Электродинамика. Электрическое поле

1. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

2.

Лекции
Электродинамика
Многие физические явления, наблюдаемые в
природе и окружающей нас жизни, не могут быть
объяснены только на основе законов механики,
молекулярно-кинетической теории и
термодинамики.
В этих явлениях проявляются силы, действующие
между телами на расстоянии, причем эти силы не
зависят от масс взаимодействующих тел и,
следовательно, не являются гравитационными.
Эти силы называют электромагнитными силами.
4

3.

Лекции
О существовании электромагнитных сил знали еще
древние греки.
Но систематическое, количественное изучение
физических явлений, в которых проявляется
электромагнитное взаимодействие тел, началось
только в конце XVIII века.
Трудами многих ученых в XIX веке завершилось
создание стройной науки, изучающей электрические
и магнитные явления.
Эта наука, которая является одним из важнейших
разделов физики, получила название
электродинамики (или электромагнетизм).
4

4.

Лекции
Основными объектами изучения в
электродинамике являются электрические
и магнитные поля, создаваемые
электрическими зарядами и токами.
4

5.

Лекции
1. Электрический заряд.
Закон Кулона
4

6.

Лекции
Подобно понятию гравитационной массы тела в
механике Ньютона, понятие заряда в
электродинамике является первичным, основным
понятием.
Электрический заряд – это физическая величина,
характеризующая свойство частиц или тел
вступать в электромагнитные силовые
взаимодействия.
Электрический заряд обычно обозначается
буквами q или Q.
Совокупность всех известных экспериментальных
фактов позволяет сделать следующие выводы:
4

7.

Лекции
Существует два рода электрических зарядов, условно
названных положительными и отрицательными.
Заряды могут передаваться (например, при
непосредственном контакте) от одного тела к другому.
В отличие от массы тела электрический заряд не
является неотъемлемой характеристикой данного тела.
Одно и то же тело в разных условиях может иметь
разный заряд.
Одноименные заряды отталкиваются, разноименные
– притягиваются. В этом также проявляется
принципиальное отличие электромагнитных сил от
гравитационных. Гравитационные силы всегда
являются силами притяжения.
4

8.

Лекции
Одним из фундаментальных законов природы
является экспериментально установленный закон
сохранения электрического заряда.
В изолированной системе алгебраическая сумма
зарядов всех тел остается постоянной:
q1 + q2 + q3 + ... +qn = const.
Закон сохранения электрического заряда
утверждает, что в замкнутой системе тел не могут
наблюдаться процессы рождения или исчезновения
зарядов только одного знака.
4

9.

Лекции
С современной точки зрения, носителями зарядов
являются элементарные частицы.
Все обычные тела состоят из атомов, в состав которых
входят положительно заряженные протоны,
отрицательно заряженные электроны и нейтральные
частицы – нейтроны.
Протоны и нейтроны входят в состав атомных ядер,
электроны образуют электронную оболочку атомов.
Электрические заряды протона и электрона по модулю
в точности одинаковы и равны элементарному заряду e.
e = 1,602177·10–19 Кл ≈ 1,6·10–19 Кл.
В нейтральном атоме число протонов в ядре равно
числу электронов в оболочке.
Это число называется атомным номером.
4

10.

Лекции
Атом данного вещества может потерять один или
несколько электронов или приобрести лишний
электрон.
В этих случаях нейтральный атом превращается в
положительно или отрицательно заряженный ион.
Заряд может передаваться от одного тела к другому
только порциями, содержащими целое число
элементарных зарядов.
Т.о., электрический заряд тела – дискретная
величина:
4

11.

Лекции
Физические величины, которые могут принимать
только дискретный ряд значений, называются
квантованными.
Элементарный заряд e является квантом
(наименьшей порцией) электрического заряда.
Следует отметить, что в современной физике
элементарных частиц предполагается
существование так называемых кварков – частиц с
1
2
дробным зарядом 3 е и 3 е .
Однако, в свободном состоянии кварки до сих пор
наблюдать не удалось.
4

12.

Лекции
В обычных лабораторных опытах для обнаружения и
измерения электрических зарядов используется
электрометр – прибор, состоящий из металлического
стержня и стрелки, которая может вращаться вокруг
горизонтальной оси (рис. 1.).
Стержень со стрелкой изолирован от металлического
корпуса.
При соприкосновении заряженного тела со стержнем
электрометра, электрические заряды одного знака
распределяются по стержню и стрелке.
Силы электрического отталкивания вызывают
поворот стрелки на некоторый угол, по которому
можно судить о заряде, переданном стержню
электрометра.
4

13.

Лекции
Рис. 1 Перенос заряда с заряженного тела на
электрометр.
4

14.

Лекции
Электрометр является достаточно грубым прибором;
он не позволяет исследовать силы взаимодействия
зарядов.
Впервые закон взаимодействия неподвижных
зарядов был установлен французским физиком Ш.
Кулоном (1785 г.).
В своих опытах Кулон измерял силы притяжения и
отталкивания заряженных шариков с помощью
сконструированного им прибора – крутильных весов
(рис. 2), отличавшихся чрезвычайно высокой
чувствительностью.
Например, коромысло весов поворачивалось на 1°
под действием силы порядка 10-9 Н.
4

15.

Лекции
Идея измерений основывалась на
блестящей догадке Кулона о том,
что если заряженный шарик
привести в контакт с точно таким
же незаряженным, то заряд
первого разделится между ними
поровну.
Т.о., был указан способ изменять
заряд шарика в два, три и т.д. раз.
В опытах Кулона измерялось
взаимодействие между шариками,
размеры которых много меньше
расстояния между ними.
Такие заряженные тела принято
Рис. 2. Прибор Кулона. называть точечными зарядами.
4

16.

Лекции
Точечным зарядом называют заряженное тело,
размерами которого в условиях данной задачи
можно пренебречь.
На основании многочисленных опытов Кулон
установил следующий закон:
Силы взаимодействия неподвижных зарядов
прямо пропорциональны произведению модулей
зарядов и обратно пропорциональны квадрату
расстояния между ними:
4

17.

Лекции
Силы взаимодействия подчиняются третьему
закону Ньютона
.
Они являются силами отталкивания при
одинаковых знаках зарядов и силами притяжения
при разных знаках (рис. 3).
Взаимодействие неподвижных электрических
зарядов называют электростатическим или
кулоновским взаимодействием.
Раздел электродинамики, изучающий кулоновское
взаимодействие, называют электростатикой.
Закон Кулона справедлив для точечных заряженных
тел.
4

18.

Лекции
Рис. 3. Силы взаимодействия одноименных и
разноименных зарядов.
4

19.

Лекции
Практически закон Кулона хорошо выполняется, если
размеры заряженных тел много меньше расстояния
между ними.
Коэффициент пропорциональности k в законе
Кулона зависит от выбора системы единиц.
В Международной системе СИ за единицу заряда
принят кулон (Кл).
Кулон – это заряд, проходящий за 1 с через
поперечное сечение проводника при силе тока 1 А.
Коэффициент k в системе СИ обычно записывают в
виде:
- электрическая постоянная.
4

20.

Лекции
Опыт показывает, что силы кулоновского
взаимодействия подчиняются принципу
суперпозиции.
Если заряженное тело взаимодействует
одновременно с несколькими заряженными телами,
то результирующая сила, действующая на данное
тело, равна векторной сумме сил, действующих на
это тело со стороны всех других заряженных тел.
Рис. 4 поясняет принцип суперпозиции на примере
электростатического взаимодействия трех
заряженных тел.
4

21.

Лекции
Рис. 4. Принцип суперпозиции электростатических сил
4

22.

Лекции
2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
4

23.

Лекции
По современным представлениям, электрические
заряды не действуют друг на друга
непосредственно.
Каждое заряженное тело создает в окружающем
пространстве электрическое поле.
Это поле оказывает силовое действие на другие
заряженные тела.
Главное свойство электрического поля – действие
на электрические заряды с некоторой силой.
Т.о., взаимодействие заряженных тел
осуществляется не непосредственным их
воздействием друг на друга, а через электрические
поля, окружающие заряженные тела.
4

24.

Лекции
Электрическое поле, окружающее заряженное тело,
можно исследовать с помощью так называемого
пробного заряда – небольшого по величине
точечного заряда, который не вносит заметного
перераспределения исследуемых зарядов.
Для количественного определения электрического
поля вводится силовая характеристика
напряженность электрического поля.
Напряженностью электрического поля
называют физическую величину, равную
отношению силы, с которой поле
действует на положительный пробный
заряд, помещенный в данную точку
пространства, к величине этого заряда:
4

25.

Лекции
Электрическое поле неподвижных и не
меняющихся со временем зарядов называется
электростатическим.
Если с помощью пробного заряда исследуется
электрическое поле, создаваемое несколькими
заряженными телами, то результирующая сила
оказывается равной геометрической сумме сил,
действующих на пробный заряд со стороны каждого
заряженного тела в отдельности.
Напряженность электрического поля, создаваемого
системой зарядов в данной точке пространства, равна
векторной сумме напряженностей электрических
полей, создаваемых в той же точке зарядами в
отдельности:
4

26.

Лекции
Это свойство электрического поля означает, что поле
подчиняется принципу суперпозиции.
В соответствии с законом Кулона, напряженность
электростатического поля, создаваемого точечным
зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю
Это поле называется кулоновским.
В кулоновском поле направление вектора
зависит
от знака заряда Q: если Q > 0, то вектор направлен по
радиусу от заряда, если Q < 0, то вектор
направлен
к заряду.
4

27.

Лекции
Для наглядного представления электрического поля
используют силовые линии.
Эти линии проводятся так, чтобы направление вектора
в каждой точке совпадало с направлением
касательной к силовой линии (рис. 1).
Силовые линии кулоновских полей (+) и (–) точечных
зарядов изображены на рис. 2.
Электростатическое поле, создаваемое любой
системой зарядов, может быть представлено в виде
суперпозиции кулоновских полей точечных зарядов,
изображенные на рис. 2. поля можно рассматривать
как элементарные структурные единицы («кирпичики»)
любого электростатического поля.
4

28.

Лекции
Рис. 1. Силовые линии
электрического поля.
4

29.

Лекции
Рис. 2. Силовые линии
кулоновских полей.
4

30.

Лекции
Кулоновское поле точечного заряда Q удобно
записать в векторной форме.
Для этого нужно провести радиус-вектор от заряда
Q к точке наблюдения.
Тогда при Q > 0 вектор параллелен а при Q < 0
вектор антипараллелен
Следовательно, можно записать:
r – модуль радиус-вектора
4

31.

Лекции
В качестве примера применения принципа
суперпозиции полей на рис. 3. изображена картина
силовых линий поля электрического диполя –
системы из двух одинаковых по модулю зарядов
разного знака q и –q, расположенных на некотором
расстоянии l.
Важной характеристикой электрического диполя
является так называемый дипольный момент
– вектор, направленный от отрицательного заряда
к положительному, модуль
Диполь может служить электрической моделью
многих молекул.
4

32.

Лекции
Рис. 3. Силовые линии поля
электрического диполя
4

33.

Лекции
Электрическим дипольным моментом обладает,
например, нейтральная молекула воды (H2O), так как
центры двух атомов водорода располагаются не на
одной прямой с центром атома кислорода, а под
углом 105° (рис. 4).
Дипольный момент молекулы воды p = 6,2·10–30 Кл · м.
Во многих задачах электростатики требуется
определить электрическое поле
по заданному
распределению зарядов.
Например, нужно найти электрическое поле длинной
однородно заряженной нити (рис. 5) на расстоянии R
от нее.
4

34.

Лекции
Рис. 4. Дипольный момент
молекулы воды.
4

35.

Лекции
Рис. 5. Электрическое поле
заряженной нити.
4

36.

Лекции
Поле в точке наблюдения P может быть представлено
в виде суперпозиции кулоновских полей,
создаваемых малыми элементами Δx нити, с
зарядом τΔx, где τ – заряд нити на единицу длины.
Задача сводится к суммированию (интегрированию)
элементарных полей
Результирующее поле оказывается равным
Вектор
везде направлен по радиусу
Это следует из симметрии задачи.
4

37.

Лекции
Уже этот простой пример показывает, что прямой
путь определения поля по заданному
распределению зарядов приводит к громоздким
математическим расчетам.
В ряде случаев можно значительно упростить
расчеты, если воспользоваться теоремой Гаусса,
которая выражает фундаментальное свойство
электрического поля.
4

38.

Лекции
3. ТЕОРЕМА ГАУССА
4

39.

Лекции
Экспериментально установленные закон Кулона и
принцип суперпозиции позволяют полностью описать
электростатическое поле заданной системы зарядов
в вакууме.
Однако, свойства электростатического поля можно
выразить в другой, более общей форме, не прибегая к
представлению о кулоновском поле точечного заряда.
Введем новую физическую величину,
характеризующую электрическое поле – поток Φ
вектора напряженности электрического поля.
Понятие потока вектора аналогично понятию
потока вектора скорости при течении
несжимаемой жидкости.
4

40.

Лекции
Пусть в пространстве, где создано электрическое
поле, расположена некоторая достаточно малая
площадка ΔS.
Произведение модуля вектора на площадь ΔS и
на косинус угла α между вектором и нормалью
к площадке называется элементарным потоком
вектора напряженности через площадку ΔS (рис. 1):
ΔΦ = EΔS cos α = EnΔS,
En – модуль нормальной составляющей поля
Рассмотрим теперь некоторую произвольную
замкнутую поверхность S.
4

41.

Лекции
Рис. 1. К определению
элементарного потока ΔΦ
4

42.

Лекции
Если разбить эту поверхность на малые площадки
ΔSi, определить элементарные потоки ΔΦi поля
через эти малые площадки, а затем их
просуммировать, то в результате мы получим поток
Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис.2):
В случае замкнутой поверхности всегда выбирается
внешняя нормаль.
Теорема Гаусса утверждает:
4

43.

Лекции
Рис. 2. Вычисление потока Ф через
произвольную замкнутую поверхность S.
4

44.

