открытая лекция ряды

1. ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ИНЖЕНЕРЛІК-ТЕХНОЛОГИЯЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ Биохимиялық инженерия кафедрасы

n
ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ИНЖЕНЕРЛІКТЕХНОЛОГИЯЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
Биохимиялық инженерия кафедрасы
Сандық қатарлар. Қатардың жинақтылығы, оның
қосындысы. Сандық қатарлардың жинақтылық
белгілері..
Лектор: Утегалиева Фазила

2.

Сандық қатарлар. Қатардың қосындысы, оның жинақтылығы.
Таңбалары
ауыспалы қатарлар.
Лейбницбелгілері.
белгісі.
Сандық қатарлардың
жинақтылық
Мүшелерінің таңбалары айнымалы қатарлар.
Абсолютті және шартты жинақтылық.

3. Лекция мақсаты:

Сандық қатар, оның жинақтылығы,
қосындысы ұғымдарын меңгеру. Сандық
қатарлардың жинақтылық белгілерін
қолдана білу.

4.

Сабақ жоспары.
1.Кіріспе
2.Сандық қатар анықтамасы.
3.Қатардың қосындысы, оның жинақтылығы,
4.Жинақтылықтың қажетті белгісі.
5.Салыстыру белгісі.
6.Даламбер белгісі.
7.Кошидың радикалдық белгісі.
8. Кошидың интегралдық белгісі

5.

Кіріспе
Шексіз қатарлар математикалық тәжірибеге дифференциалдық және
интегралдық есептеулермен қатар 17 ғасырда енді. Сол дәуірдің Ньютон,
Лейбниц сынды данышпан ғалымдары өз еңбектерінде біздерге осы заманда
белгілі қатарлардың кейбіреулерін қолдданған. Қатарлар теориясының
формалды түрде даму кезеңі тарихшы-математиктер 18 ғасырға жатқызады және
ол дамуды Тейлор, Эйлер, Маклорен, Даламбер, Лагранж есімдерімен
байланыстырады. Ғалымдардың пайымдауынша ,19 ғасырдың өзінде қатарлар
өз бетінше зерттеу обьекттеріне айналып , соның нәтижесінде үйлесімді, нақты
теорияға айналды.
Мектеп бағдарламасында сіздер математикалық анализдың негіздерімен
таныс болдыңыздар. Дәлдеп айтар болсақ, туындыны, дифференциалдау
ережелері, туынды көмегімен функцияны зертеу сынды дағдыларға иесіздер.
Сонымен қатар, алғашқы функция, анықталған интегралдың кейбір физика,
механика есептерінде қолдануы сіздерге мәлім десе болады.
Қатарлар теориясымен университетік бағдарламада алғашқы танысуларың.
Айта кететін жәйт; шексіз қатар және оның қосындысы шексіз тізбектің және
оның шегін зерттеудің жаңа формасы болып табылады.
Бірақ бұл жаңа көзқарас, өздерің көз жеткізетіндей, шектің бар болуын
анықтауда, және оны есептеуде орасан артықшылықтарға әкеледі..

6.

Анықтама. Шексіз сандық тізбегі берілсін:
u1 , u 2 , u3 ,..., u n ,...
Осы тізбектің мүшелерінен құрылған (1) түріндегі математикалық символ
сандық қатар деп аталады
u1 u2 u3 ... un ... un
(1)
n 1
u1 , u 2 , u3 ... сандары қатардың мүшелері, ал u n – жалпы мүшесі деп аталады
Мынадай қосындыларды қарастырайық
S1 u1 ,
S2
u1 u 2 ,
S 3 u1 u 2 u3 ,
Sn
u1 u 2 u3 u n
Бұл қосындылар қатардың дербес қосындылары делінеді.

7.

Демек, дербес қосындылар мынадай шексіз тізбек құрайды:
S1 , S2 , S3 ,..., Sn ,...
(2)
Егер қатардың дербес қосындылар тізбегі (2) жинақты тізбек болса,онда (1)
қатары жинақты қатар деп аталады, ал дербес қосындылар тізбегінің шегі
қатардың қосындысы делінеді
lim S n S ,
n
Бұл жағдайда мына жазу қолданылады
S un
n 1
Егер (2) тізбегі шексіздікке ұмтылатын болып, немесе шегі жоқ болса, онда
қатар жинақсыз қатар делінеді.
Сандық қатар мысалы
қарастыруға болады.
ретінде
шексіз
a aq aq 2 aq 3 aq n 1
геометриялық
(*)
прогрессияны

8.

Жинақтылықтың қажетті шарты орындалып тұр, бірақ бұл қатар жинақсыз.

