Функция y = sin x, её свойства и график

1. Функция у = sin x , её свойства и график .

2.

1. Определение угла в один радиан
2. Формулы, которые связывают радианы и
градусы
3. Определение единичной окружности
4. На какие четверти делится единичная
окружность?
5. Назовите промежутки каждой четверти?
6. Приведите пример угла. Определите
четверть этого угла.

3. Откладывание углов

y
K(– 240о)
N(150о)
P(– 45о)
M(210о)
K
+
А
N
-1
1
0
M
P
-1
−
А(30о)
1
x

4.

1.Определение синуса
2.Определение косинуса
3. Определение тангенса
4.Определение котангенса
5. Основные
тригонометрические
формулы (8)

5.

1. Формула sin(α+β)
2. Формула sin(α-β)
3. Формула cos(α+β)
4. Формула cos (α-β)
5. Формула tg(α+β)
6. Формула tg(α-β)

6.

Построим график
функции
y = sin x в
прямоугольной
системе координат
Оху.

7.

у
1
0
π/2
π
х

8. Сначала построим часть графика на отрезке [0; π] .

Теперь
построим
часть
графика
на
Таким образом
весь
график
представляет
Сначала
построим
часть
графика
наотрезке
отрезке
На
на0 отрезке
отрезке
[π;
[-2π;
2π]-π]
график
график
функции
функции
x Асобой
π/6
π/3
π/2
2π/3
5π/6
π
[-π;
0],
непрерывную
которую
[0; π]линию,
.
выглядит
выглядит
опять
так:
вот так:у=sin x .
учитывая
нечётность
функции
y
0
1/2 √3/2синусоидой.
1
√3/2 1/2
0
называют
У
1
-2π
-3π/2
-π
-π/2
0
π/2
-1
π
3π/2
2π
Х

9.

Свойства функции y = sin x
у
1
π
-π/2
-3π/2
-π
π/2
0
-1
2π
3π/2
3π
5π/2
х

10. y= sin x

Свойство 1.
Область определения –
множество R всех действительных
чисел:
D(f) = (- ∞; + ∞)

11. y= sin x

Свойство 2.
Множество значений:
E(f) = -1;1 .

12. y= sin x

Свойство 3.
Нули функции:
0+Пk, где k є Z.

13. Промежутки знакопостоянства y= sin x

Свойство 4.
Промежутки, на которых функция принимает
положительные значения :
(0+2Пk; П+2Пk) , где k є Z.
Свойство 5.
Промежутки, на которых функция принимает
отрицательные значения:
(П+2Пk; 2П+2Пk) , где k є Z.

14.

Промежутки монотонности
y= sin x
Свойство 6. Промежутки возрастания функции
Функция y=sinx возрастает на любом отрезке
вида
где k є Z.
Свойство 7. Промежутки убывания функции
Функция y=sinx убывает на любом отрезке
вида
где k є Z.

15. Экстремум функции y= sin x

16. Наибольшее и наименьшее значения функции y= sin x

Свойство 8.
наибольшее значение, равное 1, при x= π/2+2πn, n∈Z;
наименьшее значение, равное −1, при x= − π/2+2πn, n∈Z

17. Четность или нечетность функции y= sin x

Свойство 9.
Четность или нечетность функции y= sin x
Так как sin (-x) = - sin x, то y = sin x – нечётная
функция, значит её график симметричен
относительно начала координат.
Периодичность функцииy= sinx
Функция y= sin x является периодической
функцией с периодом

18. Ограниченность функции y= sin x

Свойство 10.
Функция у =sin x
ограничена и снизу, и сверху:
- 1 ≤ sin x ≤ 1

19.

Свойства функции y = sin x
1. Область определения - множество R всех действительных чисел.D(y) = (-∞; + ∞)
2. Множество значений Е(у) = [−1;1]
3. Нули функции при x=πn, n∈Z
4. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения :
(0+2Пk; П+2Пk) , где k є Z.
5. Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
(П+2Пk; 2П+2Пk) , где k є Z.
6. Функция возрастает на x ∈ [−π/2 + 2 πn; π/2+ 2 πn], n ∈ Z
7. Функция убывает на x ∈ [π/2 + 2 πn; 3π/2+ 2 πn], n ∈ Z
8. Функция y=sinx принимает:
- наибольшее значение, равное 1, при x=π/2+2πn, n∈Z;
- наименьшее значение, равное −1, при x=−π/2+2πn, n∈Z
9. Функция нечётная sin(-x) = -sin x
Функция периодическая с периодом T= 2π.
10. Функция ограничена и сверху, и снизу.

20.

1)y= sin x + 1;
2)y= sin x - 2
y
1
x'
x
x''
-π
0
у = sin(x+a)
-2
π
2π

21. у = sin(x+a)

y = sin(x+π/6)
y
1
-1
-π
у = sin(x+a)
π
2π
х

22.

Задача 4.
Построить график функции
y sin t
6
Решение
Построим график функции y = sin t. В силу периодичности
достаточно будет рассмотреть график на участке [0;2 ]. Для
получения искомого графика кривую y = sin t необходимо
сдвинуть на /6 вправо по оси х