Лекции
Поток вектора напряженности электростатического
поля через произвольную замкнутую
поверхность равен алгебраической сумме зарядов,
расположенных внутри этой поверхности,
деленной на электрическую постоянную ε0.
Для доказательства рассмотрим сначала сферическую
поверхность S, в центре которой находится точечный
заряд q.
Электрическое поле в любой точке сферы
перпендикулярно к ее поверхности и равно по модулю
R – радиус сферы
4

45.

Лекции
Поток Φ через сферическую поверхность будет
равен произведению E на площадь сферы 4πR2.
Следовательно,
Окружим теперь точечный заряд произвольной
замкнутой поверхностью S и рассмотрим
вспомогательную сферу радиуса R0 (рис. 3).
Рассмотрим конус с малым телесным углом ΔΩ
при вершине.
Этот конус выделит на сфере малую площадку ΔS0,
а на поверхности S – площадку ΔS.
Элементарные потоки ΔΦ0 и ΔΦ через эти
площадки одинаковы.
4

46.

Лекции
Рис. 3. Поток электрического поля точечного заряда через
произвольную поверхность S, окружающую заряд.
4

47.

Лекции
Действительно,
ΔΦ0 = E0ΔS0, ΔΦ = EΔS cos α = EΔS'.
ΔS ' = ΔS cos α – площадка, выделяемая конусом с
телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса r.
Так как
а
следовательно
ΔΦ0 = ΔΦ.
Отсюда следует, что полный поток электрического
поля точечного заряда через произвольную
поверхность, охватывающую заряд, равен потоку
Φ0 через поверхность вспомогательной сферы:
Аналогичным образом можно показать, что, если
замкнутая поверхность S не охватывает точечного
заряда q, то поток Φ = 0 (см. рис. 2).
4

48.

Лекции
Рис. 2. Вычисление потока Ф через
произвольную замкнутую поверхность S.
4

49.

Лекции
Все силовые линии электрического поля точечного
заряда пронизывают замкнутую поверхность S
насквозь.
Внутри поверхности S зарядов нет, поэтому в этой
области силовые линии не обрываются и не
зарождаются.
Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного
распределения зарядов вытекает из принципа
суперпозиции.
Поле любого распределения зарядов можно
представить как векторную сумму электрических
полей
точечных зарядов.
Поток Φ системы зарядов через произвольную
замкнутую поверхность S будет складываться из
потоков Φi электрических полей отдельных зарядов.
4

50.

Лекции
Если заряд qi оказался внутри поверхности S, то он
дает вклад в поток, равный
; если же этот
заряд оказался снаружи поверхности, то вклад его
электрического поля в поток будет равен нулю.
Т.о, теорема Гаусса доказана.
Теорема Гаусса является следствием закона
Кулона и принципа суперпозиции.
Но если принять утверждение, содержащееся в
этой теореме, за первоначальную аксиому, то ее
следствием окажется закон Кулона.
Поэтому теорему Гаусса иногда называют
альтернативной формулировкой закона Кулона.
4

51.

Лекции
Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев
легко вычислить напряженность электрического
поля вокруг заряженного тела, если заданное
распределение зарядов обладает какой-либо
симметрией и общую структуру поля можно
заранее угадать.
4

52.

Лекции
Примером может служить задача о вычислении
поля тонкостенного полого однородно
заряженного длинного цилиндра радиуса R.
Эта задача имеет осевую симметрию.
Из соображений симметрии, электрическое поле
должно быть направлено по радиусу.
Поэтому для применения теоремы Гаусса
целесообразно выбрать замкнутую поверхность
S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и
длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 4).
4

53.

Лекции
Рис. 4. Вычисление поля однородно
заряженного цилиндра. OO' – ось симметрии.
4

54.

Лекции
При r ≥ R весь поток вектора напряженности будет
проходить через боковую поверхность цилиндра,
площадь которой равна 2πrl, так как поток через оба
основания равен нулю.
Применение теоремы Гаусса дает:
τ – заряд единицы длины цилиндра.
Отсюда
Этот результат не зависит от радиуса R заряженного
цилиндра, поэтому он применим и к полю длинной
однородно заряженной нити.
4

55.

Лекции
Для определения напряженности поля внутри
заряженного цилиндра нужно построить замкнутую
поверхность для случая r < R.
В силу симметрии задачи поток вектора
напряженности через боковую поверхность гауссова
цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E2πrl.
Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален
заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности.
Этот заряд равен нулю.
Отсюда следует, что электрическое поле внутри
однородно заряженного длинного полого цилиндра
равно нулю.
4

56.

Лекции
Аналогичным образом можно применить теорему Гаусса
для определения электрического поля в ряде других
случаев, когда распределение зарядов обладает какойлибо симметрией, например, симметрией
относительно центра, плоскости или оси.
В каждом из таких случаев нужно выбирать замкнутую
гауссову поверхность целесообразной формы.
Например, в случае центральной симметрии гауссову
поверхность удобно выбирать в виде сферы с центром
в точке симметрии.
При осевой симметрии замкнутую поверхность нужно
выбирать в виде соосного цилиндра, замкнутого с
обоих торцов (как в рассмотренном выше примере).
4

57.

Лекции
Если распределение зарядов не обладает какой-либо
симметрией и общую структуру электрического поля
угадать невозможно, применение теоремы Гаусса не
может упростить задачу определения напряженности
поля.
Рассмотрим еще один пример симметричного
распределения зарядов – определение поля равномерно
заряженной плоскости (рис. 5).
В этом случае гауссову поверхность S целесообразно
выбрать в виде цилиндра некоторой длины, закрытого
с обоих торцов.
Ось цилиндра направлена перпендикулярно заряженной
плоскости, а его торцы расположены на одинаковом
расстоянии от нее.
4

58.

Лекции
Рис. 5. Поле равномерно заряженной плоскости.
σ – поверхностная плотность заряда.
S – замкнутая гауссова поверхность.
4

59.

Лекции
В силу симметрии поле равномерно заряженной
плоскости должно быть везде направлено по нормали.
Применение теоремы Гаусса дает:
σ – поверхностная плотность заряда, т. е. заряд,
приходящийся на единицу площади.
4

60.

Лекции
4. РАБОТА В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ
ПОЛЕ. ПОТЕНЦИАЛ
4

61.

Лекции
При перемещении пробного заряда q в электрическом
поле электрические силы совершают работу.
Эта работа при малом перемещении
равна (рис. 1):
Электростатическое поле обладает важным свойством:
Работа сил электростатического поля при
перемещении заряда из одной точки поля в другую
не зависит от формы траектории, а
определяется только положением начальной и
конечной точек и величиной заряда.
Аналогичным свойством обладает и гравитационное
поле, и в этом нет ничего удивительного, так как
гравитационные и кулоновские силы описываются
одинаковыми соотношениями.
4

62.

Лекции
Рис. 1. Работа электрических сил при малом
перемещении заряда q.
4

63.

Лекции
Следствием независимости работы от формы
траектории является следующее утверждение:
Работа сил электростатического поля
при перемещении заряда по любой
замкнутой траектории равна нулю.
Силовые поля, обладающие этим свойством,
называют потенциальными или консервативными.
На рис. 2 изображены силовые линии кулоновского
поля точечного заряда Q и две различные траектории
перемещения пробного заряда q из начальной точки (1)
в конечную точку (2).
На одной из траекторий выделено малое перемещение
4

64.

Лекции
Рис. 2. Работа кулоновских сил при перемещении
заряда q зависит только от расстояний r1 и r2
начальной и конечной точек траектории.
4

65.

Лекции
Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении
равна
Т.о., работа на малом перемещении зависит только от
расстояния r между зарядами и его изменения Δr.
Если это выражение проинтегрировать на интервале
от r = r1 до r = r2, то можно получить
Полученный результат не зависит от формы траектории.
На траекториях I и II, изображенных на рис. 2, работы
кулоновских сил одинаковы.
4

66.

Лекции
Если на одной из траекторий изменить направление
перемещения заряда q на противоположное, то работа
изменит знак.
Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа
кулоновских сил равна нулю.
Если электростатическое поле создается
совокупностью точечных зарядов Qi, то при
перемещении пробного заряда q работа A
результирующего поля в соответствии с принципом
суперпозиции будет складываться из работ Ai
кулоновских полей точечных зарядов:
Каждый член суммы Ai не зависит от формы траектории,
то и полная работа A результирующего поля не зависит
от пути и определяется только положением начальной и
конечной точек.
4

67.

Лекции
Свойство потенциальности электростатического
поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии
заряда в электрическом поле.
Для этого в пространстве выбирается некоторая точка
(0), и потенциальная энергия заряда q, помещенного в
эту точку, принимается равной нулю.
Потенциальная энергия заряда q, помещенного
в любую точку (1) пространства, относительно
фиксированной точки (0) равна работе A10,
которую совершит электрическое поле при
перемещении заряда q из точки (1) в точку (0):
Wp1 = A10.
4

68.

Лекции
Так же, как и в механике, потенциальная энергия
определена с точностью до постоянной величины,
зависящей от выбора опорной точки (0).
Такая неоднозначность в определении потенциальной
энергии не приводит к каким-либо недоразумениям,
так как физический смысл имеет не сама
потенциальная энергия, а разность ее значений в
двух точках пространства.
Работа, совершаемая электрическим полем при
перемещении точечного заряда q из точки (1) в
точку (2), равна разности значений потенциальной
энергии в этих точках и не зависит от пути
перемещения заряда и от выбора точки (0).
A12 = A10 + A02 = A10 – A20 = Wp1 – Wp2.
4

69.

Лекции
Физическую величину, равную отношению
потенциальной энергии электрического заряда в
электростатическом поле к величине этого заряда,
называют потенциалом φ электрического поля:
Потенциал φ является энергетической характеристикой
электростатического поля и пропорциональна
величине заряда.
Работа A12 по перемещению электрического заряда q
из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна
произведению заряда на разность потенциалов
(φ1 – φ2) начальной и конечной точек:
A12 = Wp1 – Wp2 = qφ1 – qφ2 = q(φ1 – φ2).
4

70.

Лекции
В Международной системе единиц (СИ) единицей
потенциала является вольт (В).
1 В = 1 Дж / 1 Кл.
Во многих задачах электростатики при вычислении
потенциалов за опорную точку (0) удобно принять
бесконечно удаленную точку.
В этом случае понятие потенциала может быть
определено следующим образом:
Потенциал поля в данной точке пространства
равен работе, которую совершают электрические
силы при удалении единичного положительного
заряда из данной точки в бесконечность.
4

71.

Лекции
Потенциал φ∞ поля точечного заряда Q на расстоянии
r от него относительно бесконечно удаленной точки
вычисляется следующим образом:
Как следует из теоремы Гаусса, эта же формула
выражает потенциал поля однородно заряженного
шара (или сферы) при r ≥ R, где R – радиус шара.
Для наглядного представления электрического
поля наряду с силовыми линиями используют
эквипотенциальные поверхности.
Поверхность, во всех точках которой потенциал
электрического поля имеет одинаковые значения,
называется эквипотенциальной поверхностью
или поверхностью равного потенциала.
4

72.

Лекции
Силовые линии электрического поля всегда
перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля
точечного заряда – концентрические сферы.
На рис. 3 представлены картины силовых линий и
эквипотенциальных поверхностей некоторых простых
электростатических полей.
В случае однородного поля эквипотенциальные
поверхности представляют собой систему
параллельных плоскостей.
Если пробный заряд q совершил малое перемещение
вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно
записать:
ΔA12 = qEΔl = q(φ1 – φ2) = – qΔφ,
4

73.

Лекции
a
b
c
Рис. 3. Эквипотенциальные поверхности (синие линии)
и силовые линии (красные линии) простых
электрических полей:
a – точечный заряд;
b – электрический диполь;
c – два равных положительных заряда.
4

74.

Лекции
Отсюда следует
Это соотношение в скалярной форме выражает связь
между напряженностью поля и потенциалом.
l – координата вдоль силовой линии.
Из принципа суперпозиции напряженностей полей,
создаваемых электрическими зарядами, следует
принцип суперпозиции для потенциалов
φ = φ1 + φ2 + φ3 + ...
4

75.

Лекции
5. ПРОВОДНИКИ И
ДИЭЛЕКТРИКИ В
ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
4

76.

Лекции
Вещество, внесенное в электрическое поле, может
существенно изменить его.
Это связано с тем, что вещество состоит из заряженных
частиц.
В отсутствие внешнего поля частицы распределяются
внутри вещества так, что создаваемое ими
электрическое поле в среднем по объемам равно нулю.
При наличии внешнего поля происходит
перераспределение заряженных частиц, и в веществе
возникает собственное электрическое поле.
4

77.

Лекции
Полное электрическое поле складывается в
соответствии с принципом суперпозиции из внешнего
поля
и внутреннего поля
создаваемого
заряженными частицами вещества.
Вещество многообразно по своим электрическим
свойствам.
Наиболее широкие классы вещества составляют
проводники и диэлектрики.
Основная особенность проводников – наличие
свободных зарядов (электронов), которые участвуют в
тепловом движении и могут перемещаться по всему
объему проводника. Типичные проводники – металлы.
4

78.

Лекции
В отсутствие внешнего поля в любом элементе объема
проводника отрицательный свободный заряд
компенсируется положительным зарядом ионной
решетки.
В проводнике, внесенном в электрическое поле,
происходит перераспределение свободных зарядов, в
результате чего на поверхности проводника возникают
не скомпенсированные положительные и
отрицательные заряды (рис. 1).
Этот процесс называют электростатической
индукцией, а появившиеся на поверхности проводника
заряды – индукционными зарядами.
4

79.

Лекции
Рис. 1. Электростатическая
индукция.
4

80.

Лекции
Индукционные заряды создают свое собственное поле
которое компенсирует внешнее поле
во всем
объеме проводника:
.
Полное электростатическое поле внутри проводника
равно нулю, а потенциалы во всех точках одинаковы
и равны потенциалу на поверхности проводника.
Все внутренние области проводника, внесенного в
электрическое поле, остаются электронейтральными.
Если удалить некоторый объем, выделенный внутри
проводника, и образовать пустую полость, то
электрическое поле внутри полости будет равно нулю.
4

81.

