Методы решения алгебраических проблем собственных значений

1. Методы решения алгебраических проблем собственных значений

Степенной метод и его модификации решения частичной
проблемы собственных значений. Метод вращения Якоби
решения симметричной полной проблемы собственных
значений и его модификации: LU, QR- алгоритмы для
несимметричных задач, их модификации.
Безбородникова Р.М.

2. Собственные значения и собственные векторы

• Вычисление собственных значений и собственных векторов
матрицы является одной из самых сложных задач линейной
алгебры.
• Для решения проблемы собственных значений в случае матриц
больших порядков используются только итерационные методы,
в которых собственные значения определяются
непосредственно, минуя характеристический многочлен.
• Различают две задачи, связанные с собственными векторами и
значениями: полная проблема собственных значений и
собственных векторов, когда требуется определить все
собственные значения и все собственные векторы; частичная
проблема собственных значений и собственных векторов, когда
нужно найти одно или несколько собственных значений и,
возможно, соответствующих собственных векторов.
2

3. Степенной метод

3

4. Степенной метод

4

5. Степенной метод

• Степенной метод позволяет находить и
собственные вектора, соответствующие
найденным собственным значениям:
5

6. PM-алгоритм

6

7. Степенной метод

7

8. Метод скалярных произведений (SP-метод)

• При таком подходе, так же как и в степенном методе,
можно получить большие числа, поэтому используют
нормировку. Возьмем
8

9. Метод вращений Якоби

9

10. Метод вращений Якоби

• Матрицы преобразования плоских
вращений имеют вид:
10

11. Метод вращений Якоби

11

12. Метод вращений Якоби

12

13. LU-алгоритм для несимметричных задач

• Чаще (по крайней мере, в несимметричном
случае) алгоритмы приближенного решения
полных проблем собственных значений
основываются на приведении данных матриц
к подобным им матрицам не диагонального, а
треугольного вида. Наиболее простой из таких
алгоритмов вычисления собственных чисел
опирается на LU–разложение матриц.
• Пусть данная