Диаграмма Эйлера. Объединение и пересечение событий

1. Диаграмма Эйлера. Объединение и пересечение событий..

Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

2. Объединение событий

Определение. Объединением событий A и B называют событие A B, которое состоит
из всех исходов, которые входят хотя бы в одно из этих событий (т. е. благоприятных
хотя бы для одного события). Оно происходит всякий раз, когда происходит хотя бы
одно из событий A или B.
Объединение А В наступает, если наступает хотя бы одно из событий А и В. Это
означает, что наступает либо А, либо В, либо А и В вместе.
Объединение событий в теории вероятностей часто называют суммой событий и
обозначают A + B.
Заметим, что при объединении событий общие элементы множеств не повторяются.
Пример 1.
Найдём попарные объединения событий из опыта с кубиком:
А = «выпадет чётное число очков» = {2, 4, 6};
B = «выпадет шестёрка» = {6};
C = «выпадет простое число» = {2, 3, 5}.
Получаем: A B = {2, 4, 6}, A C = {2, 3, 4, 5, 6}, B C = {2, 3, 5, 6}

3. ПРИМЕР 2.

Продавец выбирает два костюма, для того чтобы поместить их в витрину магазина. В
ассортименте есть чёрные (Ч) и синие (С) костюмы. Элементарные события этого
случайного опыта представляют собой пары костюмов, которые мы обозначим:
ЧС, ЧЧ, СС и СЧ.
Пусть, например, событие А состоит в том, что первый костюм чёрного цвета. Этому
событию благоприятствуют элементарные события
ЧС и ЧЧ.
Событие В наступает, если второй костюм чёрного цвета; ему благоприятствуют
элементарные события
СЧ и ЧЧ.
Объединению событий A В в этом случае благоприятствуют элементарные события,
благоприятствующие хотя бы одному из двух событий А и В, т. е. три элементарных
события: ЧС, ЧЧ и СЧ.
Событие A В состоит в том, что хотя бы один из костюмов чёрного цвета. Словесная
формулировка объединения двух событий часто включает в себя слова «хотя бы».

4. ПРИМЕР 3.

• Игральную кость бросают дважды. Событие А
состоит в том, что в первый раз выпало
больше очков, чем во второй. Событие В
состоит в том, что во второй раз выпало
больше очков, чем в первый.
• Тогда событие A B заключается в том, что
либо в
первый раз выпало больше очков,
чем во второй, либо во второй раз больше
очков, чем в первый. Иными словами,
событие A В можно описать так: «при двух
бросаниях кости выпали два разных числа». В
таблице элементарных событий такого
эксперимента событию A B благоприятствуют
все
элементарные
события,
кроме
элементарных событий, расположенных на
диагонали.

5.

Объединение событий легко изобразить
на диаграмме Эйлера. Левый круг
изображает событие А, правый круг –
событие В, а фигура, состоящая из обоих
кругов, – это событие A B.

6. Пересечений событий

Определение. Пересечением двух событий A, B называют событие A B, которое
состоит из всех исходов, благоприятных для обоих событий A и B. Оно происходит
всякий раз, когда происходят сразу оба события A и B.
Пересечение событий в теории вероятностей часто называют произведением
событий и обозначают AB.
Пример 4. Вернёмся к примеру с кубиком и найдём попарные пересечения событий:
А = «выпадет чётное число очков» = {2, 4, 6};
B = «выпадет шестёрка» = {6};
C = «выпадет простое число» = {2, 3, 5}.
A B = {6},
A C = {2},
B C = .

7. ПРИМЕР 4.

Продавец выбирает два костюма, для того чтобы поместить их в витрину
магазина. В ассортименте есть чёрные (Ч) и синие (С) костюмы. Элементарные события этого случайного опыта представляют собой пары костюмов, которые мы
обозначим:
ЧС, ЧЧ, СС и СЧ.
Пусть, например, событие А состоит в том, что первый костюм чёрного цвета.
Этому событию благоприятствуют элементарные события
ЧС и ЧЧ.
Событие В наступает, если второй костюм чёрного цвета; ему благоприятствуют
элементарные события
СЧ и ЧЧ.
Пересечение событий А В состоит в том, что оба костюма чёрного цвета. Этому
благоприятствует единственное элементарное событие ЧЧ.

8. Пример 5

Игральную кость бросают дважды.
Пусть событие А – «в первый раз
выпало меньше 3 очков», а событие
В – «во второй раз выпало меньше 3
очков». Тогда событие А В
заключается в том, что оба раза
выпало меньше 3 очков

9.