Лекции
На этом основана электростатическая защита –
чувствительные к электрическому полю приборы
для исключения влияния поля помещают в
металлические ящики (рис. 2).
Поверхность проводника является эквипотенциальной,
силовые линии у поверхности должны быть
перпендикулярны к ней.
В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах)
нет свободных электрических зарядов. Они состоят из
нейтральных атомов или молекул.
Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны
друг с другом и не могут перемещаться под действием
электрического поля по всему объему диэлектрика.
4

82.

Лекции
Рис. 2. Электростатическая защита.
Поле в металлической полости равно нулю.
4

83.

Лекции
При внесении диэлектрика во внешнее электрическое
поле
в нем возникает некоторое перераспределение
зарядов, входящих в состав атомов или молекул.
В результате такого перераспределения на поверхности
диэлектрического образца появляются избыточные не
скомпенсированные связанные заряды.
Связанные заряды создают электрическое поле
которое внутри диэлектрика направлено противоположно вектору напряженности внешнего поля (см. слайд).
Этот процесс называется поляризацией диэлектрика.
В результате полное электрическое поле
внутри диэлектрика оказывается по модулю меньше
внешнего поля
.
4

84.

Лекции
Рис. 1. Электростатическая
индукция.
4

85.

Лекции
Физическая величина, равная отношению модуля
напряженности
внешнего электрического поля в
вакууме к модулю напряженности полного поля в
однородном диэлектрике, называется
диэлектрической проницаемостью вещества.
Существует несколько механизмов поляризации
диэлектриков.
Основными из них являются ориентационная (или
дипольная) и электронная поляризации.
Эти механизмы проявляются при поляризации
газообразных и жидких диэлектриков.
4

86.

Лекции
Ориентационная или дипольная поляризация возникает
в случае полярных диэлектриков, состоящих из молекул,
у которых центры распределения положительных и
отрицательных зарядов не совпадают.
Такие молекулы – микроскопические электрические
диполи – нейтральную совокупность двух зарядов,
равных по модулю и противоположных по знаку,
расположенных на некотором расстоянии друг от
друга.
Дипольным моментом обладает, например, молекула
воды, а также молекулы ряда других диэлектриков (H2S,
NO2 и т. д.).
4

87.

Лекции
При отсутствии внешнего электрического поля оси
молекулярных диполей ориентированы хаотично из-за
теплового движения, так что на поверхности
диэлектрика и в любом элементе объема электрический
заряд в среднем равен нулю.
При внесении диэлектрика во внешнее поле
возникает
частичная ориентация молекулярных диполей.
В результате на поверхности диэлектрика появляются не
скомпенсированные макроскопические связанные
заряды, создающие поле
направленное навстречу
внешнему полю
(рис. 3).
Поляризация полярных диэлектриков сильно зависит от
температуры, так как тепловое движение молекул
играет роль дезориентирующего фактора.
4

88.

Лекции
Рис. 3. Ориентационный механизм
поляризации полярного диэлектрика.
4

89.

Лекции
Электронный или упругий механизм проявляется при
поляризации неполярных диэлектриков, молекулы
которых не обладают в отсутствие внешнего поля
дипольным моментом.
Под действием Е молекулы неполярных диэлектриков
деформируются – положительные заряды смещаются в
направлении вектора
, а отрицательные – в
противоположном направлении.
В результате каждая молекула превращается в
электрический диполь, ось которого направлена вдоль
внешнего поля.
На поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные связанные заряды, создающие свое поле
направленное навстречу внешнему полю
(рис. 4).
4

90.

Лекции
Рис. 4. Поляризация неполярного
диэлектрика.
4

91.

Лекции
Деформация неполярных молекул под действием
внешнего электрического поля не зависит от их
теплового движения, поэтому поляризация
неполярного диэлектрика не зависит от температуры.
Примером неполярной молекулы может служить
молекула метана CH4.
У этой молекулы четырехкратно ионизированный ион
углерода C4– располагается в центре правильной
пирамиды, в вершинах которой находятся ионы
водорода H+.
При наложении внешнего электрического поля ион
углерода смещается из центра пирамиды, и у молекулы
возникает дипольный момент, пропорциональный
внешнему полю.
4

92.

Лекции
Электрическое поле
связанных зарядов, возникающее
при поляризации полярных и неполярных диэлектриков,
изменяется по модулю прямо пропорционально модулю
внешнего поля
В очень сильных электрических полях эта
закономерность может нарушаться, и тогда проявляются
различные нелинейные эффекты.
В случае полярных диэлектриков в сильных полях может
наблюдаться эффект насыщения, когда все
молекулярные диполи выстраиваются вдоль силовых
линий.
В случае неполярных диэлектриков сильное внешнее
поле, сравнимое по модулю с внутриатомным полем,
может существенно деформировать атомы или
молекулы вещества и изменить их электрические
4
свойства.

93.

Лекции
Однако, эти явления практически никогда не
наблюдаются, так как для этого нужны поля с
напряженностью (1010–1012) В/м.
Между тем, гораздо раньше наступает электрический
пробой диэлектрика.
У многих неполярных молекул при поляризации
деформируются электронные оболочки, поэтому этот
механизм получил название электронной поляризации.
Этот механизм является универсальным, поскольку
деформация электронных оболочек под действием
внешнего поля происходит в атомах, молекулах и ионах
любого диэлектрика.
4

94.

Лекции
В случае твердых кристаллических диэлектриков
наблюдается так называемая ионная поляризация, при
которой ионы разных знаков, составляющие
кристаллическую решетку, при наложении внешнего
поля смещаются в противоположных направлениях,
вследствие чего на гранях кристалла появляются
связанные заряды.
Например, поляризация кристалла NaCl, в котором
ионы Na+ и Cl– составляют две подрешетки, вложенные
друг в друга.
В отсутствие внешнего поля каждая элементарная
ячейка кристалла NaCl электронейтральна и не обладает
дипольным моментом.
4

95.

Лекции
При поляризации неоднородного диэлектрика
связанные заряды могут возникать не только на
поверхностях, но и в объеме диэлектрика.
В этом случае электрическое поле связанных
зарядов и полное поле могут иметь сложную
структуру, зависящую от геометрии диэлектрика.
Утверждение о том, что электрическое поле в
диэлектрике в ε раз меньше по модулю по сравнению с
внешним полем строго справедливо только в случае
однородного диэлектрика.
4

96.

Лекции
Если в однородном диэлектрике с
диэлектрической проницаемостью ε находится
точечный заряд Q, то напряженность поля
создаваемого этим зарядом в некоторой точке, и
потенциал φ в ε раз меньше, чем в вакууме:
4

97.

Лекции
6. ЭНЕРГИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
4

98.

Лекции
Заряженный конденсатор содержит запас энергии.
Энергия заряженного конденсатора равна работе
внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы
зарядить конденсатор.
Процесс зарядки конденсатора можно представить как
последовательный перенос достаточно малых порций
заряда Δq > 0 с одной обкладки на другую (рис. 1).
При этом одна обкладка постепенно заряжается
положительным зарядом, а другая – отрицательным.
Поскольку каждая порция переносится в условиях, когда
на обкладках уже имеется некоторый заряд q, а между
ними существует некоторая разность потенциалов
при переносе каждой порции Δq внешние силы должны
совершить работу
4

99.

Лекции
Рис. 1. Процесс зарядки
конденсатора.
4

100.

Лекции
Энергия We конденсатора емкости C, заряженного
зарядом Q, может быть найдена путем интегрирования
этого выражения в пределах от 0 до Q:
Формулу, выражающую энергию заряженного
конденсатора, можно переписать в другой
эквивалентной форме, если воспользоваться
соотношением Q = CU.
Электрическую энергию We следует рассматривать
как потенциальную энергию, запасенную в
заряженном конденсаторе.
4

101.

Лекции
Формулы для We аналогичны формулам для
потенциальной энергии Ep деформированной
пружины
k – жесткость пружины, x – деформация, F = kx –
внешняя сила.
По современным представлениям, электрическая
энергия конденсатора локализована в пространстве
между обкладками конденсатора, то есть в
электрическом поле.
Поэтому ее называют энергией электрического поля.
Это легко проиллюстрировать на примере заряженного
плоского конденсатора.
4

102.

Лекции
Напряженность однородного поля в плоском
конденсаторе равна E = U/d, а его емкость
Поэтому
V = Sd – объем пространства между обкладками,
занятый электрическим полем.
Из этого соотношения следует, что физическая
величина
является электрической (потенциальной) энергией
единицы объема пространства, в котором создано
электрическое поле.
4

103.

Лекции
Ее называют объемной плотностью электрической
энергии.
Энергия поля, созданного любым распределением
электрических зарядов в пространстве, может быть
найдена путем интегрирования объемной плотности
we по всему объему, в котором создано электрическое
поле.
4

104. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

ПОСТОЯННЫЙ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

105.

Лекции
7. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.
ЗАКОН ОМА
4

106.

Лекции
Если изолированный проводник поместить в
электрическое поле
то на свободные заряды q в
проводнике будет действовать сила
.
В результате в проводнике возникает кратковременное
перемещение свободных зарядов.
Этот процесс закончится тогда, когда собственное
электрическое поле зарядов, возникших на
поверхности проводника, не скомпенсирует полностью
внешнее поле.
Результирующее электростатическое поле внутри
проводника равно нулю (см. § 5. Проводники и
диэлектрики в электрическом поле).
4

107.

Лекции
Однако, в проводниках может при определенных
условиях возникнуть непрерывное упорядоченное
движение свободных носителей электрического
заряда.
Такое движение называется электрическим током.
За направление электрического тока принято
направление движения положительных свободных
зарядов.
Для существования электрического тока в
проводнике необходимо создать в нем
электрическое поле.
4

108.

Лекции
Количественной мерой электрического тока
служит сила тока I – скалярная физическая
величина, равная отношению заряда Δq,
переносимого через поперечное сечение
проводника (рис. 1) за интервал времени Δt, к
этому интервалу времени:
Если сила тока и его направление не изменяются со
временем, то такой ток называется постоянным.
Постоянный электрический ток может быть создан
только в замкнутой цепи, в которой свободные носители
заряда циркулируют по замкнутым траекториям.
E = const во времени в разных точках такой цепи.
4

109.

Лекции
Рис. 1. Упорядоченное движение электронов в
металлическом проводнике и ток I.
S – площадь поперечного сечения проводника,
– электрическое поле.
4

110.

Лекции
Pабота электрических сил при перемещении заряда q в
электростатическом поле по замкнутой траектории, равна
нулю (см. § 4).
Поэтому для существования постоянного тока необходимо
наличие в электрической цепи устройства, способного
создавать и поддерживать разности потенциалов на
участках цепи за счет работы сил не электростатического
происхождения.
Такие устройства называются источниками постоянного
тока.
Силы не электростатического происхождения, действующие
на свободные носители заряда со стороны источников
тока, называются сторонними силами.
4

111.

Лекции
Природа сторонних сил может быть различной.
В гальванических элементах или аккумуляторах они
возникают в результате электрохимических процессов,
в генераторах постоянного тока при движении
проводников в магнитном поле.
Источник тока в электрической цепи играет ту же
роль, что и насос, который необходим для перекачки
жидкости в замкнутой гидравлической системе.
Под действием сторонних сил электрические заряды
движутся внутри источника тока против сил
электростатического поля, благодаря чему в
замкнутой цепи может поддерживаться постоянный
электрический ток.
4

112.

Лекции
При перемещении электрических зарядов по цепи
постоянного тока сторонние силы, действующие
внутри источников тока, совершают работу.
Физическая величина, равная отношению
работы Aст сторонних сил при перемещении
заряда q от отрицательного полюса источника
тока к положительному к величине этого
заряда, называется электродвижущей силой
источника (ЭДС):
Т.о., ЭДС определяется работой, совершаемой
сторонними силами при перемещении единичного
положительного заряда (измеряется в вольтах (В)).
4

113.

Лекции
При перемещении единичного положительного заряда
по замкнутой цепи постоянного тока работа
сторонних сил равна сумме ЭДС, действующих в этой
цепи, а работа электростатического поля равна
нулю.
При перемещении единичного положительного заряда
по некоторому участку цепи работу совершают как
электростатические (кулоновские), так и сторонние
силы.
Работа электростатических сил равна разности
потенциалов Δφ12 = φ1 – φ2 между начальной (1) и
конечной (2) точками неоднородного участка.
Работа сторонних сил равна по определению ЭДС 12,
действующей на данном участке.
Поэтому полная работа равна
U12 = φ1 – φ2 + 12.
4

114.

Лекции
Величину U12 принято называть напряжением на
участке цепи 1–2. В случае однородного участка (не
содержащие источников тока), напряжение равно
разности потенциалов:
U12 = φ1 – φ2 .
Немецкий физик Г. Ом в 1826 году экспериментально
установил, что сила тока I, текущего по однородному
металлическому проводнику (т. е. проводнику, в котором
не действуют сторонние силы), пропорциональна
напряжению U на концах проводника:
4

115.

Лекции
Это соотношение выражает закон Ома для
однородного участка цепи: сила тока в проводнике
прямо пропорциональна приложенному напряжению
и обратно пропорциональна сопротивлению
проводника.
Проводники, подчиняющиеся закону Ома, называются
линейными.
Графическая зависимость силы тока I от напряжения U
(вольт-амперными характеристиками (ВАХ))
изображается прямой линией, проходящей через начало
координат.
Cуществует много материалов и устройств, не
подчиняющихся закону Ома, например,
полупроводниковый диод или газоразрядная лампа.
4

116.

Лекции
Даже у металлических проводников при достаточно
больших токах наблюдается отклонение от линейного
закона Ома, так как электрическое сопротивление
металлических проводников растет с ростом
температуры.
Для участка цепи, содержащего ЭДС (неоднородного),
закон Ома записывается в следующей форме:
IR = U12 = φ1 – φ2 + = Δφ12 + .
Это соотношение называется обобщенным законом Ома.
На рис. 2 изображена замкнутая цепь постоянного тока.
Участок цепи (cd) является однородным.
По закону Ома,
IR = Δφcd.
4

117.

Лекции
Рис. 2. Цепь постоянного тока.
4

118.

