Поверхностный интеграл 2 рода

1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Поверхностные интегралы
II рода
Теория, свойства и приложения

2.

ГЛАВА 1
Ориентированность
поверхности
Двухсторонние и односторонние поверхности. Понятие нормали и
критерии ориентируемости

3.

Понятие ориентированной поверхности
Двухсторонняя поверхность
Нормаль к поверхности
Определение: Поверхность называется двухсторонней , если при
В каждой точке гладкой поверхности S можно определить вектор
обходе любого не пересекающего границу контура направление
нормали n⃗, перпендикулярный касательной плоскости.
нормали в начальной точке не меняется на противоположное.
Примеры: сфера, тор, плоскость, эллипсоид
Односторонняя поверхность
Определение: Поверхность называется односторонней , если
существует контур, при обходе которого направление нормали
меняется на противоположное.
Важно: Для двухсторонней поверхности можно выбрать одну из
двух сторон (ориентацию), задав направление нормали.
Примеры: лента Мёбиуса, бутылка Клейна
Ориентированная поверхность
Двухсторонняя поверхность с установленным положительным
направлением обхода границы называется ориентированной .

4.

Нормаль к поверхности и её свойства
Свойства нормали
Нормаль перпендикулярна касательной плоскости
Направление нормали определяет ориентацию
Вектор нормали для явно заданной поверхности
Для замкнутой поверхности выделяют внешнюю и
внутреннюю нормали
Пусть поверхность S явно задана уравнением z = f(x, y), где f непрерывно
дифференцируема.
Угол γ с осью Oz определяет знак в формулах
Вектор нормали:
n⃗ = (-∂f/∂x, -∂f/∂y, 1)
Положительная ориентация
Положительным направлением обхода контура L
считается такое, при котором поверхность остаётся
Единичная нормаль:
слева при движении по выбранной стороне.
n₀ = n / |n|
.
Направляющие косинусы и их главное свойство
cos α
cos β
cos γ
-z'ₓ/√(1+z'ₓ²+z'ᵧ²)
-z'ᵧ/√(1+z'ₓ²+z'ᵧ²)
1/√(1+z'ₓ²+z'ᵧ²)

5.

Критерий ориентируемости поверхности
Математический критерий
Неориентируемые поверхности
Теорема: Поверхность S является ориентируемой тогда и только тогда,
На неориентируемых поверхностях невозможно построить непрерывное
когда на ней существует непрерывное поле единичных нормалей.
поле нормалей.
Формально:
Почему?
∃ n⃗: S → ℝ³ непрерывное отображение, такое что |n⃗(M)| = 1 и n⃗(M) ⊥
При обходе определённого контура нормаль меняет направление на
TₘS для всех M ∈ S
противоположное, что нарушает непрерывность.
Примеры ориентируемых поверхностей
1
Сфера
Внешняя и внутренняя стороны
Практическое следствие
Для поверхностного интеграла II рода критически важна ориентируемость
поверхности, так как:
Интеграл зависит от выбора стороны (знак меняется)
2
Тор(бублик)
3
Плоскость
Две стороны поверхности
Верхняя и нижняя стороны
Для неориентируемых поверхностей интеграл II рода не определён
Вывод:
Поверхностный интеграл II рода определён только для ориентируемых
(двухсторонних) поверхностей.

6.

ГЛАВА 2
Лента Мёбиуса
и бутылка Клейна
Классические примеры неориентируемых поверхностей в топологии

7.

Лента Мёбиуса
Односторонность
Лента Мёбиуса имеет только одну сторону.
Это её фундаментальное свойство.
Эксперимент:
Проведите линию по центру ленты — вы
вернётесь в начальную точку, пройдя обе
"стороны"
Неориентируемость
Один край
У ленты Мёбиуса только одна граница
(край), а не две, как у обычного кольца.
Длина края равна удвоенной длине исходной
полоски
Невозможно непрерывно определить поле
нормалей на всей поверхности.
Почему?
При обходе центральной линии нормаль меняет
направление на противоположное
Следствие: Поверхностный интеграл II
рода не определён для ленты Мёбиуса
и.

8.

Бутылка Клейна: определение и свойства
Определение
Бутылка Клейна — это неориентируемая замкнутая поверхность.
Ключевые свойства:
• Не имеет внутренней и внешней сторон
• Не имеет края (замкнутая поверхность)
• Неориентируема
Визуализация бутылки Клейна в 3D
Конструкция
Топологические характеристики
Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по их
краям.
Характеристика Эйлера
Вложение в пространство
Род поверхности
Бутылка Клейна не может быть вложена в трёхмерное евклидово пространство
без самопересечения. Для её реализации требуется четырёхмерное
пространство!
χ =V-E+F= 0,где V-вершины,E-ребра,F-грани
при триангуляции поверхности
g = 2, так как ее можно представить как сумму двух
проективных плоскостей

9.