Событие А В можно изобразить на диаграмме Эйлера: нужно выделить
общую часть фигур, изображающих события А и В.

10. Пример 6

Найдём пересечения событий, связанных с футбольным матчем:
А = «матч закончится вничью»;
В = «Динамо» не забьёт ни одного гола»;
С = «Спартак» выиграет».
Снова воспользуемся логикой. Пересечению множеств, как вы помните,
соответствует логическая операция «и», которой мы и воспользуемся:
A B = «матч закончится вничью, и «Динамо» не забьёт ни одного гола» =
«матч закончится со счётом 0 : 0»;
A C = ;
B C = «Спартак» забьёт хотя бы один гол».
Заметим, что при нахождении B C мы использовали тот факт, что
событие B произошло (команда «Динамо» не забила ни одного гола), а
значит, «Спартаку» для победы достаточно забить хотя бы один гол.

11. Задание 1

На диаграмме Эйлера указано
число элементарных событий,
благоприятствующих каждому из
двух событий А и В. Сделайте
рисунок в тетради и закрасьте
объединение событий А и В.
Сколько элементарных событий
благоприятствует событию А B?

12. Задание 2

Событию А благоприятствуют 6 элементарных событий,
а событию В – 8 элементарных событий. Из этих 8
элементарных событий 4 благоприятствуют сразу двум
событиям. Нарисуйте в тетради соответствующую
диаграмму Эйлера и ответьте на вопросы.
а) Сколько элементарных событий благоприятствует
событию А, но не благоприятствует событию В?
б) Сколько элементарных событий благоприятствует
событию В, но не благоприятствует событию А?
в) Сколько элементарных событий благоприятствует
событию A B?

13. Задание 3

Бросают одну игральную кость. Событие А – «выпадет чётное число очков».
Событие В состоит в том, что:
а) выпадет число очков, кратное 3;
б) выпадет нечётное число очков;
в) выпадет число очков, кратное 4;
г) выпадет число очков, кратное 5.
Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию A B.
Найдите P(A B).

14. Задание 4

На диаграмме Эйлера изображены события А и В.
Нарисуйте диаграмму в тетради и укажите на ней
событие С, которое состоит в том, что:
а) событие А наступило, а событие В нет;
б) событие В наступило, а событие А нет;
в) наступило хотя бы одно из событий А и В;
г) не наступило ни одно из событий А и В;
д) наступили оба события.
Какое из этих событий является событием A B?
Какое из этих событий является событием A B?

15. Задание 5

Бросают одну игральную кость. Событие А – «выпадет чётное число очков».
Событие В заключается в том, что выпадет число очков:
а) кратное 3;
б) кратное 4;
в) большее 4;
г) меньшее 3.
Для каждого случая выпишите элементарные события, благоприятствующие
событию А В, и найдите вероятность этого события.

16. Задание 6

А) А = − 4; 7 , В = 1; 9 . Найдите А В, А В.
Б) А = − 3; 5 , В = − ∞; 2 . Найдите А В, А В.
В) А = − 2; 5 , В = 2; +∞ . Найдите А В, А В.

17. Домашнее задание:

Монету бросают дважды. Событие А – «первый раз выпадет орёл». Событие
В – «второй раз выпадет орёл». Выпишите элементарные события, благоприятствующие каждому из этих событий и событию A B.
2. Бросают две игральные кости. Событие К – «на первой кости выпадет чётное
число очков». Событие L – «на второй кости выпадет чётное число очков».
а) Выделите в таблице элементарных событий этого опыта элементарные
события, благоприятствующие событиям К и L.
б) Есть ли у событий К и L общие элементарные события? Если да, то какие они
и сколько их?
в) Опишите словами событие K L.
г) Найдите вероятность события К L.
3. Игральную кость бросают дважды. Событие А – «в первый раз выпало меньше
3 очков». Событие В – «во второй раз выпало больше 4 очков».
а) Пользуясь таблицей элементарных событий этого опыта, выделите тремя
разными цветами (или штриховкой) элементарные события, благоприятствующие событиям А, В и А В.
б) Опишите словами событие А В.
в) Найдите Р(А В).
1.

18. Использованные источники:

1. Математика. Вероятность и статистика. 7 – 9 классы. Базовый
уровень. Учебник в 2 – х частях. Под редакцией И.В.Ященко. –
М.: Просвещение, 2023
2. Математика. Вероятность и статистика. 10 класс. Базовый и
углубленный уровни. Учебное пособие. Под редакцией
Е.А.Бунимович, В.А.Булычев. – М.: Просвещение, 2023