Лекции
Участок (ab) содержит источник тока с ЭДС, равной .
По закону Ома для неоднородного участка,
Ir = Δφab + .
Сложив оба равенства, получим:
I(R + r) = Δφcd + Δφab + .
Но Δφcd = Δφba = – Δφab.
Поэтому
Эта формула выражает закон Ома для полной цепи:
сила тока в полной цепи равна электродвижущей
силе источника, деленной на сумму сопротивлений
однородного и неоднородного участков цепи.
4

119.

Лекции
Сопротивление r неоднородного участка на рис. 2 можно
рассматривать как внутреннее сопротивление
источника тока.
В этом случае участок (ab) на рис. 2 является
внутренним участком источника.
Если точки a и b замкнуть проводником, сопротивление
которого мало по сравнению с внутренним
сопротивлением источника (R << r), тогда в цепи потечет
ток короткого замыкания (КЗ)
Сила тока КЗ – максимальная сила тока, которую можно
получить от данного источника с электродвижущей
силой и внутренним сопротивлением r.
4

120.

Лекции
У источников с малым внутренним сопротивлением
ток КЗ может быть очень велик и вызывать
разрушение электрической цепи или источника.
Например, у свинцовых аккумуляторов, используемых
в автомобилях, сила тока КЗ может составлять
несколько сотен ампер.
Особенно опасны КЗ в осветительных сетях, питаемых
от подстанций (тысячи ампер).
Чтобы избежать разрушительного действия таких
больших токов, в цепь включаются предохранители
или специальные автоматы защиты сетей.
4

121.

Лекции
В ряде случаев для предотвращения опасных значений
силы тока КЗ к источнику подсоединяется некоторое
внешнее балластное сопротивление.
Тогда сопротивление r равно сумме внутреннего
сопротивления источника и внешнего балластного
сопротивления.
Если внешняя цепь разомкнута, то Δφba = – Δφab = , т.е.
разность потенциалов на полюсах разомкнутой
батареи равна ее ЭДС.
Если внешнее нагрузочное сопротивление R включено
и через батарею протекает ток I, разность потенциалов
на ее полюсах становится равной
Δφba = – Ir.
4

122.

Лекции
На рис. 3 дано схематическое изображение источника
постоянного тока с ЭДС равной и внутренним
сопротивлением r в трех режимах:
«холостой ход»,
работа на нагрузку,
режим КЗ.
Указаны напряженность электрического поля внутри
батареи и силы, действующие на положительные
заряды:
– электрическая сила,
– сторонняя сила.
В режиме КЗ электрическое поле внутри батареи
исчезает.
4

123.

Лекции
Рис. 3.Схематическое
изображение источника
постоянного тока:
1 – батарея разомкнута;
2 – батарея замкнута на
внешнее сопротивление R;
3 – режим КЗ.
4

124.

Лекции
Для измерения напряжений и токов в электрических
цепях постоянного тока используются специальные
приборы – вольтметры и амперметры.
Вольтметр предназначен для измерения разности
потенциалов, приложенной к его клеммам и
подключается параллельно.
Любой вольтметр обладает некоторым внутренним
сопротивлением RB.
Для того, чтобы вольтметр не вносил заметного
перераспределения токов при подключении к
измеряемой цепи, его внутреннее сопротивление
должно быть велико по сравнению с сопротивлением
того участка цепи, к которому он подключен.
4

125.

Лекции
Для цепи, изображенной на рис. 4, это условие
записывается в виде:
RB >> R1.
Это условие означает, что ток IB = Δφcd / RB , протекающий
через вольтметр, много меньше тока I = Δφcd / R1, который
протекает по измеряемому участку цепи.
Поскольку внутри вольтметра не действуют сторонние
силы, разность потенциалов на его клеммах совпадает
по определению с напряжением.
Поэтому можно говорить, что вольтметр измеряет
напряжение.
4

126.

Лекции
Рис. 4. Включение амперметра (А) и
вольтметра (В) в электрическую цепь.
4

127.

Лекции
Амперметр предназначен для измерения силы тока в
цепи.
Амперметр включается последовательно в разрыв
электрической цепи, чтобы через него проходил весь
измеряемый ток.
Амперметр также обладает некоторым внутренним
сопротивлением RA.
В отличие от вольтметра, внутреннее сопротивление
амперметра должно быть достаточно малым по
сравнению с полным сопротивлением всей цепи.
Для цепи на рис. 4 сопротивление амперметра должно
удовлетворять условию
RA << (r – R1 + R2),
чтобы при включении амперметра ток в цепи не
изменялся.
4

128.

Лекции
Измерительные приборы – вольтметры и
амперметры – бывают двух видов:
стрелочные (аналоговые),
цифровые.
Цифровые электроизмерительные приборы
представляют собой сложные электронные
устройства.
Обычно цифровые приборы обеспечивают
более высокую точность измерений.
4

129.

Лекции
8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
ПРОВОДНИКОВ
4

130.

Лекции
Проводники в электрических цепях могут
соединяться последовательно и параллельно.
При последовательном соединении проводников
(рис. 1) сила тока во всех проводниках одинакова:
I1 = I2 = I.
По закону Ома, напряжения U1 и U2 на проводниках
равны
U = U1 + U2 = I(R1 + R2) = IR,
R – электрическое сопротивление всей цепи.
Отсюда следует:
R = R1 + R2.
При последовательном соединении полное
сопротивление цепи равно сумме
сопротивлений отдельных проводников.
4

131.

Лекции
Рис. 1. Последовательное соединение
проводников.
4

132.

Лекции
При параллельном соединении (рис. 2) напряжения U1
и U2 на обоих проводниках одинаковы:
U1 = U2 = U.
Сумма токов I1 + I2 , протекающих по обоим
проводникам, равна току в неразветвленной цепи:
I = I1 + I2.
Этот результат следует из того, что в точках
разветвления токов (узлы A и B) в цепи постоянного
тока не могут накапливаться заряды.
Например, к узлу A за время Δt подтекает заряд IΔt, а
утекает от узла за то же время заряд I1Δt + I2Δt.
Следовательно, I = I1 + I2.
4

133.

Лекции
Рис. 2. Параллельное соединение
проводников.
4

134.

Лекции
Записывая на основании закона Ома
R – электрическое сопротивление всей цепи, получим
При параллельном соединении проводников
величина, обратная общему сопротивлению цепи,
равна сумме величин, обратных сопротивлениям
параллельно включенных проводников.
Формулы для последовательного и параллельного
соединения проводников позволяют во многих
случаях рассчитывать сопротивление сложной цепи,
состоящей из многих резисторов.
4

135.

Лекции
На рис. 3 приведен пример такой сложной цепи и
указана последовательность вычислений.
Рис. 3. Расчет сопротивления сложной цепи.
Сопротивления всех проводников указаны в омах (Ом).
4

136.

Лекции
На рис. 4 приведен пример электрической цепи,
которую нельзя рассчитать указанным выше методом.
Рис. 4. Пример электрической цепи, которая не сводится к
комбинации последовательно и параллельно соединенных
проводников.
Цепи, подобные изображенной на рис. 4, а также цепи
с разветвлениями, содержащие несколько источников,
рассчитываются с помощью правил Кирхгофа.
4

137.

Лекции
9. ПРАВИЛА КИРХГОФА ДЛЯ
РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ
4

138.

Лекции
Для упрощения расчетов сложных электрических цепей,
содержащих неоднородные участки, используются правила
Кирхгофа, которые являются обобщением закона Ома на
случай разветвленных цепей.
В разветвленных цепях можно выделить узловые точки
(узлы), в которых сходятся не менее трех проводников
(рис. 1).
Токи, втекающие в узел, принято считать положительными;
токи, вытекающие из узла – отрицательными.
В узлах цепи постоянного тока не может происходить
накопление зарядов.
Отсюда следует первое правило Кирхгофа:
4

139.

Лекции
Рис. 1.
Узел электрической цепи. I1, I2 > 0; I3, I4 < 0.
Алгебраическая сумма сил токов для каждого
узла в разветвленной цепи равна нулю:
I1 + I2 + I3 + ... + In = 0.
Первое правило Кирхгофа является следствием
закона сохранения электрического заряда.
4

140.

Лекции
В разветвленной цепи всегда можно выделить
некоторое количество замкнутых путей, состоящих
из однородных и неоднородных участков.
Такие замкнутые пути называются контурами.
На разных участках выделенного контура могут
протекать различные токи.
На рис. 2 представлен простой пример разветвленной
цепи.
Цепь содержит два узла a и d, в которых сходятся
одинаковые токи; поэтому только один из узлов
является независимым (a или d).
4

141.

Лекции
Рис. 2. Пример разветвленной электрической цепи.
Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два
независимых контура (например, abcd и adef).
В цепи можно выделить три контура abcd, adef и abcdef.
Из них только два являются независимыми (например,
abcd и adef), так как третий не содержит никаких новых
участков.
4

142.

Лекции
Второе правило Кирхгофа является следствием
обобщенного закона Ома.
Запишем обобщенный закон Ома для участков,
составляющих один из контуров цепи, изображенной
на рис. 2, например, abcd.
Для этого на каждом участке нужно задать
положительное направление тока и положительное
направление обхода контура.
При записи обобщенного закона Ома для каждого из
участков необходимо соблюдать определенные
«правила знаков», которые поясняются на рис. 3.
4

143.

Лекции
Рис. 3. «Правила знаков».
4

144.

Лекции
Для участков контура abcd второго закон Кирхгофа
записывается в виде:
Для контура adef можно записать:
I1R1 + I2R2 = –
1+
2
Аналогично, для контура adef можно записать:
– I2R2 + I3R3 =
2–
3
Отсюда следует второе правило Кирхгофа:
4

145.

Лекции
Рис. 2. Пример разветвленной электрической цепи.
Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два
независимых контура (например, abcd и adef).
4

146.

Лекции
Алгебраическая сумма падений напряжения в
любом замкнутом контуре равна алгебраической
сумме ЭДС вдоль того же контура:
m – число сопротивлений в
контуре;
n – число ЭДС в контуре.
в каждую из сумм соответствующие слагаемые
входят со знаком плюс, если они совпадают с
направлением обхода контура, и со знаком минус,
если они не совпадают с ним;
4

147.

Лекции
Для цепи, изображенной на рис. 2, система
уравнений для определения трех неизвестных
токов I1, I2 и I3 имеет вид
I1R1 + I2R2 = –
1+
2
– I2R2 + I3R3 =
2–
3
– I1 + I2 + I3 = 0.
4

148.

Лекции
Рис. 2. Пример разветвленной электрической цепи.
Цепь содержит один независимый узел (a или d) и два
независимых контура (например, abcd и adef).
4

149.

Лекции
Т.о., правила Кирхгофа сводят расчет разветвленной
электрической цепи к решению системы линейных
алгебраических уравнений.
Это решение не вызывает принципиальных
затруднений, однако, бывает весьма громоздким даже
в случае достаточно простых цепей.
Если в результате решения сила тока на каком-то
участке оказывается отрицательной, то это означает,
что ток на этом участке идет в направлении,
противоположном выбранному положительному
направлению.
4

150.

Лекции
Например:
Рис. 1
Для цепи на рис. 1 имеем уравнения:
по I закону Кирхгофа:
по II закону Кирхгофа:
узел а: I1 – I3 – I4 = 0;
контур I: R4I4 + R6I6 + R01I1 = E1;
узел b: I4 – I5 – I6 = 0;
контур II: R02I2 + R5I5 – R6I6 = –E2;
узел с: I3 – I2 + I5 = 0;
контур III: R3I3 – R4I4 – R5I5 = 0;
4

151.

Лекции
10. Работа и
мощность ток
4

152.

Лекции
При протекании тока по однородному участку цепи
электрическое поле совершает работу.
За время Δt по цепи протекает заряд Δq = IΔt.
Электрическое поле на выделенном участке
совершает работу
ΔA = (φ1 – φ2)Δq = Δφ12IΔt = UIΔt,
U = Δφ12 – напряжение.
Эту работу называют работой электрического тока.
Если подставим вместе U: U = RI,
выражающей закон Ома для однородного участка цепи
с сопротивлением R и умножить на IΔt, то получится
соотношение
ΔA = UIΔt = RI·IΔt = RI2Δt
Это закон сохранения энергии для однородного
участка цепи.
4

153.

Лекции
Работа ΔA электрического тока I, протекающего
по неподвижному проводнику с сопротивлением
R, преобразуется в тепло ΔQ, выделяющееся на
проводнике.
ΔQ = ΔA = RI2Δt.
Закон преобразования работы тока в тепло был
экспериментально установлен независимо друг от
друга Дж. Джоулем и Э. Ленцем и носит название
закона Джоуля–Ленца.
Мощность электрического тока равна отношению
работы тока ΔA к интервалу времени Δt, за которое
эта работа была совершена:
Работа I в СИ джоуль (Дж), мощность – ватт (Вт).
4

154.

Лекции
Рассмотрим теперь полную цепь постоянного тока,
состоящую из источника с ЭДС и внутренним
сопротивлением r и внешнего с сопротивлением R.
Закон Ома для полной цепи записывается в виде
(R + r)I = Ԑ
Умножив обе части этой формулы на Δq = IΔt, мы
получим соотношение, выражающее закон сохранения
энергии для полной цепи постоянного тока:
RI2Δt + rI2Δt = (R + r)I·IΔt = ԐIΔt = ΔAст
ΔQ = RI2Δt – тепло, выделяющееся на внешнем участке
цепи за время Δt,
ΔQист = rI2Δt – тепло, выделяющееся внутри источника
за то же время.
ԐIΔt – работе сторонних сил ΔAст, действующих
внутри источника.
4

155.

Лекции
При протекании электрического тока по замкнутой
цепи работа сторонних сил ΔAст преобразуется в
тепло, выделяющееся во внешней цепи (ΔQ) и внутри
источника (ΔQист).
ΔQ + ΔQист = ΔAст = ԐIΔt
Следует обратить внимание, что в это соотношение не
входит работа электрического поля.
При протекании тока по замкнутой цепи электрическое
поле работы не совершает ; поэтому тепло
производится одними только сторонними силами,
действующими внутри источника.
Роль электрического поля сводится к перераспределению
тепла между различными участками цепи.
4

156.

