая, насколько абсолютная погрешность соотносится с
истинным значением величины. Она выражается в виде дроби, процента или числа и показывает, насколько
приближенное значение отличается от истинного относительно размера самой величины.

9.

Верные и значащие цифры
Определение верных и значащих цифр:
Верные цифры: Цифры в числе, которые точно соответствуют значению величины. Это все цифры, начиная с
первой ненулевой цифры и заканчивая последней значащей цифрой, включая нули между ними.
Значащие цифры: Все цифры в числе, начиная с первой ненулевой цифры, включая все последующие цифры,
которые добавляют точности, вплоть до последней ненулевой цифры. Значащие цифры отражают точность
измерений или вычислений.
Правила округления чисел:
Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставшаяся цифра не изменяется (например, 3.1427
округляется до 3.142).
Если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на
единицу (например, 3.146 округляется до 3.15).
При округлении нужно сохранять соответствующее количество значащих цифр, чтобы не потерять точность
данных.

10.

Верные и значащие цифры

11.

Запись приближенных значений

12.

Способы представления чисел в
вычислительных машинах

13.

Способы представления чисел в
вычислительных машинах