Задача Эрланга

1. Задача Эрланга

Подготовила: Курбатова Е.А.
Преподаватель: к.т.н., доцент Серегин Н.Г.

2. Рассматриваемые показатели эффективности СМО с отказами

A - абсолютную пропускную способность СМО, т.е.
среднее число заявок, обслуживаемых в единицу
времени;
Q - относительную пропускную способность, т.е.
среднюю долю пришедших заявок,
обслуживаемых системой;
Pотк - вероятность отказа, т.е. того, что заявка
покинет СМО необслуженной;
k - среднее число занятых каналов.

3. Рассмотрим классическую задачу Эрланга

Условие: Имеется n каналов, на которые
поступает поток заявок с
интенсивностью . Поток обслуживаний
имеет интенсивность µ. Найти предельные
вероятности состояний системы и
показатели ее эффективности.

4. Нумерация по числу заявок

Система S (СМО) имеет следующие
состояния (нумеруем их по числу заявок,
находящихся в системе): S0, S1, S2,…Sk,…Sn
где Sk – состояние системы, когда в ней
находится k заявок, то есть
занято k каналов.

5. Граф состояний СМО

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на
рисунке:
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в
соседнее правое с одной и той же интенсивностью . Интенсивность же потока
обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее
левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния.
Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она
может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит обслуживание
либо первый, либо второй канал, то есть суммарная интенсивность их потоков
обслуживаний будет 2µ. Аналогично, суммарный поток обслуживаний,
переводящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2 будет иметь
интенсивность 3µ, то есть может освободиться любой из трех каналов и так
далее.

6. Схема гибели и размножения

Для схемы гибели и размножения получим для предельной
вероятности состояния формулу:
где члены разложения /µ, 2/(2!µ 2),… n/(2!µ n) будут представлять
собой коэффициенты при p0 в выражениях для предельных
вероятностей p1, p2,…pk,… pn.
Величина
называется приведенной интенсивностью потока
заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее
число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной
заявки.

7. Формулы Эрланга

Последние формулы для предельных
вероятностей получили названия формул
Эрланга в честь основателя теории массового
обслуживания.
Вероятность отказа СМО есть предельная
вероятность того, что все n каналов системы
будут заняты, то есть:

8. Относительная пропускная способность

Относительная пропускная способность –
вероятность того, что заявка будет
обслужена:

9. Среднее число занятых каналов

10. Пример решения задачи Эрланга

Условие: Контроль представляет собой
открытую многоканальную систему массового
обслуживания с отказом в обслуживании.
За единицу измерения времени выберем час.
Будем считать, что контроль работает в
установившемся режиме. По условию задачи
n=3 –число каналов обслуживания
=20 изделий в час –интенсивность потока
заявок
µ=60/7=8.571 изделий в час –интенсивность
потока обслуживания

11. Пример решения задачи Эрланга

12. Пример решения задачи Эрланга

13. Пример решения задачи Эрланга

14. Пример решения задачи Эрланга

15. Задача Эрланга

Подготовила: Курбатова Е.А.
Преподаватель: к.т.н., доцент Серегин Н.Г.