Похожие презентации:
Формула полной вероятности, формула Байеса. Схема Бернулли. Понятия дискретной и непрерывной величин, их числовые характеристики
1.
Дисциплина:МАТЕМАТИКА
Лектор: Ахкамова Юлия Абдулловна
доцент кафедры математики и
методики обучения математике
ЮУрГГПУ
[email protected]
2. ЛЕКЦИЯ № 19 Формула полной вероятности, формула Байеса. Схема Бернулли. Понятия дискретной и непрерывной величин, их числовые
характеристики, виды .распределений
.
3.
ЛИТЕРАТУРАГмурман В.Е.
Теория вероятностей
и математическая
статистика,
Высшее образование,
2006, с. 50-63.
4. ЛИТЕРАТУРА
Шолохович Ф.А. Высшаяматематика в кратком изложении.
Баврин И.И. Высшая математика.
Данко П.Е., Попов А.Г и др. Высшая
математика в упражнениях и
задачах, часть II.
5.
УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ1.Теоремы о повторении опытов.
Определение вероятности
появления события не менее «m»
раз и не менее одного раза в «n»
опытах.
2.Теорема о полной вероятности,
формула Байеса.
6.
УЧЕБНЫй ВОПРОСТеоремы о повторении опытов.
-Определение вероятности
появления события не менее «m»
раз и не менее одного раза в «n»
опытах.
7. Теоремы о повторении опытов.
Рассмотрим многократное повторениеодного и того же испытания, в
котором может либо наступить, либо
не наступить событие А. Вероятность
появления А в каждом из испытаний
постоянна, равна р.
Такие испытания называются "схемой
повторных независимых испытаний"
или "схемой Бернулли".
8.
Формула Бернулли.Если вероятность появления события A в
каждом
испытании
постоянна,
то
вероятность
того,
что
событие
А
произойдёт ровно k раз в n независимых
испытаниях вычисляется по формуле
Бернулли
Pn (k )
k
Cn
p q
k
n k
,
где р – вероятность появления события
А,
q=1–p
9.
Пример.Вероятность изготовления
стандартной детали равна 0,9.
Какова вероятность того, что среди
10 деталей окажется более 1
нестандартной?
10.
11. Приближенные формулы в схеме Бернулли
Локальная теорема Муавра-ЛапласаЕсли вероятность р наступления события А в каждом
испытании постоянна и отлична от 0 и 1, а число
испытаний достаточно велико, то вероятность
того, что событие А произойдёт ровно k раз в n
независимых испытаниях
k np
1
Рn ( k )
npq npq ,
x2
где
1
( x)
e 2
; φ(-х)=φ(х); для значений этой
2
функции составлены специальные таблицы.
12.
Пример.Вероятность поражения мишени
стрелком равна р=0,8. Найти
вероятность того, что при n= 100
выстрелах мишень будет поражена
ровно k = 86 раз.
13.
14.
Интегральная теорема МуавраЛапласаЕсли
вероятность
р
наступления
события А в каждом испытании
постоянна и отлична от 0 и 1, то
вероятность появления события А не
менее k1 раз и не более k2 раза при
достаточно
большом
количестве
испытаний n:
k 2 np
k1 np
Pn (k1 k k 2 )
npq
npq
15.
где( х)
1
2
x
е
z2
2
dz
0
- функция Лапласа,
её значения приведены в
специальных таблицах;
Ф(-х) = - Ф(х);
Ф(х>5)=0,5.
16.
Пример.17. Формула Пуассона
При большом числе n испытаний исравнительно малой вероятности р
наступления события А в каждом
испытании выполняется приближенное равенство
Pn (k )
где λ = np.
k
k!
e
18.
Пример.Вероятность угадывания 6 номеров в
спортлото (6 из 49) равна 7,2· 10-8.
При подсчете оказались
заполненными 5 млн. карточек.
Какова вероятность того, что никто
не угадал все 6 номеров? Какое
наименьшее количество карточек
нужно заполнить, чтобы с
вероятностью не менее 0,9 хотя бы
один угадал 6 номеров?
19.
20.
21. Определение вероятности появления события не менее «m» раз и не менее одного раза в «n» опытах.
Вероятность того, что в n испытанияхсобытие наступит:
не более m раз
Pn (k m) Pn (0) Pn (1) ... Pn (m)
Не менее m раз
Pn (k m) Pn (m) Pn (m 1) ... Pn (n)
22.
событие А не наступит ни разуPn (0) q
n
произойдет хотя бы раз ( не менее одного)
Pn (k 1) 1 Pn (0) 1 q
n
23. Отклонение относительной частоты от вероятности
24.
УЧЕБНЫЙ ВОПРОСТеорема о полной вероятности,
формула Байеса.
25.
Теорема о полной вероятности.Пусть имеется группа событий В1, В2,...,
Вn, обладающая следующими свойствами:
1) все события попарно несовместны:
Вi ∩ Вj = Ø ; i ≠ j;
2) их объединение образует пространство
элементарных исходов :
=В1 U В2 U ... U Вn.
В этом случае будем говорить,
что В1, В2,..., Вn образуют полную
группу событий. Такие события назовём
гипотезами.
26.
В1В2
В3
В4
Вn
Пусть А - некоторое событие, которое
может наступить лишь при появлении
одного из событий Вi . Тогда имеет место
формула полной вероятности:
P(A)=P(В1)∙P(A/ В1)+P(В2)∙P(A/В2)+...+P(Вn)∙P(A/Вn)
27.