Лекции
Внешняя цепь может представлять собой не только
проводник с сопротивлением R, но и какое-либо
устройство, потребляющее мощность, например,
электродвигатель постоянного тока.
В этом случае под R нужно понимать эквивалентное
сопротивление нагрузки.
Энергия, выделяемая во внешней цепи, может частично
или полностью преобразовываться не только в тепло,
но и в другие виды энергии, например, в механическую
работу, совершаемую электродвигателем.
Поэтому вопрос об использовании энергии источника
тока имеет большое практическое значение.
4

157.

Лекции
Полная мощность источника, то есть работа,
совершаемая сторонними силами за единицу
времени (Δt = 1), равна
Во внешней цепи выделяется мощность
Отношение
равное
называется коэффициентом
полезного действия
источника
4

158.

Лекции
На рис. 1 графически представлены зависимости
мощности источника Pист, полезной мощности P,
выделяемой во внешней цепи, и коэффициента
полезного действия η от тока в цепи I для источника
с ЭДС, равной Ԑ, и внутренним сопротивлением r.
Ток в цепи может изменяться в пределах от I = 0 (при
) до
(при R = 0).
Из приведенных графиков видно, что максимальная
мощность во внешней цепи Pmax, равная
достигается при R = r.
4

159.

Лекции
I → 0,
R→∞
P=0
R=∞
R=0
Рис. 1. Зависимость мощности источника Pист,
мощности во внешней цепи P и КПД источника η от силы
тока I.
4

160.

Лекции
При этом ток в цепи
а КПД источника равен 50 %.
Максимальное значение КПД источника достигается
при I → 0, т. е. при R → ∞.
В случае КЗ полезная мощность P = 0 и вся мощность
выделяется внутри источника, что может привести к
его перегреву и разрушению.
КПД источника при этом обращается в нуль.
4

161.

Лекции
11. Электрический
ток в металлах
4

162.

Лекции
Электрический ток в металлах – это упорядоченное
движение электронов под действием электрического
поля.
Опыты показывают, что при протекании тока по
металлическому проводнику не происходит переноса
вещества, следовательно, ионы металла не
принимают участия в переносе электрического заряда.
Наиболее убедительное доказательство электронной
природы тока в металлах было получено в опытах с
инерцией электронов.
Идея таких опытов и первые качественные результаты
принадлежат русским физикам Л.И. Мандельштаму и Н.Д.
Папалекси (1913 г.).
4

163.

Лекции
В 1916 году американский физик Р. Толмен и шотландский
физик Б. Стюарт усовершенствовали методику этих
опытов и выполнили количественные измерения,
неопровержимо доказавшие, что ток в металлических
проводниках обусловлен движением электронов.
Схема опыта Толмена и Стюарта показана на рис. 1.
Катушка с большим числом витков тонкой проволоки
приводилась в быстрое вращение вокруг своей оси.
Концы катушки с помощью гибких проводов были
присоединены к чувствительному баллистическому
гальванометру Г.
Раскрученная катушка резко тормозилась, и в цепи
возникал кратковременных ток, обусловленный
инерцией носителей заряда.
4

164.

Лекции
Рис. 1. Схема опыта
Толмена и Стюарта.
4

165.

Лекции
Полный заряд, протекающий по цепи, измерялся по
отбросу стрелки гальванометра.
При торможении вращающейся катушки на каждый
носитель заряда e действует тормозящая сила
которая играет роль сторонней силы,
то есть
силы неэлектрического происхождения.
Сторонняя сила, отнесенная к единице заряда, по
определению является напряженностью Eст поля
сторонних сил:
В цепи при торможении катушки возникает ЭДС
равная
,
l – длина проволоки катушки.
4

166.

Лекции
За время торможения катушки по цепи протечет
заряд q, равный
I – мгновенное значение силы тока в катушке,
R – полное сопротивление цепи,
υ0 – начальная линейная скорость проволоки.
Отсюда удельный заряд e/m свободных носителей
тока в металлах равен:
Все величины, входящие в правую часть этого
соотношения, можно измерить.
4

167.

Лекции
Все величины, входящие в правую часть этого
соотношения, можно измерить.
На основании результатов опытов Толмена и Стюарта
было установлено, что носители свободного заряда в
металлах имеют отрицательный знак, а отношение
заряда носителя к его массе близко к удельному заряду
электрона, полученному из других опытов.
Так было установлено, что носителями свободных
зарядов в металлах являются электроны.
По современным данным модуль заряда электрона
(элементарный заряд) равен е = 1,60218∙10-19 Кл,
а его удельный заряд есть е/m = 1,75882∙1011 Кл/кг.
4

168.

Лекции
Хорошая электропроводность металлов объясняется
высокой концентрацией свободных электронов,
равной по порядку величины числу атомов в единице
объема.
Предположение о том, что за электрический ток в
металлах ответственны электроны, возникло
значительно раньше опытов Толмена и Стюарта.
Еще в 1900 году немецкий ученый П. Друде на основе
гипотезы о существовании свободных электронов в
металлах создал электронную теорию проводимости
металлов.
Эта теория получила развитие в работах голландского
физика Х. Лоренца и носит название классической
электронной теории.
4

169.

Лекции
Согласно этой теории, электроны в металлах ведут
себя как электронный газ, во многом похожий на
идеальный газ.
Электронный газ заполняет пространство между
ионами, образующими кристаллическую решетку
металла (рис. 2).
Из-за взаимодействия с ионами электроны могут
покинуть металл, лишь преодолев так называемый
потенциальный барьер.
Высота этого барьера называется работой выхода.
При обычных (комнатных) температурах у электронов
не хватает энергии для преодоления потенциального
барьера.
4

170.

Лекции
Рис. 2. Газ свободных электронов в кристаллической
решетке металла. Показана траектория одного из
электронов.
4

171.

Лекции
Как ионы, образующие решетку, так и электроны
участвуют в тепловом движении.
Ионы совершают тепловые колебания вблизи
положений равновесия – узлов кристаллической
решетки.
Свободные электроны движутся хаотично и при своем
движении сталкиваются с ионами решетки.
В результате таких столкновений устанавливается
термодинамическое равновесие между электронным
газом и решеткой.
Согласно теории Друде–Лоренца, электроны обладают
такой же средней энергией теплового движения, как и
молекулы одноатомного идеального газа.
4

172.

Лекции
Это позволяет оценить среднюю скорость
теплового движения электронов по формулам
молекулярно-кинетической теории.
При комнатной температуре она оказывается
примерно равной 105 м/с.
При наложении внешнего электрического поля в
металлическом проводнике кроме теплового
движения электронов возникает их упорядоченное
движение (дрейф), то есть электрический ток.
Среднюю скорость дрейфа можно оценить из
следующих соображений.
4

173.

Лекции
За интервал времени Δt через поперечное сечение S
проводника пройдут все электроны, находившиеся в
объеме
Число таких электронов равно
где n – средняя
концентрация свободных электронов, примерно равная
числу атомов в единице объема металлического
проводника.
Через сечение проводника за время Δt пройдет заряд
Отсюда следует:
или
Концентрация n атомов в
металлах находится в пределах
1028–1029 м–3.
4

174.

Лекции
Оценка по этой формуле для металлического
проводника сечением 1 мм2, по которому течет ток 10 А,
дает для средней скорости упорядоченного движения
электронов значение в пределах 0,6–6 мм/c.
Т.о., средняя скорость упорядоченного движения
электронов в металлических проводниках на много
порядков меньше средней скорости их теплового
движения.
Рис. 3 дает представление о характере движения
свободного электрона в кристаллической решетке.
4

175.

Лекции
Рис. 3. Движение свободного электрона в кристаллической
решетке: а – хаотическое движение электрона в
кристаллической решетке металла; b – хаотическое движение
с дрейфом, обусловленным электрическим полем.
Масштабы дрейфа
сильно преувеличены.
4

176.

Лекции
Малая скорость дрейфа противоречит опытному
факту, что ток во всей цепи постоянного тока
устанавливается практически мгновенно.
Замыкание цепи вызывает распространение
электрического поля со скоростью c = 3·108 м/с.
Через время порядка l / с (l – длина цепи) вдоль цепи
устанавливается стационарное распределение
электрического поля и в ней начинается
упорядоченное движение электронов.
4

177.

Лекции
В классической электронной теории металлов
предполагается, что движение электронов
подчиняется законам механики Ньютона.
В этой теории пренебрегают взаимодействием
электронов между собой, а их взаимодействие с
положительными ионами сводят только к
соударениям.
Предполагается также, что при каждом соударении
электрон передает решетке всю накопленную в
электрическом поле энергию и поэтому после
соударения он начинает движение с нулевой
дрейфовой скоростью.
4

178.

Лекции
Несмотря на то, что все эти допущения являются
весьма приближенными, классическая электронная
теория качественно объясняет законы
электрического тока в металлических проводниках.
Закон Ома.
В промежутке между соударениями на электрон
действует сила, равная по модулю eE, в результате
чего он приобретает ускорение
Поэтому к концу свободного пробега дрейфовая
скорость электрона равна
τ – время свободного пробега, которое для упрощения
расчетов предполагается одинаковым для всех электронов.
4

179.

Лекции
Среднее значение скорости дрейфа
половине максимального значения:
равно
Рассмотрим проводник длины l и сечением S с
концентрацией электронов n.
Ток в проводнике может быть записан в виде:
где U = El – напряжение на концах проводника.
Полученная формула выражает закон Ома
для металлического проводника.
4

180.

Лекции
Электрическое сопротивление проводника равно:
а удельное сопротивление ρ и удельная проводимость
ν выражаются соотношениями:
Закон Джоуля–Ленца.
К концу свободного пробега электроны приобретают
под действием поля кинетическую энергию
Вся эта энергия передается решетке при соударении и
переходит в тепло.
4

181.

Лекции
За время Δt каждый электрон испытывает Δt/τ соударений.
В проводнике сечением S и длины l имеется nSl электронов.
Отсюда следует, что выделяемое в проводнике за время Δt
тепло равно:
Это соотношение выражает закон Джоуля–Ленца.
Т.о., классическая электронная теория объясняет
существование электрического сопротивления
металлов, законы Ома и Джоуля–Ленца.
Однако в ряде вопросов классическая электронная
теория приводит к выводам, находящимся в
противоречии с опытом.
4

182. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

183.

Лекции
12. Магнитное
взаимодействие токов
4

184.

Лекции
Магнитные явления были известны еще в
древнем мире.
Компас был изобретен более 4500 лет тому
назад. Он появился в Европе приблизительно в
XII веке новой эры.
Однако только в XIX веке была обнаружена связь
между электричеством и магнетизмом и
возникло представление о магнитном поле.
4

185.

Лекции
Первыми экспериментами, показавшими, что между
электрическими и магнитными явлениями имеется
глубокая связь, были опыты датского физика Х.
Эрстеда (1820 г.).
Эти опыты показали, что на магнитную стрелку,
расположенную вблизи проводника с током, действуют
силы, которые стремятся повернуть стрелку.
В том же году французский физик А. Ампер наблюдал
силовое взаимодействие двух проводников с токами и
установил закон взаимодействия токов.
По современным представлениям, проводники с током
оказывают силовое действие друг на друга не
непосредственно, а через окружающие их магнитные
поля.
4

186.

Лекции
Источниками магнитного поля являются движущиеся
электрические заряды (токи).
Магнитное поле возникает в пространстве, окружающем
проводники с током, подобно тому, как в пространстве,
окружающем неподвижные электрические заряды,
возникает электрическое поле.
Магнитное поле постоянных магнитов также создается
электрическими микротоками, циркулирующими внутри
молекул вещества (гипотеза Ампера).
Ученые XIX века пытались создать теорию магнитного
поля по аналогии с электростатикой, вводя в
рассмотрение так называемые магнитные заряды двух
знаков (например, северный N и южный S полюса
магнитной стрелки). Однако, опыт показывает, что
изолированных магнитных зарядов не существует.
4

187.

Лекции
Магнитное поле токов принципиально отличается от
электрического поля.
Магнитное поле, в отличие от электрического,
оказывает силовое действие только на движущиеся
заряды (токи).
Для описания магнитного поля необходимо ввести
силовую характеристику поля, аналогичную вектору
напряженности электрического поля.
Такой характеристикой является вектор магнитной
индукции
Вектор магнитной индукции определяет силы,
действующие на токи или движущиеся заряды в
магнитном поле.
4

188.

Лекции
За положительное направление вектора принимается
направление от южного полюса S к северному полюсу
N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в
магнитном поле.
Т.о., исследуя магнитное поле, создаваемое током
или постоянным магнитом, с помощью маленькой
магнитной стрелки, можно в каждой точке пространства
определить направление вектора .
Аналогично силовым линиям в электростатике можно
построить линии магнитной индукции, в каждой точке
которых вектор направлен по касательной.
Линий магнитной индукции полей постоянного магнита
и катушки с током приведен на рис. 1.
4

189.

Лекции
Рис. 1. Линии магнитной индукции полей постоянного магнита и
катушки с током. Индикаторные магнитные стрелки ориентируются
по направлению касательных к линиям индукции.
4

190.

Лекции
Обратите внимание на аналогию магнитных полей
постоянного магнита и катушки с током.
Линии магнитной индукции всегда замкнуты, они
нигде не обрываются.
Это означает, что магнитное поле не имеет
источников – магнитных зарядов.
Силовые поля, обладающие этим свойством,
называются вихревыми.
Картину магнитной индукции можно наблюдать
с помощью мелких железных опилок, которые в
магнитном поле намагничиваются и, подобно
маленьким магнитным стрелкам, ориентируются
вдоль линий индукции.
4

191.

Лекции
Для того, чтобы количественно описать магнитное
поле, нужно указать способ определения не только
направления вектора но и его модуля.
Проще всего это сделать, внося в исследуемое
магнитное поле проводник с током и измеряя силу,
действующую на отдельный прямолинейный участок
этого проводника.
Этот участок проводника должен иметь длину Δl,
достаточно малую по сравнению с размерами
областей неоднородности магнитного поля.
Как показали опыты Ампера, сила, действующая на
участок проводника, пропорциональна силе тока I,
длине Δl этого участка и синусу угла α между
направлениями тока и вектора магнитной индукции:
F ~ IΔl sin α.
4

192.

