Skhema_gibeli_i_razmnozhenia

1. Схема гибели и размножения.

2. Схема гибели и размножения

• В теории массового обслуживания есть один очень
полезный класс случайных процессов, который
называется процесс гибели и размножения.
• Название пришло из биологии, где такие процессы
описывают изменение численности популяций животных
или бактерий. Представьте:
• Особи могут размножаться — численность
увеличивается.
• Особи могут погибать — численность уменьшается.
• В таких процессах система может находиться в разных
состояниях (например, «в очереди 0 человек», «1
человек», «2 человека»...). Переходы возможны только
между соседними состояниями:
• Из состояния k можно перейти только в k−1 (гибель) или
в k+1 (размножение).
• Нельзя перепрыгнуть через состояние, например, сразу из
0 в 5.

3. Схема гибели и размножения

• Марковский процесс с дискретными состояниями —
это случайный процесс, в котором система может
находиться в одном из чётко выделенных состояний
(например, 0, 1, 2, …), а переходы между ними происходят
случайно.
• Если такие состояния можно выстроить в цепочку друг за
другом, и переходы разрешены только между
соседними состояниями (из состояния i можно попасть
только в i−1 или i+1), то такой процесс
называют процессом гибели и размножения.
• Откуда пошло название?
Оно пришло из биологии, где численность популяции
меняется на одну особь вверх (рождение) или вниз (гибель).
В нашем случае роль особей могут играть клиенты, заявки,
детали и т.п.

4. Схема гибели и размножения

Для «средних» состояний (не первых и не последних) работают две
стрелки — одна ведёт в состояние с номером на единицу меньше
(влево), другая — в состояние с номером на единицу больше (вправо).
То есть из такого состояния можно как «расти», так и «уменьшаться».
Для крайних состояний (самое первое и самое последнее) есть
только один сосед. Первое состояние связано только со вторым
(только вправо), последнее — только с предпоследним (только влево).
Из первого состояния нельзя уйти в минус, из последнего — в плюс.
Почему именно «гибель и размножение»?
Это просто метафора:
Стрелка вправо (увеличение номера состояния) — это рождение.
Например, пришёл новый клиент — очередь выросла.
Стрелка влево (уменьшение номера) — это гибель. Например,
клиента обслужили — очередь уменьшилась.

5. Схема гибели и размножения

Представьте себе процесс, который описывает, например, количество посетителей в
магазине. Это число может меняться: кто-то зашёл (стало на одного больше), кто-то
вышел (стало на одного меньше).
• Теперь давайте разберём определение по частям:
1. Исследуемый параметр может принимать только целые неотрицательные
значения.
Это значит, что мы считаем количество объектов: 0, 1, 2, 3... Никаких «полутора
клиентов» или «минус одного человека» быть не может. Состояния системы — это
просто числа: сколько сейчас заявок, людей, деталей.
2. Изменения могут происходить в любой момент времени.
Это ключевое отличие от процессов с дискретным временем (где изменения
случаются только в определённые моменты, например, раз в минуту). Здесь время
течёт непрерывно, и событие (например, приход нового клиента) может
случиться когда угодно — сейчас, через секунду, через час. Мы не знаем точно
когда, но знаем, что это может произойти в любой момент.
3. В любой момент времени параметр может либо увеличиться, либо
уменьшиться на единицу.
Система не может перескочить через состояние. Нельзя из состояния «3 клиента»
мгновенно перейти в состояние «5 клиентов» — только через «4». То есть изменения
всегда пошаговые: либо +1, либо –1.

6. Схема гибели и размножения

В общем процессе гибели и размножения есть два крайних варианта:
Процесс чистого размножения — это когда "гибель" полностью отсутствует. То есть
система может только увеличиваться (номер состояния растёт), а уменьшаться не может.
Например, очередь только пополняется новыми клиентами, но никто не уходит
(обслуживания нет). Или популяция только рождается, но не умирает. В математической
модели это значит, что все интенсивности гибели (переходы влево) равны нулю.
Процесс чистой гибели — наоборот, нет "размножения". Система может только
уменьшаться. Например, клиенты только уходят (обслуживаются), а новые не приходят.
Или популяция только вымирает. Здесь все интенсивности размножения (переходы
вправо) равны нулю.
Когда процесс гибели и размножения работает долгое время, он может выйти
на стационарный режим. Это значит, что вероятности нахождения системы в каждом
состоянии перестают меняться со временем и становятся постоянными. Такие
вероятности называются предельными или финальными.
Условие: процесс должен быть эргодическим — это математический термин,
означающий, что система действительно "забудет" своё начальное состояние и придёт к
равновесию. Для этого нужно, чтобы поток событий не был "бесконечным" в одну сторону
(например, чтобы очередь не росла бесконечно).

7. Пример

• В качестве примера решения системы уравнений схемы гибели и
размножения рассмотрим эксплуатацию автомобилей в крупной
транспортной фирме.
• Интенсивность поступления автомобилей на предприятие равна .
Каждый поступивший на предприятие автомобиль списывается через
случайное время . Срок службы автомобиля распределен по
показательному закону с параметром . Процесс эксплуатации
автомобилей является случайным процессом. - число автомобилей
данной марки, находящихся в эксплуатации в момент времени .
• Рассмотрим два случая: 1) нет ограничений на число эксплуатируемых
автомобилей, 2) на предприятии может эксплуатироваться не более
автомобилей.
• Если в начальный момент на предприятии не было ни одного
автомобиля, то решать систему уравнений нужно при начальных
условиях

8. Пример

• Решение системы дифференциальных
уравнений Колмогорова
при произвольном виде функции не может
быть найдено в аналитическом виде. Однако
при постоянных интенсивностях потоков
гибели и размножения и конечном числе
состояний будет существовать стационарный
режим. Система в этом случае является
простейшей эргодической системой(Система, в
которой фазовые средние совпадают с
временными).

9. Вывод формул

• Составим и решим СЛАУ для предельных
вероятностей состояний (а их
существование вытекает из возможности
перехода из каждого состояния в каждое
другое за конечное число шагов)

10.

• Аналогично, записывая уравнения для
предельных вероятностей других состояний,
можно получить следующую систему
уравнений:

11. Вывод формул

• Решим эту систему:
• Обратим внимание на
формулы для Pi :
числители представляют
собой произведения всех
интенсивностей, стоящих у
стрелок, ведущих слева
направо (от начала до
данного состояния Si);
знаменатели –
произведения всех
интенсивностей, стоящих у
стрелок, ведущих справа
налево (из состояния Si до
начала).

12. Вывод формул

• Таким образом, все вероятности состояний Pi
выражены через одну из них (через вероятноять
P0). Подставим эти выражения в нормировочное
условие и получим:

13. Пример

Имеется система из двух одинаковых и работающих параллельно
компьютеров.
Требуется определить надежностные характеристики этой системы.
Решение
В этой системе возможны три состояния:
- оба компьютера исправны;
- один компьютер исправен, другой ремонтируется;
S3- оба компьютера неисправны и ремонтируются. Будем полагать, что
процессы отказов и восстановлений - однородные марковские,
одновременный выход из строя обоих компьютеров, как и одновременное
восстановление двух отказавших компьютеров практически невозможно.
Поскольку компьютеры одинаковые, то с точки зрения надежности,
неважно, какой именно компьютер неисправен в состоянии , важно, что
один.