Пример.На трех станках изготавливаются
одинаковые детали, причем на
первом вырабатывается 50% всех
деталей, на втором – 30% и на
третьем – 20%. При этом,
вероятность появления брака с
первого станка составляет 0,05, со
второго – 0,08, с третьего – 0,1.
Найти вероятность того, что наудачу
взятая деталь соответствует стандарту.
28.
Решение.Обозначим через А событие –
наудачу взятая деталь соответствует
стандарту.
Возможны следующие
предположения (гипотезы):
В1- деталь изготовлена на первом
станке;
В2 - деталь изготовлена на втором
станке;
В3 - деталь изготовлена на третьем
станке.
29.
Найдем вероятности этих гипотез.Поскольку на первом станке
вырабатывается 50% всех деталей,
то Р(В1) =0,5 ;
Р(В2) = 0,3; Р(В3) = 0,2.
Найдем условные вероятности
события А:
Р(А/В1) = 1 - 0,05 = 0,95.
Р(А/В2) = 1 - 0,08 = 0,92.
Р(А/В3) = 1 - 0,1 = 0,9.
30.
Искомую вероятность того, чтонаудачу взятая деталь соответствует
стандарту, находим по формуле
полной вероятности:
Р(А)=Р(В1)·Р(А/В1)+Р(В2)·Р(А/В2)+
+Р(В3)·Р(А/В3)=
=0,5·0,95+0,3·0,92+0,2·0,9 =
=0,475 + 0,276 + 0,18 = 0,931.
31.
Пусть в результате проведения экспериментапоявилось событие A. Если необходимо
оценить вклад какого-либо события Вi в
реализацию события A, то используется
формула Байеса оценки вероятности
гипотезы после опыта
P ( Вk ) P ( A / Вk )
P( Вk / A)
P( A)
Используя для знаменателя формулу полной
вероятности, получим
P ( Вk ) P ( A / Вk )
P ( Вk / A) n
P( Вi ) P( A / Вi )
i 1
32.
Пример.Рассмотрим приведенную выше
задачу о деталях, только изменим
вопрос задачи. Пусть наудачу взятая
деталь соответствует стандарту.
Найти вероятность того, что эта
деталь изготовлена на третьем
станке.
33.
Решение.По формуле Байеса
P( В ) P( A / В )
3
3
P( В / A)
3
3
P( В ) P( A / В )
i
i
i 1
Имеем
0,2 0,9
P( В3 / A)
0,193
0,931
34. УЧЕБНЫЙ ВОПРОС
Виды случайных величин и ихчисловые характеристики.
35.
Под случайной величиной(С.В.) понимается числовая величина,
которая в результате опыта может принять
то или иное
значение, причем заранее
неизвестно какое именно.
Например:
1. Число родившихся детей в течение суток в
городе N.
2. Количество бракованных изделий в данной
партии.
3. Число произведённых выстрелов до первого
попадания.
4. Дальность полёта артиллерийского снаряда.
36.
Случайные величиныДискретные
Непрерывные
37.
Определение. Дискретной С.В.называют случайную величину,
которая прини-мает только конечное
или счетное число значений х1, х2,
... с вероятнос-тями р1, р2, ...
соответственно, при этом
р1+р2 + ... = 1.
Определение. Непрерывной
С.В.называют случайную величину,
возможные значения которой
непрерывно заполняют числовую ось
или некоторый её отрезок.
38.
Основные числовыехарактеристики С.В.
Математическое
ожидание
М(Х)
Дисперсия
D(Х)
Среднее
квадратическое
отклонение
σ(Х)
39.
где :Математическое ожидание С.В. Х
М(Х) называют средним значением С.В.
Математическое
ожидание
показывает
какое значение С.В. можно ожидать в
среднем при проведении серии опытов.
Дисперсией D(X) случайной величины Х
называется математическое ожидание её
отклонения от математического
ожидания
40. Основные формулы, определяющие числовые характеристики С.В.
Математическоеожидание
Дисперсия
Среднее
квадратическое
отклонение
Дискретные случайные величины
n
М ( Х ) xi p i
i 1
n
D( Х ) ( xi M ( X )) 2 pi ( Х ) D( X )
i 1
Непрерывные случайные величины
М (Х )
2
D
(
Х
)
(
x
M
(
X
))
( х)dx
x
(
x
)
dx
( Х ) D( X )
41. Функция распределения
Универсальным закономраспределения С.В. любого типа
является функция распределения
С.В.– вероятность того, что значение
С.В. будет меньше некоторого
вполне определенного текущего
значения х:
F(x) = P(X < x).
42.
Определение.Случайная
величина
Х
называется непрерывной, если её функция
распределения F(х) (интегральная функция
распределения) непрерывна в любой точке и
дифференцируема всюду, кроме, быть может,
отдельных точек.
Определение.
Плотностью
распределения
(дифференциальной функцией распределения)
непрерывной
случайной
величины
Х
называется
производная
её
функции
распределения х F x .
43. Нормальное распределение
С. В. имеет нормальноераспределение с параметрами а и σ,
если её плотность распределения
задаётся формулой
Функция распределения имеет вид
44.
45. Задание на самоподготовку
Гмурман В.Е. Теория вероятностей иматематическая статистика, Высшее
образование,2009, с. 30-51.