Лекции
Эта сила называется силой Ампера.
Она достигает максимального по модулю значения Fmax ,
когда проводник с током ориентирован перпендикулярно
линиям магнитной индукции.
Модуль вектора определяется следующим образом:
Модуль вектора магнитной индукции равен
отношению максимального значения силы Ампера,
действующей на прямой проводник с током, к силе
тока I в проводнике и его длине Δl:
В общем случае сила Ампера выражается соотношением:
Законом Ампера.
F = IBΔl sin α.
4

193.

Лекции
В системе единиц СИ за единицу магнитной индукции
принята индукция такого магнитного поля, в котором
на каждый метр длины проводника при силе тока 1 А
действует максимальная сила Ампера 1 Н.
Эта единица называется тесла (Тл).
Тесла – очень крупная единица.
Магнитное поле Земли приблизительно равно 0,5·10–4 Тл.
Большой лабораторный электромагнит может создать
поле не более 5 Тл.
Сила Ампера направлена перпендикулярно вектору
магнитной индукции и направлению тока, текущего
по проводнику.
4

194.

Лекции
Для определения направления силы Ампера обычно
используют правило левой руки: если расположить
левую руку так, чтобы линии индукции
входили в
ладонь, а вытянутые пальцы были направлены вдоль
тока, то отведенный большой палец укажет
направление силы, действующей на проводник (рис. 2).
Если угол α между направлениями вектора и тока в
проводнике отличен от 90°, то для определения
направления силы Ампера более удобно пользоваться
правилом буравчика: воображаемый буравчик
располагается перпендикулярно плоскости,
содержащей вектор и проводник с током, затем его
рукоятка поворачивается от направления тока к
направлению вектора .
4

195.

Лекции
Рис. 2. Правило левой руки и правило
буравчика.
4

196.

Лекции
Поступательное перемещение буравчика будет
показывать направление силы Ампера (рис. 2).
Правило буравчика часто называют правилом правого
винта.
Одним из важных примеров магнитного взаимодействия
токов является взаимодействие параллельных токов.
Закономерности этого явления были экспериментально
установлены Ампером.
Если по двум параллельным проводникам
электрические токи текут в одну и ту же сторону, то
наблюдается взаимное притяжение проводников.
В случае, когда токи текут в противоположных
направлениях, проводники отталкиваются (рис. 3).
4

197.

Лекции
Рис .3. Магнитное взаимодействие
параллельных и антипараллельных токов.
4

198.

Лекции
Взаимодействие токов вызывается их магнитными
полями: магнитное поле одного тока действует
силой Ампера на другой ток и наоборот.
Модуль силы, действующей на отрезок длиной Δl
каждого из проводников, прямо пропорционален
силам тока I1 и I2 в проводниках, длине отрезка Δl и
обратно пропорционален расстоянию R между ними:
k = μ0 / 2π – коэффициент пропорциональности системе СИ,
μ0 – магнитной постоянной.
Введение μ0 в СИ упрощает запись ряда формул.
Ее численное значение равно
μ0 = 4π·10–7 H/A2 ≈ 1,26·10–6 H/A2.
4

199.

Лекции
Закон магнитного взаимодействия параллельных
токов:
Отсюда нетрудно получить выражение для индукции
магнитного поля каждого из прямолинейных
проводников.
Магнитное поле прямолинейного проводника с током
должно обладать осевой симметрией и, следовательно,
замкнутые линии магнитной индукции могут быть
только концентрическими окружностями,
располагающимися в плоскостях, перпендикулярных
проводнику.
4

200.

Лекции
Это означает, что векторы и
магнитной индукции
параллельных токов I1 и I2 лежат в плоскости,
перпендикулярной обоим токам.
Поэтому при вычислении сил Ампера, действующих на
проводники с током, нужно в законе Ампера положить
sin α = 1.
Из закона магнитного взаимодействия параллельных
токов следует, что модуль индукции B магнитного
поля прямолинейного проводника с током I на
расстоянии R от него выражается соотношением
4

201.

Лекции
Для того, чтобы при магнитном взаимодействии
параллельные токи притягивались, а
антипараллельные отталкивались, линии магнитной
индукции поля прямолинейного проводника должны
быть направлены по часовой стрелке, если
смотреть вдоль проводника по направлению тока.
Для определения направления вектора магнитного
поля прямолинейного проводника также можно
пользоваться правилом буравчика: направление
вращения рукоятки буравчика совпадает с
направлением вектора если при вращении буравчик
перемещается в направлении тока (рис. 4).
4

202.

Лекции
Рис. 3. Магнитное поле прямолинейного
проводника с током.
4

203.

Лекции
Магнитное взаимодействие параллельных проводников
с током используется в Международной системе единиц
(СИ) для определения единицы силы тока – ампера:
Ампер – сила неизменяющегося тока, который при
прохождении по двум параллельным проводникам
бесконечной длины и ничтожно малого кругового
сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от
другого в вакууме, вызвал бы между этими
проводниками силу магнитного взаимодействия,
равную 2·10–7 H на каждый метр длины.
4

204.

Лекции
13. Закон Био–Савара.
Теорема о циркуляции
4

205.

Лекции
Магнитное поле постоянных токов различной
конфигурации изучалось экспериментально
французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.).
Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля
токов, текущих по проводнику, определяется
совместным действием всех отдельных участков
проводника.
Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции:
Если магнитное поле создается несколькими
проводниками с током, то индукция
результирующего поля есть векторная
сумма индукций полей, создаваемых каждым
проводником в отдельности.
4

206.

Лекции
Индукцию
проводника с током можно представить
как векторную сумму элементарных индукций
создаваемых отдельными участками проводника.
На опыте невозможно осуществить отдельный участок
проводника с током, так как постоянные токи всегда
замкнуты.
Можно измерить только суммарную индукцию
магнитного поля, создаваемого всеми элементами
тока.
Направление вектора
определяется правилом
буравчика: оно совпадает с направлением вращения
рукоятки буравчика при его поступательном
перемещении вдоль тока.
4

207.

Лекции
Закон Био–Савара определяет вклад
в магнитную
индукцию результирующего магнитного поля,
создаваемый малым участком Δl проводника с током I.
r – расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения,
α – угол между направлением на точку наблюдения и
направлением тока на данном участке,
μ0 – магнитная постоянная.
Рис. 1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере
магнитного поля прямолинейного проводника с током.
4

208.

Лекции
Рис. 1. Иллюстрация закона Био–Савара.
4

209.

Лекции
Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в
магнитное поле всех отдельных участков
прямолинейного проводника с током, то получится
формула для магнитной индукции поля прямого тока:
которая уже приводилась в § 13.
Закон Био–Савара позволяет рассчитывать
магнитные поля токов различных конфигураций.
Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного
поля в центре кругового витка с током.
Этот расчет приводит
R – радиус кругового
к формуле
проводника
4

210.

Лекции
Для определения направления вектора также
можно использовать правило буравчика, только
теперь его рукоятку нужно вращать в направлении
кругового тока, а поступательное перемещение
буравчика укажет направление вектора
магнитной индукции.
Расчеты магнитного поля токов часто упрощаются
при учете симметрии в конфигурации токов,
создающих поле.
В этом случае расчеты можно выполнять с помощью
теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции,
которая в теории магнитного поля токов играет ту же
роль, что и теорема Гаусса в электростатике.
4

211.

Лекции
Поясним понятие циркуляции вектора .
Пусть в пространстве, где создано магнитное поле,
выбран некоторый условный замкнутый контур (не
обязательно плоский) и указано положительное
направление обхода контура.
На каждом отдельном малом участке Δl этого контура
можно определить касательную составляющую
вектора
в данном месте, то есть определить
проекцию вектора на направление касательной к
данному участку контура (рис. 2).
Циркуляцией вектора
называют сумму
произведений Δl, взятую по всему контуру L:
4

212.

Лекции
Рис. 2. Замкнутый контур (L) с заданным направлением
обхода. Изображены токи I1, I2 и I3, создающие
магнитное поле.
4

213.

Лекции
Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут
пронизывать выбранный контур L в то время, как
другие токи могут находиться в стороне от контура.
Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция
вектора магнитного поля постоянных токов по
любому контуру L всегда равна произведению
магнитной постоянной μ0 на сумму всех токов,
пронизывающих контур:
В качестве примера на рис. 2 изображены несколько
проводников с токами, создающими магнитное
поле.
4

214.

Лекции
Токи I2 и I3 пронизывают контур L в противоположных
направлениях, им должны быть приписаны разные
знаки – положительными считаются токи, которые
связаны с выбранным направлением обхода контура
правилом буравчика.
Следовательно, I3 > 0, а I2 < 0.
Ток I1 не пронизывает контур L.
Теорема о циркуляции в данном примере выражается
соотношением:
Теорема о циркуляции в общем виде следует из
закона Био–Савара и принципа суперпозиции.
4

215.

Лекции
Простейшим примером применения теоремы о
циркуляции является определение магнитной индукции
поля прямолинейного проводника с током.
Учитывая симметрию в данной задаче, контур L
целесообразно выбрать в виде окружности некоторого
радиуса R, лежащей в перпендикулярной проводнику
плоскости.
Центр окружности находится в некоторой точке
проводника.
В силу симметрии вектор направлен по касательной
(
), а его модуль одинаков во всех точках
окружности.
4

216.

Лекции
Применение теоремы о циркуляции приводит к
соотношению:
откуда следует формула для модуля магнитной
индукции поля прямолинейного проводника с током,
приведенная ранее.
Этот пример показывает, что теорема о циркуляции
вектора магнитной индукции может быть
использована для расчета магнитных полей,
создаваемых симметричным распределением токов,
когда из соображений симметрии можно «угадать»
общую структуру поля.
4

217.

Лекции
Имеется немало практически важных примеров
расчета магнитных полей с помощью теоремы о
циркуляции.
Одним из таких примеров является задача вычисления
поля тороидальной катушки (рис .3).
Предполагается, что катушка плотно, то есть виток к
витку, намотана на немагнитный тороидальный
сердечник.
В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются
внутри катушки и представляют собой концентрические
окружности.
Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели
бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке.
4

218.

Лекции
Рис. 3. Применение теоремы о
циркуляции к тороидальной катушке.
4

219.

Лекции
Одна из линий индукции некоторого радиуса r1 ≤ r < r2
изображена на рис. 3.
Применим теорему о циркуляции к контуру L в виде
окружности, совпадающей с изображенной на рис .3
линией индукции магнитного поля.
Из соображений симметрии ясно, что модуль вектора
одинаков вдоль всей этой линии.
По теореме о циркуляции можно записать:
B ∙ 2πr = μ0IN,
N – полное число витков, а I – ток, текущий по виткам
катушки.
Следовательно,
4

220.

Лекции
Т.о., модуль вектора магнитной индукции в
тороидальной катушке зависит от радиуса r.
Если сердечник катушки тонкий, то есть r2 – r1 << r, то
магнитное поле внутри катушки практически однородно.
Величина n = N / 2πr представляет собой число витков на
единицу длины катушки.
В этом случае
B = μ In.
0
В это выражение не входит радиус тора, поэтому оно
справедливо и в предельном случае r → ∞.
Но в пределе каждую часть тороидальной катушки можно
рассматривать как длинную прямолинейную катушку.
Такие катушки называют соленоидами.
4

221.

Лекции
Вдали от торцов соленоида модуль магнитной индукции
выражается тем же соотношением, что и в случае
тороидальной катушки.
На рис. 4 изображено магнитное поле катушки конечной
длины.
Следует обратить внимание на то, что в центральной
части катушки магнитное поле практически однородно и
значительно сильнее, чем вне катушки.
На это указывает густота линий магнитной индукции.
В предельном случае бесконечно длинного соленоида
однородное магнитное поле целиком сосредоточено
внутри соленоида.
4

222.

Лекции
Рис. 4. Магнитное поле катушки конечной длины.
В центре соленоида магнитное поле практически
однородно и значительно превышает по модулю поле
вне катушки.
4

223.

Лекции
В случае бесконечно длинного соленоида выражение
для модуля магнитной индукции можно получить
непосредственно с помощью теоремы о циркуляции,
применив ее к прямоугольному контуру, показанному
на рис. 5.
Вектор магнитной индукции имеет отличную от нуля
проекцию на направление обхода контура abcd только
на стороне ab.
Следовательно, циркуляция вектора по контуру
равна Bl, где l – длина стороны ab.
Число витков соленоида, пронизывающих контур abcd,
равно n·l, где n – число витков на единицу длины
соленоида, а полный ток, пронизывающий контур,
равен Inl.
4

224.

Лекции
Согласно теореме о циркуляции,
Bl = μ0Inl,
откуда
B = μ0In.
Это выражение совпадает с полученной ранее
формулой для магнитного поля тонкой тороидальной
катушки.
4

225.

Лекции
Рис. 5. Применение теоремы о циркуляции к
расчету магнитного поля бесконечно
длинного соленоида.
4

226.

Лекции
14. Сила Лоренца
4

227.

Лекции
Сила Ампера, действующая на отрезок проводника
длиной Δl с силой тока I, находящийся в магнитном
поле B,
F = IBΔl sin α
может быть выражена через силы, действующие на
отдельные носители заряда.
Пусть концентрация носителей свободного заряда в
проводнике есть n, а q – заряд носителя.
Тогда произведение nqυS, равно току, текущему по
проводнику:
I = qnυS.
υ – модуль скорости упорядоченного движения
носителей по проводнику,
S – площадь поперечного сечения проводника,
4

228.

Лекции
Выражение для силы Ампера можно записать в виде:
F = qnSΔlυB sin α.
Так как полное число N носителей свободного заряда в
проводнике длиной Δl и сечением S равно nSΔl, то сила,
действующая на одну заряженную частицу, равна
FЛ = qυB sin α.
Эту силу называют силой Лоренца.
α – угол между
и
Направление силы Лоренца, действующей на
положительно заряженную частицу, так же, как и
направление силы Ампера, может быть найдено по
правилу левой руки или по правилу буравчика.
4

229.

