Лекция_6_Сферические_координаты_Приложения_тройных_интегралов_1

1. Тройной интеграл

Тройной интеграл в сферических координатах
Приложения тройного интеграла
1/16

2. Сферические координаты

2/16
Сферические координаты
Положение точки M(x; y; z) в пространстве можно определить
заданием трех чисел ρ; φ; θ.
z
ρ – длина радиус – вектора точки M.
M(ρ; φ; θ)
M(x; y; z)
φ – угол, образованный проекцией
радиус – вектора точки М с осью 0X.
θ – угол отклонения радиус – вектора
точки М от оси OZ.
x
θ
0
ρ
y
φ
Эти три числа ρ; φ; θ называются сферическими координатами
точки М.

3. Сферические координаты

3/16
Сферические координаты
Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми
координатами следующими соотношениями:
x cos sin ;
( 0;
y sin sin ;
0 2 ;
z cos .
0 )
Возьмем в формуле замены переменных в качестве u, v, w
сферические координаты ρ; φ; θ и вычислим Якобиан
преобразования:
x
y
I ( , , )
z
x
y
z
x
y
z
cos sin
sin sin
sin sin
cos sin
cos
0
cos cos
sin cos
sin

4. Сферические координаты

4/16
Разложим определитель по элементам 2 столбца:
sin sin
I sin sin
cos
sin cos
sin
cos sin
cos sin
cos
cos cos
sin
sin sin ( sin2 sin sin cos2 )
cos sin ( sin2 cos cos cos2 )
2 sin2 sin 1 2 cos2 sin 1
2 sin 1 2 sin

5. Сферические координаты

5/16
Формула замены переменных примет вид:
f ( x, y, z)dxdydz
V
2
f
(
cos
sin
;
sin
sin
;
cos
)
sin d d d
V*
Замечание
К сферическим координатам удобно переходить в том случае,
когда область интегрирования V есть шар или его часть, а также,
если подынтегральная функция имеет вид:
f ( x 2 y 2 z2 )

6. Сферические координаты

Вычислить
V
V – шар
dxdydz
3
2 2
1 ( x 2 y 2 z )
x 2 y 2 z2 1
Перейдем к сферическим координатам:
x cos sin ;
Тогда
y sin sin ;
z cos .
dV dxdydz 2 sin d d d
Запишем уравнение сферы – границы области V в сферических
координатах:
x 2 y 2 z2 1
2 cos2 sin2 2 sin2 sin2 2 cos2 1.
6/16

7. Сферические координаты

7/16
Сферические координаты
2 sin2 (cos2 sin2 ) 2 cos2 1
2 sin2 2 cos2 1
2
2
2
sin cos 1
2 1 1
x y z
Уравнение сферы x 2 y 2 z 2 R 2 имеет вид: R
Выражение
2
2
2 в сферических координатах равно
.2
Подынтегральная функция после замены переменных примет вид:
1
3
2 2
1 ( x 2 y 2 z )
1
3
2 2
1 ( )
1
1 3

8. Сферические координаты

8/16
Сферические координаты
2
sin
d d d
3
3
1
2
2
2 2
V
V
1 ( x y z )
z
dxdydz
Новые переменные
изменяются в следующих
пределах:
0 1; 0 2 ; 0
0
x
2
2 sin
0 d 0 d 0 1 3 d
1
2
1 d 3
0 sin d 0 d 0 3 1 3
1
y

9. Сферические координаты

2
2
9/16
1
1
1
d
3
sin d ln( 1 ) d
sin d d
3
0
3
30
1
0
0
0
0
1
3
2 ln 2
ln 2
2
sin d
sin d 0
3 0
3 0
2 ln 2
( cos ) 0
3
2 ln 2
( cos cos 0)
3
4 ln 2
3

10. Приложения тройного интеграла

10/16
Для объемного тела V с переменной плотностью ( x, y , z )
справеливы формулы:
Объем
V dV
V
Масса
m dV
V
Статические моменты
относительно плоскостей
Sxy z dV
(xoy )
V
Syz x dV
( yoz )
Sxz y dV
(xoz)
V
V

11. Приложения тройного интеграла

11/16
Координаты центра
тяжести
Syz
Sxy
Sxz
xc
; yc
; zc
.
m
m
m
Момент инерции
относительно начала
координат
I0 x 2 y 2 z 2 dV
Моменты инерции
относительно плоскостей
I xy z 2 dV
( xoy )
I yz x 2 dV
( yoz)
I xz y dV
( xoz)
V
V
V
2
V

12. Приложения тройного интеграла

Моменты инерции
относительно координатных
осей
(ox )
(oy )
(oz)
I x y 2 z 2 dV
V
12/16
I y x 2 z 2 dV
V
I z x 2 y 2 dV
V

13. Приложения тройного интеграла

Найти массу шара:
x y z 2z
2
2
2
Плотность в каждой точке шара обратно пропорциональна
расстоянию от нее до начала координат с коэффициентом
пропорциональности k = 3.
Приведем уравнение сферы к каноническому виду:
x 2 y 2 z 2 2z
x 2 y 2 z 2 2z 0
x y z 2z 1 1
2
2
2
x 2 y 2 z 1 1
Сфера с центром в точке (0; 0; 1) и радиусом R = 1.
2
13/16

14. Приложения тройного интеграла

14/16
Пусть M(x; y; z) – произвольная точка шара.
Тогда по условию плотность определяется формулой:
( x; y ; z )
Итак:
3
коэффициент пропорциональности
x 2 y 2 z2
расстояние от точки М до
начала координат
m ( x; y; z)dV
V
V
3
x 2 y 2 z2
dV
Перейдем к сферическим координатам. Уравнение сферы примет вид:
x 2 y 2 z 2 2z 2 2 cos
Подынтегральная функция:
3
x y z
2
2
2
2 cos
3
2
3

15. Приложения тройного интеграла

Сферические координаты будут
изменяться в следующих пределах:
z
0 2 ; 0
1
2
2
2 cos
0
0
m d d
0
2
2
;
2 sin d
2
2 cos
2
0
0
0
3 d sin d
0
3
0 2 cos .
y
0
x
15/16
2
2
d 3 d sin d 2
0
2 cos
0

16. Приложения тройного интеграла

2 cos
3 d sin d
2
2
2
0
2
0
2
2
2
6 d sin cos2 d
0
0
2
2
0
0
6 d cos2 d cos 2 d cos3 2
0
0
2
16/16
2
3
3
2 d cos
cos 0 2 0 4
2
0