Формула полной вероятности. Формула Байеса. Теорема о повторении опытов (Бернулли)

1.

Формула полной вероятности
Следствием обеих теорем вероятности – теоремы сложения и
теоремы умножения – является формула полной вероятности.
Пусть проводится опыт, об условиях которого можно сделать n
исключающих друг друга предположений (гипотез), образующих
полную группу:
n
H1, H 2 , ..., H n , H i H j , i j , H i
i 1
Каждая из гипотез осуществляется случайным образом и представляет
собой случайное событие. Вероятности гипотез известны и равны:
n
p( H1), p( H 2 ), ..., p( H n ), p( H i ) 1
i 1
Рассмотрим некоторое событие А, которое может появиться только вместе
с одной из гипотез. Известны условные вероятности события А для
каждой из гипотез: P(A/H1), p(A/H2), … p(A/Hn).

2.

n
На основании второй аксиомы
p ( A) p ( H i A)
i 1
С учетом теоремы умножения вероятностей p(HiA) = p(Hi)p(A/Hi),
n
тогда
p ( A)
p( H i ) p( A / H i )
(3.1)
i 1
Формула Байеса
Базируется на формуле полной вероятности и теореме умножения
вероятностей.
Пусть до проведения некоторого опыта об его условиях n можно
сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез), образующих
n
полную группу:
H1 , H 2 , ..., H n ,
H i H j , i j , H i
i 1
Вероятности гипотез до опыта (априорные вероятности) известны:
p(H1), p(H2), … p(Hn).

3.

Опыт произведен, и произошло некоторое событие А. Требуется
определить вероятности гипотез с учетом того, что произошло событие А,
т.е. определить апостериорные вероятности: p(H1/A), p(H2/A), … p(Hn/A).
Вероятность того, что событие А произошло совместно с Нi, на
основании теоремы умножения, вероятностей равна
p(HiA) = p(Hi)p(A/Hi) = p(A)p(Hi/A).
Отбросим левую часть равенства и выразим p(Нi/А):
p( H i ) p( A / H i )
p( H i / A)
.
p( A)
Раскроем p(A) по формуле полной вероятности (3.1) и получим формулу Байеса
p( H i / A)
p( H i ) p( A / H i )
n
p( H ) p( A / H )
j 1
j
.
(3.2)
j
Формула Байеса позволяет пересчитать априорные вероятность гипотез с
учетом того, что опыт завершился событием А.

4.

Теорема о повторении опытов
Пусть проводятся n независимых одинаковых опытов, в каждом из
которых событие А появляется с вероятностью р. Вероятность P(n, k) того,
что событие А произойдет ровно в k опытах, равна (формула Бернулли)
P(n, k ) Cnk pk qn k
n!
pk qn k ,0 k n (3.3)
k ! (n k )!
где q = 1 – р - вероятность того, что А не появится в одном опыте.
Доказательство. Обозначим через Вk появление события А в k опытах и появление
А в n - k опытах. Событие Вk представляет собой сумму несовместимых событий:
Bk A1 A2 ...... Ak Ak 1 Ak 2 ...... An ......... A1 A2 ...... An k An k 1 Ak 2 ...... An
k
где Аi, Ai
n k
n k
– появление и не появление события А в i-м опыте.
k
Определим вероятность одного из слагаемых. Так как все опыты одинаковы, то
вероятности всех вариантов одинаковы и равны
P( A1 A2 ...... Ak Ak 1 Ak 2 ...... An ) p p..... pq q......q p q
k
k
n k
n k

5.

Количество вариантов таких сложных событий равно числу выборок к
номеров опытов из n возможных, в которых произойдут события А, т.е.
равно числу сочетаний без повторения элементов Cnr
Так как эти события несовместимы, то на основании второй аксиомы :
p(Bk ) Pn (k ) P(n, k ) Cnk p k q n k
Свойства формулы Бернулли:
1. Правая часть формулы (3.3) представляет собой общий член
разложения бинома Ньютона:
n
n
(q p)n P(n, k ) Cnk p k q n k 1
k 0
(3.4)
k 0
2. Рекуррентная формула P(n, k)имеет вид
p
n
k
P(n, k 1)
Pn (n, k )
k 1 q
(3.5)

6.

3. Число к0, которому соответствует максимальная вероятность
P(n, k0 )
называется наивероятнейшим числом появления
события А и определяется неравенствами, P(n,k0)=max P (n, k):
np q k0 np p
Доказательство.
В точке k0
P(n, k )
P(n, k ) P(n, k 1)
0
0
,
P(n, k0 ) P(n, k0 1)
(3.6)
а
достигает максимума, т.е. решаем данную систему
относительно k0 , получим (3.6).
Pn (k0 1) n k0 p
n k0 p
Pn (k0 1) Pn (k0 )
1 k0 np q
Pn (k0 ) k0 1 q
k0 1 q
Pn (k0 ) n k0 +1 p
n k0 1 p
Pn (k0 1) Pn (k0 )
1 k0 np p
Pn (k0 1) k0 q
k0 q

7.

4. Вероятность
Pn ( k 1 k k 2 )
того, что в n опытах схемы Бернулли, событие А появится от
k 1 до
k2
(0 k1 k2 n)
k2
равна
k2
P(n, k1 k k2 ) P(n, k ) Cnk p k q n k
k k1
5. Вероятность
(3.7)
k k1
P(n,1 k n)
того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, равна
P(n,1 k n) 1 P(n,0) 1 q
n
(3.8)

8.

Полиноминальная ( мультиноминальная) схема
Пусть производится n независимых опытов, каждый из которых имеет, r
(r>2) попарно несовместных и единственно возможных исходов
A1 , A2 ,..... Ar
с вероятностями
p1 p( A1 ), p2 p( A2 ),...... pr p( Ar )
Требуется определить вероятность того, что из серии n независимых опытов
исход
A1
наступит
A2 k2 ,..., Ar kr k1 k2 ..... kr n ,то
k1 раз,
k1 k2 .....kr ! k k k
P (n, k , k ,.....k )
p p ...p
1
2
r
k1!k2 !.....kr !
1
1
2
2
r
r

9.

Предельные (асимптотические) формулы в схеме Бернулли
Вычисление вероятностей P( n, k) при больших значениях n затруднено
Формула Пуассона
Если количество испытаний велико
,а вероятность события мала
так что
n
p 0
и
1
p
n
np a, 0 a
ak
P(n, k )
e a , k 0, n
k!
(3.10)
Формулы Муавра-Лапласа:
Если количество испытаний n велико, вероятности p и q не малы, так
что выполняются следующие условия:
0 np 3 npq , np 3 npq n

10.

P ( n, k )
- локальная
( x)
2
1
x
,
exp
где ( x)
2
2
npq
,
x
(3.11)
k np
npq
P(n, k1 k k2 ) ( x2 ) ( x1 )
(k2 np)
(k1 np)
x2
где x1
npq
npq
x
x2
1
- функция Лапласа.
( x)
exp dx
2 0
2
- интегральная
Функции
( x)
и
( x)
(3.12)
.
табулированы.
При использовании таблиц следует помнить, что ( x ) является четной
( x) ( x) а функция Лапласа - нечетной ( x)= ( x)