Лекции
Взаимное расположение векторов , и
для
положительно заряженной частицы показано на рис. 1.
Сила Лоренца направлена перпендикулярно векторам
и .
При движении заряженной частицы в магнитном
поле сила Лоренца работы не совершает.
Поэтому модуль вектора скорости при движении
частицы не изменяется.
Если заряженная частица движется в однородном
магнитном поле под действием силы Лоренца, а ее
скорость лежит в плоскости, перпендикулярной
вектору то частица будет двигаться по окружности
радиуса
4

230.

Лекции
Рис. 1. Взаимное расположение векторов , и
Модуль силы Лоренца
численно равен площади
параллелограмма, построенного на векторах и
помноженной на заряд q.
4

231.

Лекции
Сила Лоренца в этом случае играет роль
центростремительной силы (рис. 2).
Период обращения частицы в однородном магнитном
поле равен
Это выражение показывает, что для заряженных
частиц заданной массы m период обращения не
зависит от скорости υ и радиуса траектории R.
Угловая скорость движения заряженной частицы по
круговой траектории
называется циклотронной частотой.
4

232.

Лекции
Рис. 2. Круговое движение заряженной
частицы в однородном магнитном поле.
4

233.

Лекции
Циклотронная частота не зависит от скорости
(следовательно, и от кинетической энергии) частицы.
Это обстоятельство используется в циклотронах –
ускорителях тяжелых частиц (протонов, ионов).
Принципиальная схема циклотрона приведена на рис. 3.
Между полюсами сильного электромагнита помещается
вакуумная камера, в которой находятся два электрода в
виде полых металлических полуцилиндров (дуантов).
К дуантам приложено переменное электрическое
напряжение, частота которого равна циклотронной
частоте.
Заряженные частицы инжектируются в центре вакуумной
камеры.
Частицы ускоряются электрическим полем в промежутке
между дуантами.
4

234.

Лекции
Рис. 3. Движение заряженных частиц в
вакуумной камере циклотрона.
4

235.

Лекции
Рис. 4. Селектор скоростей и
масс-спектрометр.
4

236.

Лекции
Внутри дуантов частицы движутся под действием
силы Лоренца по полуокружностям, радиус которых
растет по мере увеличения энергии частиц.
Каждый раз, когда частица пролетает через зазор
между дуантами, она ускоряется электрическим
полем.
Т.о., в циклотроне, как и во всех других ускорителях,
заряженная частица ускоряется электрическим полем,
а удерживается на траектории магнитным полем.
Циклотроны позволяют ускорять протоны до энергии
порядка 20 МэВ.
4

237.

Лекции
Однородные магнитные поля используются во многих
приборах и, в частности, в масс-спектрометрах –
устройствах, с помощью которых можно измерять
массы заряженных частиц – ионов или ядер
различных атомов.
Масс-спектрометры используются для разделения
изотопов, то есть ядер атомов с одинаковым зарядом,
но разными массами (например, 20Ne и 22Ne).
Простейший масс-спектрометр показан на рис. 4.
Ионы, вылетающие из источника S, проходят через
несколько небольших отверстий, формирующих узкий
пучок.
Затем они попадают в селектор скоростей, в котором
частицы движутся в скрещенных однородных
электрическом и магнитном полях.
4

238.

Лекции
Электрическое поле создается между пластинами
плоского конденсатора, магнитное поле – в зазоре
между полюсами электромагнита.
Начальная скорость заряженных частиц направлена
перпендикулярно векторам
и
На частицу, движущуюся в скрещенных электрическом
и магнитном полях, действуют электрическая сила
и магнитная сила Лоренца.
При условии E = υB эти силы точно уравновешивают
друг друга.
Если это условие выполняется, частица будет
двигаться равномерно и прямолинейно и, пролетев
через конденсатор, пройдет через отверстие в экране.
4

239.

Лекции
При заданных значениях электрического и магнитного
полей селектор выделит частицы, движущиеся со
скоростью υ = E / B.
Далее частицы с одним и тем же значением скорости
попадают в камеру масс-спектрометра, в которой
создано однородное магнитное поле.
Частицы движутся в камере в плоскости,
перпендикулярной магнитному полю, под действием
силы Лоренца.
Траектории частиц представляют собой окружности
радиусов R = mυ / qB'.
Измеряя радиусы траекторий при известных значениях υ
и B' можно определить отношение q / m.
В случае изотопов (q1 = q2) масс-спектрометр позволяет
4
разделить частицы с разными массами.

240.

Лекции
Современные масс-спектрометры позволяют измерять
массы заряженных частиц с точностью выше 10–4.
Если скорость частицы имеет составляющую вдоль
направления магнитного поля, то такая частица будет
двигаться в однородном магнитном поле по спирали.
При этом радиус спирали R зависит от модуля
перпендикулярной магнитному полю составляющей υ┴
вектора а шаг спирали p – от модуля продольной
составляющей υ|| (рис. 5).
Т.о., траектория заряженной частицы как бы навивается
на линии магнитной индукции.
Это явление используется в технике для магнитной
термоизоляции высокотемпературной плазмы, то
есть полностью ионизированного газа при температуре
порядка 106 K.
4

241.

Лекции
Рис. 5. Движение заряженной частицы по
спирали в однородном магнитном поле.
4

242.

Лекции
Вещество в таком состоянии получают в установках
типа «Токамак» при изучении управляемых
термоядерных реакций.
Плазма не должна соприкасаться со стенками камеры.
Термоизоляция достигается путем создания
магнитного поля специальной конфиругации.
В качестве примера на рис. 6 изображена траектория
движения заряженной частицы в магнитной
«бутылке» (или ловушке).
4

243.

Лекции
Рис. 6. Магнитная «бутылка». Заряженные частицы
не выходят за пределы «бутылки». Магнитное поле
«бутылки» может быть создано с помощью двух
круглых катушек с током.
4

244.

Лекции
Аналогичное явление происходит в магнитном поле
Земли, которое является защитой для всего живого
от потоков заряженных частиц из космического
пространства.
Быстрые заряженные частицы из космоса (главным
образом от Солнца) «захватываются» магнитным
полем Земли и образуют так называемые
радиационные пояса (рис .7), в которых частицы, как в
магнитных ловушках, перемещаются туда и обратно по
спиралеобразным траекториям между северным и
южным магнитными полюсами за времена порядка
долей секунды.
Лишь в полярных областях некоторая часть частиц
вторгается в верхние слои атмосферы, вызывая
полярные сияния.
4

245.

Лекции
Рис. 7. Радиационные пояса Земли. Быстрые заряженные
частицы от Солнца (в основном электроны и протоны) попадают
в магнитные ловушки радиационных поясов. Частицы могут
покидать пояса в полярных областях и вторгаться в верхние
слои атмосферы, вызывая полярные сияния.
4

246.

Лекции
Радиационные пояса Земли простираются от
расстояний порядка 500 км до десятков земных
радиусов.
Следует вспомнить, что южный магнитный полюс
Земли находится вблизи северного географического
полюса (на северо-западе Гренландии).
Природа земного магнетизма до сих пор не изучена.
4

247.

Лекции
15. Магнитное
поле в веществе
4

248.

Лекции
Экспериментальные исследования показали, что все
вещества в большей или меньшей степени обладают
магнитными свойствами.
Если два витка с токами поместить в какую-либо
среду, то сила магнитного взаимодействия между
токами изменяется.
Этот опыт показывает, что индукция магнитного
поля, создаваемого электрическими токами в
веществе, отличается от индукции магнитного поля,
создаваемого теми же токами в вакууме.
4

249.

Лекции
Физическая величина, показывающая, во сколько
раз индукция магнитного поля в однородной среде
отличается по модулю от индукции магнитного поля
в вакууме, называется магнитной проницаемостью:
Магнитные свойства веществ определяются
магнитными свойствами атомов или элементарных
частиц (электронов, протонов и нейтронов), входящих
в состав атомов.
В настоящее время установлено, что магнитные
свойства протонов и нейтронов почти в 1000 раз
слабее магнитных свойств электронов.
4

250.

Лекции
Поэтому магнитные свойства веществ в основном
определяются электронами, входящими в состав
атомов.
Одним из важнейших свойств электрона является
наличие у него не только электрического, но и
собственного магнитного поля.
Собственное магнитное поле электрона называют
спиновым (spin – вращение).
Электрон создает магнитное поле также и за счет
орбитального движения вокруг ядра, которое можно
уподобить круговому микротоку.
Спиновые поля электронов и магнитные поля,
обусловленные их орбитальными движениями, и
определяют широкий спектр магнитных свойств
веществ.
4

251.

Лекции
Вещества крайне разнообразны по своим магнитным
свойствам.
У большинства веществ эти свойства выражены слабо.
Слабо-магнитные вещества делятся на две большие
группы – парамагнетики и диамагнетики.
Они отличаются тем, что при внесении во внешнее
магнитное поле парамагнитные образцы
намагничиваются так, что их собственное магнитное
поле оказывается направленным по внешнему полю, а
диамагнитные образцы намагничиваются против
внешнего поля.
Поэтому у парамагнетиков μ > 1, а у диамагнетиков μ < 1.
Отличие μ от единицы у пара- и диамагнетиков
чрезвычайно мало.
4

252.

Лекции
Например, у алюминия, который относится к
парамагнетикам, μ – 1 ≈ 2,1·10–5, , у хлористого железа
(FeCl3) μ – 1 ≈ 2,5·10–3.
К парамагнетикам относятся также платина, воздух и
многие другие вещества.
К диамагнетикам относятся медь (μ – 1 ≈ –3·10–6), вода
(μ – 1 ≈ –9·10–6), висмут (μ – 1 ≈ –1,7·10–3) и другие
вещества.
Образцы из пара- и диамагнетика, помещенные в
неоднородное магнитное поле между полюсами
электромагнита, ведут себя по-разному – парамагнетики
втягиваются в область сильного поля, диамагнетики –
выталкиваются (рис. 1).
4

253.

Лекции
Рис. 1. Парамагнетик (1) и диамагнетик (2) в
неоднородном магнитном поле.
4

254.

Лекции
Пара- и диамагнетизм объясняется поведением
электронных орбит во внешнем магнитном поле.
У атомов диамагнитных веществ в отсутствие
внешнего поля собственные магнитные поля
электронов и поля, создаваемые их орбитальным
движением, полностью скомпенсированы.
Возникновение диамагнетизма связано с действием
силы Лоренца на электронные орбиты.
Под действием этой силы изменяется характер
орбитального движения электронов и нарушается
компенсация магнитных полей.
Возникающее при этом собственное магнитное поле
атома оказывается направленным против индукции
внешнего поля.
4

255.

Лекции
В атомах парамагнитных веществ магнитные поля
электронов скомпенсированы не полностью, и атом
оказывается подобным маленькому круговому току.
В отсутствие внешнего поля эти круговые микротоки
ориентированы произвольно, так что суммарная
магнитная индукция равна нулю.
Внешнее магнитное поле оказывает ориентирующее
действие – микротоки стремятся сориентироваться
так, чтобы их собственные магнитные поля
оказались направленными по индукции внешнего поля.
Из-за теплового движения атомов ориентация
микротоков никогда не бывает полной.
4

256.

Лекции
При усилении внешнего поля ориентационный
эффект возрастает, так что индукция собственного
магнитного поля парамагнитного образца растет
прямо пропорционально индукции внешнего
магнитного поля.
Полная индукция магнитного поля в образце
складывается из индукции внешнего магнитного
поля и индукции собственного магнитного поля,
возникшего в процессе намагничивания.
Механизм намагничивания парамагнетиков очень
похож на механизм поляризации полярных
диэлектриков.
Диамагнетизм не имеет аналога среди электрических
свойств вещества.
4

257.

Лекции
Следует отметить, что диамагнитными свойствами
обладают атомы любых веществ.
Однако, во многих случаях диамагнетизм атомов
маскируется более сильным парамагнитным
эффектом.
Явление диамагнетизма было открыто М. Фарадеем
(1845 г.).
Вещества, способные сильно намагничиваться в
магнитном поле, называются ферромагнетиками.
Магнитная проницаемость ферромагнетиков по
порядку величины лежит в пределах 102–105.
Например, у стали μ ≈ 8000, у сплава железа с никелем
магнитная проницаемость достигает значений 250000.
4

258.

Лекции
К группе ферромагнетиков относятся четыре химических
элемента: железо, никель, кобальт, гадолиний.
Из них наибольшей магнитной проницаемостью
обладает железо.
Ферромагнетиками могут быть различные сплавы,
содержащие ферромагнитные элементы.
Широкое применение в технике получили керамические
ферромагнитные материалы – ферриты.
Для каждого ферромагнетика существует определенная
температура (так называемая температура или точка
Кюри), выше которой ферромагнитные свойства
исчезают, и вещество становится парамагнетиком.
У железа, например, температура Кюри равна 770 °C, у
кобальта 1130 °C, у никеля 360 °C.
4

259.

Лекции
Ферромагнитные материалы делятся на две большие
группы – на магнито-мягкие и магнито-жесткие
материалы.
Магнито-мягкие ферромагнитные материалы почти
полностью размагничиваются, когда внешнее
магнитное поле становится равным нулю.
К магнито-мягким материалам относится, например,
чистое железо, электротехническая сталь и некоторые
сплавы.
Эти материалы применяются в приборах переменного
тока, в которых происходит непрерывное
перемагничивание, то есть изменение направления
магнитного поля (трансформаторы, электродвигатели
и т. п.).
4

260.

Лекции
Магнито-жесткие материалы сохраняют в значительной
мере свою намагниченность и после удаления их из
магнитного поля.
Примерами магнито-жестких материалов могут служить
углеродистая сталь и ряд специальных сплавов.
Магнито-жесткие метериалы используются в основном
для изготовления постоянных магнитов.
Магнитная проницаемость μ ферромагнетиков не
является постоянной величиной; она сильно зависит от
индукции B0 внешнего поля.
Типичная зависимость μ (B0) приведена на рис. 2.
В таблицах и справочниках обычно приводятся
значения максимальной магнитной проницаемости.
4

261.

Лекции
Рис. 2. Типичная зависимость магнитной
проницаемости ферромагнетика от
индукции внешнего магнитного поля.
4

262.