9. Егер прогрессия еселігінің абсолюттік шамасы бірден үлкен болса, яғни

Егер прогрессия еселігінің абсолюттік шамасы бірден кіші болса, яғни
қатар жинақты, оның қосындысы
болады S a
1 q
Егер прогрессия еселігінің абсолюттік шамасыnбірден үлкен болса, яғни
q 1
q 1
онда қатар жинақсыз
n
Егер қатардың алғашқы
n мүшесін алып тастасақ , мынадай қатар пайда болады:
un 1 un 2 un k ,(3)
Бұны (1) қатардың қалдық катары,( немесе қалдығы ) деп атайды
1теорема. Егер (1) қатары жинақты болса, онда кез келген (3) түріндегі қалдық қатарлары да жинақты,
керісінше (3) қатарының жинақтылығынан (1) қатарының жинақтылығы туындайды.

10.

Салыстуру белгілері
Мүшелері оң сандар болатын екі қатар берілсін
u u u u
v v v v v
n 1
n 1
n
1
2
n
1
2
3
n
(u n 0) (1)
n
(vn 0) (2)
Егер қандай да n n0 нөмірінен бастап ,
un vn
(3) теңсіздігі орындалып
және (2) қатары жинақты болса,онда (1) қатары да жинақты болады.
Егер қандай да
n n0 нөмірінен бастап, un vn
(4) теңсіздігі орындалып
және (2) қатары жинақсыз болса,онда (1) қатары да жинақсыз болады.
Кей жағдайда салыстырудың төмендегі түрі тиімді болып келеді. Айталық
un
k
мына шек бар делік: lim
n
vn
Онда, егер (2) қатары жинақты және 0 k болса, онда (1) қатары да жинақты;
егер (2) қатары жинақсыз және 0 k болса, онда (1) қатары жинақсыз;

11.

Даламбер белгісі. (Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – француз математигі)
Айталық,
u1 u2 u3 ... un ... un (1)
n 1
қатарының мүшелері оңтаңбалы және кейінгі мүшесінің алдыңғы мүшесіне
қатынасының шегі бар делік:
un 1
q
n u
n
lim
Онда :
(2)
q 1
болса (1) қатары жинақты,
q 1
болса (1) қатары жинақсыз,
n
q 1 болса, онда (1) қатарының жинақтылығына бұл белгі
жауап бере алмайды.
1 7 13
. Бұл арада мынадай амалдар жасалуы тиіс:
n 1 2 3 4
Мысал қарастырайық
1) Берілген бөлшектің алымындағы және бөліміндегі тізбектердің жалпы мүшелерін
жазу;
2) Қатардың (n 1) – ші мүшесін жазу;
3) (n 1) -ші мүшесінің n ші мүшесіне қатынасын есептеп , жауап алу

12.

Коши белгісі (радикалды белгі)
(Огюстен Луи Коши (1789-1857)- француз математигі)
Мүшелері оң таңбалы қатар берілсін
u1 u2 u3 ... un ... un (1)
сонымен бірге мына шек бар делік: lim n un q
n
2
n 1
Онда : q 1 болса (1) қатары жинақты,
q 1 болса (1) қатары жинақсыз,
q 1 болса, онда (1) қатарының жинақтылығына бұл белгі жауап бере алмайды.
Мысал қарастырайық:
2
3
4
2 3 4 5
Бұл арада мынадай амалдар жасалуы тиіс:
3 7 11 15
1) Берілген мүшелерінің заңдылығын анықтап, жалпы мүшесін жазу;
2) Қатардың
n ші мүшесінен n ші дәрежелі түбір шығару ;
3) Шыққан түбірдің
n дағы шегін есептеп , жауап алу

13.

Кошидың интегралдық белгісі
Егер f (x) функциясы x 1 аралығында анықталған, теріс емес мәндерді
қабылдайтын, монотонды кемімелі болса, онда f ( n) қатарымен
n 1
f ( x)dx интегралы екеуі бірдей жинақты не жинақсыз.
Жинақтылықтың интегралдық белгісі f ( n) қатарының жинақты не жинақсыз
1
n 1
екендігін тексерумен бірге жинақты қатар үшін оның жинақтылығының
жылдамдығын бағалауға, ал жинақсыз қатар үшін оның дербес қосындыларының
өсу жылдамдығын бағалауға мүмкіндік береді.
а) Егер
жинақты болса, онда
(n)
fқатары
n 1
rn f ( x )dx
(1)
n
б) Егер f ( n ) қатары жинақсыз болса, онда оның дербес қосындылары үшін
мына
n 1
n 1
f (k ) f ( x)dx С , n 1, 2,3, ,(2)
n 1
n
теңдік орын алады.
1
Кошидың интегралдық белгісімен Дирихле қатары жинақтылыққа тексеріледі
1
n 1 n

14. Назарларыңызға рахмет!