Лекции
Непостоянство μ приводит к сложной нелинейной
зависимости индукции B магнитного поля в
ферромагнетике от индукции B0 внешнего
магнитного поля.
Характерной особенностью процесса намагничивания
ферромагнетиков является так называетмый
гистерезис, то есть зависимость намагничивания от
предыстории образца.
Кривая намагничивания B (B0) ферромагнитного
образца представляет собой петлю сложной формы,
которая называется петлей гистерезиса (рис. 3.).
Из рис. 3 видно, что при
наступает магнитное
насыщение – намагниченность образца достигает
максимального значения.
4

263.

Лекции
Рис. 3. Петля гистерезиса ферромагнетика. Стрелками
указано направление процессов намагничивания и
размагничивания ферромагнитного образца при
изменении индукции B0 внешнего магнитного поля.
4

264.

Лекции
Если уменьшать магнитную индукцию B0 внешнего
поля и довести ее вновь до нулевого значения, то
ферромагнетик сохранит остаточную
намагниченность – поле внутри образца будет равно
Br..
Остаточная намагниченность образцов
позволяет создавать постоянные магниты.
Для того, чтобы полностью размагнитить образец,
необходимо, изменив знак внешнего поля, довести
магнитную индукцию B0 до значения – B0c, которое
принято называть коэрцитивной силой.
Далее процесс перемагничивания может быть
продолжен, как это указано стрелками на рис. 3.
4

265.

Лекции
У магнито-мягких материалов значения
коэрцитивной силы B0c невелико – петля
гистерезиса таких материалов достаточно
«узкая».
Материалы с большим значением коэрцитивной
силы, то есть имеющие «широкую» петлю
гистерезиса, относятся к магнито-жестким.
4

266.

Лекции
Природа ферромагнетизма может быть до конца
понята только на основе квантовых представлений.
Качественно ферромагнетизм объясняется наличием
собственных (спиновых) магнитных полей у
электронов.
В кристаллах ферромагнитных материалов возникают
условия, при которых, вследствие сильного
взаимодействия спиновых магнитных полей
соседних электронов, энергетически выгодной
становится их параллельная ориентация.
В результате такого взаимодействия внутри кристалла
ферромагнетика возникают самопроизвольно
намагниченные области размером порядка 10–2–10–4 см.
Эти области называются доменами. Каждый домен
представляет из себя небольшой постоянный магнит.
4

267.

Лекции
В отсутствие внешнего магнитного поля направления
векторов индукции магнитных полей в различных
доменах ориентированы в большом кристалле
хаотически.
Такой кристалл в среднем окажется не намагниченным.
При наложении внешнего магнитного поля
происходит смещение границ доменов так, что объем
доменов, ориентированных по внешнему полю,
увеличивается.
С увеличением индукции внешнего поля возрастает
магнитная индукция намагниченного вещества.
В очень сильном внешнем поле домены, в которых
собственное магнитное поле совпадает по направлению
с внешним полем, поглощают все остальные домены, и
наступает магнитное насыщение.
4

268.

Лекции
Рис. 4 может служить качественной иллюстрацией
процесса намагничивания ферромагнитного образца.
Рис. 4. Намагничивание ферромагнитного образца.
(1) B0 = 0; (2) B0 = B01; (3) B0 = B02 > B01.
4

269.

Лекции
16. Электромагнитная индукция.
Правило Ленца
4

270.

Лекции
Явление электромагнитной индукции было
открыто выдающимся английским физиком М.
Фарадеем в 1831 г.
Оно заключается в возникновении электрического
тока в замкнутом проводящем контуре при
изменении во времени магнитного потока,
пронизывающего контур.
Магнитным потоком Φ через площадь S контура
называют величину
Φ = B · S · cos α,
B – модуль вектора магнитной индукции, α – угол
между вектором и нормалью к плоскости контура
(рис. 1).
4

271.

Лекции
Рис. 1. Магнитный поток через замкнутый контур.
Направление нормали и выбранное положительное
направление обхода контура связаны правилом
правого буравчика.
4

272.

Лекции
Определение магнитного потока нетрудно обобщить
на случай неоднородного магнитного поля и
неплоского контура.
Единица магнитного потока в системе СИ называется
вебером (Вб).
Магнитный поток, равный 1 Вб, создается магнитным
полем с индукцией 1 Тл, пронизывающим по
направлению нормали плоский контур площадью 1 м2:
1 Вб = 1 Тл · 1 м2.
4

273.

Лекции
Фарадей экспериментально установил, что при
изменении магнитного потока в проводящем контуре
возникает ЭДС индукции Eинд , равная скорости
изменения магнитного потока через поверхность,
ограниченную контуром, взятой со знаком минус:
Опыт показывает, что индукционный ток, возбуждаемый
в замкнутом контуре при изменении магнитного потока,
всегда направлен так, что создаваемое им магнитное
поле препятствует изменению магнитного потока,
вызывающего индукционный ток.
Это утверждение называется правилом Ленца (1833 г.).
4

274.

Лекции
Рис. 2 иллюстрирует правило Ленца на примере
неподвижного проводящего контура, который
находится в однородном магнитном поле, модуль
индукции которого увеличивается во времени.
Правило Ленца отражает тот экспериментальный
факт, что инд и
всегда имеют противоположные
знаки (знак «минус» в формуле Фарадея).
Правило Ленца имеет глубокий физический смысл –
оно выражает закон сохранения энергии.
Изменение магнитного потока, пронизывающего
замкнутый контур, может происходить по двум
причинам.
4

275.

Лекции
Рис. 2. Иллюстрация правила Ленца. В этом примере
а
инд < 0. Индукционный ток
Iинд течет навстречу
выбранному положительному направлению обхода
контура.
4

276.

Лекции
1. Магнитный поток изменяется вследствие
перемещения контура или его частей в постоянном
во времени магнитном поле.
Это случай, когда проводники, а вместе с ними и
свободные носители заряда, движутся в магнитном
поле.
Возникновение ЭДС индукции объясняется действием
силы Лоренца на свободные заряды в движущихся
проводниках.
Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней
силы.
4

277.

Лекции
Рассмотрим в качестве примера возникновение ЭДС
индукции в прямоугольном контуре, помещенном в
однородное магнитное поле перпендикулярное
плоскости контура.
Пусть одна из сторон контура длиной l скользит со
скоростью по двум другим сторонам (рис. 3).
На свободные заряды на этом участке контура
действует сила Лоренца.
Одна из составляющих этой силы, связанная с
переносной скоростью зарядов, направлена вдоль
проводника.
Эта составляющая указана на рис. 3.
Она играет роль сторонней силы.
4

278.

Лекции
Рис. 3. Возникновение ЭДС индукции в движущемся
проводнике. Указана составляющая силы Лоренца,
действующей на свободный электрон
4

279.

Лекции
Ее модуль равен
FЛ = eυB
Работа силы FЛ на пути l равна
A = FЛ · l = eυBl.
По определению ЭДС
В других неподвижных частях контура сторонняя
сила равна нулю.
Соотношению для инд можно придать привычный
вид.
За времы Δt площадь контура изменяется на ΔS = lυΔt.
4

280.

Лекции
Изменение магнитного потока за это время равно
ΔΦ = BlυΔt.
Следовательно,
Для того, чтобы установить знак в формуле,
связывающей инд и
нужно выбрать согласованные
между собой по правилу правого буравчика
направление нормали и положительное направление
обхода контура как это сделано на рис. 1 и 2.
Если это сделать, то легко прийти к формуле Фарадея.
Если сопротивление всей цепи равно R, то по ней будет
протекать индукционный ток, равный Iинд = инд /R.
4

281.

Лекции
За время Δt на сопротивлении R выделится джоулево
тепло
Возникает вопрос: откуда берется эта энергия, ведь
сила Лоренца работы не совершает!
Этот парадокс возник потому, что мы учли работу только
одной составляющей силы Лоренца.
При протекании индукционного тока по проводнику,
находящемуся в магнитном поле, на свободные заряды
действует еще одна составляющая силы Лоренца,
связанная с относительной скоростью движения
зарядов вдоль проводника.
Эта составляющая ответственна за появление силы
Ампера
4

282.

Лекции
Для случая, изображенного на рис. 3, модуль
силы Ампера равен FA = IBl. .
Сила Ампера направлена навстречу движения
проводника; поэтому она совершает
отрицательную механическую работу.
За время Δt эта работа Aмех равна
Движущийся в магнитном поле проводник, по
которому протекает индукционный ток, испытывает
магнитное торможение.
Полная работа силы Лоренца равна нулю.
4

283.

Лекции
Джоулево тепло в контуре выделяется либо за
счет работы внешней силы, которая поддерживает
скорость проводника неизменной, либо за счет
уменьшения кинетической энергии проводника.
4

284.

Лекции
2. Вторая причина изменения магнитного потока,
пронизывающего контур, – изменение во времени
магнитного поля при неподвижном контуре.
В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя
объяснить действием силы Лоренца.
Электроны в неподвижном проводнике могут
приводиться в движение только электрическим полем.
Это электрическое поле порождается изменяющимся
во времени магнитным полем.
Работа этого поля при перемещении единичного
положительного заряда по замкнутому контуру равна
ЭДС индукции в неподвижном проводнике.
4

285.

Лекции
Следовательно, электрическое поле, порожденное
изменяющимся магнитным полем, не является
потенциальным.
Его называют вихревым электрическим полем.
Представление о вихревом электрическом поле было
введено в физику великим английским физиком Дж.
Максвеллом (1861 г.).
Явление электромагнитной индукции в неподвижных
проводниках, возникающее при изменении
окружающего магнитного поля, также описывается
формулой Фарадея.
4

286.

Лекции
Т.о., явления индукции в движущихся и неподвижных
проводниках протекают одинаково, но физическая
причина возникновения индукционного тока
оказывается в этих двух случаях различной:
в случае движущихся проводников ЭДС индукции
обусловлена силой Лоренца;
в случае неподвижных проводников ЭДС индукции
является следствием действия на свободные заряды
вихревого электрического поля, возникающего при
изменении магнитного поля.
4

287.

Лекции
17. Самоиндукция. Энергия
магнитного поля
4

288.

Лекции
Самоиндукция является важным частным случаем
электромагнитной индукции, когда изменяющийся
магнитный поток, вызывающий ЭДС индукции,
создается током в самом контуре.
Если ток в рассматриваемом контуре по каким-то
причинам изменяется, то изменяется и магнитное
поле этого тока, а, следовательно, и собственный
магнитный поток, пронизывающий контур.
В контуре возникает ЭДС самоиндукции, которая
согласно правилу Ленца препятствует изменению
тока в контуре.
4

289.

Лекции
Собственный магнитный поток Φ, пронизывающий
контур или катушку с током, пропорционален силе
тока I:
Φ = LI.
Коэффициент пропорциональности L (Гн) в этой
формуле называется коэффициентом самоиндукции
или индуктивностью катушки.
Индуктивность контура или катушки равна 1 Гн,
если при силе постоянного тока 1 А собственный
поток равен 1 Вб:
1 Гн = 1 Вб / 1 А.
4

290.

Лекции
В качестве примера рассчитаем индуктивность
длинного соленоида, имеющего N витков, площадь
сечения S и длину l.
Магнитное поле соленоида определяется формулой
B = μ0In,
I – ток в соленоиде, n = N / e – число витков на единицу
длины соленоида.
Магнитный поток, пронизывающий все N витков
соленоида, равен
Φ = B·S·N = μ0n2SlI.
Следовательно, индуктивность соленоида равна
L = μ0n2Sl = μ0n2V,
V = Sl – объем соленоида, в котором сосредоточено
магнитное поле.
4

291.

Лекции
ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке с
постоянным значением индуктивности, согласно
формуле Фарадея равна
ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна
индуктивности катушки и скорости изменения
силы тока в ней.
4

292.

Лекции
Магнитное поле обладает энергией.
Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется
запас электрической энергии, в катушке, по виткам
которой протекает ток, имеется запас магнитной
энергии.
Если включить электрическую лампу параллельно
катушке с большой индуктивностью в электрическую
цепь постоянного тока, то при размыкании ключа
наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис.1).
Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции.
Источником энергии, выделяющейся при этом в
электрической цепи, является магнитное поле катушки.
4

293.

Лекции
Рис. 1. Магнитная энергия катушки. При
размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает.
4

294.

Лекции
Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия,
запасенная в катушке, выделится в виде джоулева
тепла.
Если обозначить через R полное сопротивление цепи,
то за время Δt выделится количество теплоты
ΔQ = I2RΔt.
Ток в цепи равен
Выражение для ΔQ можно записать в виде
ΔQ = –LIΔI = –Φ(I)ΔI.
В этом выражении ΔI < 0; ток в цепи постепенно
убывает от первоначального значения I0 до нуля.
4

295.

Лекции
Полное количество теплоты, выделившейся в цепи,
можно получить, выполнив операцию интегрирования
в пределах от I0 до 0.
Это дает
Эту формулу можно получить графическим методом,
изобразив на графике зависимость магнитного
потока Φ(I) от тока I (рис. 2).
Полное количество выделившейся теплоты, равное
первоначальному запасу энергии магнитного поля,
определяется площадью изображенного на рис. 2
треугольника.
4

296.

Лекции
Рис. 2. Вычисление энергии магнитного поля.
4

297.

Лекции
Т.о., энергия Wм магнитного поля катушки с
индуктивностью L, создаваемого током I, равна
Применим полученное выражение для энергии
катушки к длинному соленоиду с магнитным
сердечником.
Используя приведенные выше формулы для
коэффициента самоиндукции Lμ соленоида и для
магнитного поля B, создаваемого током I, можно
получить:
V – объем соленоида.
4

298.

Лекции
Это выражение показывает, что магнитная энергия
локализована не в витках катушки, по которым
протекает ток, а рассредоточена по всему объему, в
котором создано магнитное поле.
Физическая величина
равная энергии магнитного поля в единице объема,
называется объемной плотностью магнитной
энергии.
Дж. Максвелл показал, что выражение для объемной
плотности магнитной энергии, выведенное здесь для
случая длинного соленоида, справедливо для любых
магнитных полей.
4

299.

Лекции
4