ГЛАВА 3
Понятие
поверхностного интеграла
II рода
Определение, геометрический и физический смысл

10.

Определение поверхностного интеграла II рода
Построение интегральной суммы
Предельный переход
Пусть S — ориентированная гладкая поверхность, R(x, y, z) — непрерывная
Определение: Если при стремлении максимального диаметра разбиения к нулю (d
функция на S.
= max{dᵢ} → 0) интегральные суммы имеют конечный предел, не зависящий от
способа разбиения и выбора точек, то этот предел называется поверхностным
1. Разбиение поверхности:
интегралом второго рода .
S = S₁ ∪ S₂ ∪ ... ∪ Sₙ с диаметрами d₁, d₂, ..., dₙ
Обозначение:
∬ₛ R(x,y,z) dx dy
2. Выбор точек:
Mᵢ(xᵢ, yᵢ, zᵢ) ∈ Sᵢ для каждого i
3. Площади проекций:
Δσᵢˣʸ — проекция Sᵢ на плоскость Oxy. Если нормаль n в этой точке образует острый угол с
осью то проекция берется со знаком “+”, если тупой, то со знаком “-“
Общий вид интеграла II рода
Полный поверхностный интеграл II рода включает три компоненты:
∬ₛ P dy dz + Q dz dx + R dx dy
Интегральная сумма
где P, Q, R — функции от x, y, z
Сумма второго рода:
Σₙ = Σ R(xᵢ, yᵢ, zᵢ) · Δσᵢˣʸ
i = 1, 2, ..., n
Условие существования:
Если P, Q, R непрерывны на гладкой ориентированной поверхности S, то интеграл II
рода существует.

11.

12.

Геометрический и физический смысл
Геометрический смысл
Физический смысл: поток
Поверхностный интеграл II рода представляет собой алгебраическую
Поверхностный интеграл II рода имеет фундаментальное значение в
сумму объёмов цилиндров, построенных на проекциях элементов
физике как поток векторного поля через поверхность.
поверхности с учётом знака.
Поток векторного поля a⃗ = (P, Q, R):
Для интеграла ∬ₛ R dx dy:
Π = ∬ₛ (a⃗, n⃗) dS
• Положительный вклад, если нормаль образует острый угол с
= ∬ₛ P dy dz + Q dz dx + R dx dy
осью Oz
• Отрицательный вклад, если угол тупой
• Нуль, если поверхность параллельна оси Oz
Поток жидкости:
Количество жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени
Интерпретация: "Объём" между поверхностью и её проекцией с
учётом ориентации
Тепловой поток:
Количество тепла, переносимого через поверхность
Ключевое понимание
Поверхностный интеграл II рода — это инструмент для измерения "прохождения" векторного поля через поверхность

13.

Существование поверхностного интеграла II рода
Теорема о существовании
Примеры функций
Теорема: Пусть S — гладкая ориентированная поверхность , а функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)
Пример 1:
непрерывны на S. Тогда поверхностный интеграл II рода
P = x, Q = y, R = z
∬ₛ P dy dz + Q dz dx + R dx dy
Непрерывны всюду
существует и не зависит от способа разбиения поверхности и выбора точек в элементах
Пример 2:
разбиения.
P = x²+y², Q = e^z, R = sin(xy)
Непрерывны всюду
Условия теоремы:
1. Поверхность S должна быть ориентируемой (двухсторонней)
2. Поверхность S должна быть кусочно-гладкой
Пример 3 (особый):
P = 1/√(x²+y²)
Разрывна в начале координат
3. Функции P, Q, R должны быть непрерывны на S
Связь с интегралом I рода
Почему важна ориентируемость?
Интеграл II рода существует тогда и только тогда, когда
✓ Двухсторонняя
✗ Односторонняя
Можно выбрать сторону, знак интеграла определён
Невозможно выбрать сторону, интеграл не
определён
существует соответствующий интеграл I рода (см. формулу
связи).

14.

ГЛАВА 4
Свойства
поверхностного интеграла
II рода
Линейность, аддитивность, оценка и другие свойства

15.

Линейность поверхностного интеграла
Свойство 1: аддитивность по функции
Общее свойство линейности
Комбинируя оба свойства, получаем общее свойство линейности:
Утверждение:
Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций.
Для любых констант λ, μ:
∬ₛ (λP₁ + μP₂) dy dz = λ∬ₛ P₁ dy dz + μ∬ₛ P₂ dy dz
Формула:
∬ₛ (P₁ + P₂) dy dz = ∬ₛ P₁ dy dz + ∬ₛ P₂ dy dz
Доказательство:
Следует из линейности интегральных сумм и предельного перехода
Аналогично для Q и R, а также для полного интеграла
Важность:
Позволяет разбивать сложные интегралы на более простые
Свойство 2: однородность
Утверждение:
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Пример
Задача:
Формула:
Вычислить ∬ₛ (3x + 2y) dx dy
∬ₛ λP dy dz = λ ∬ₛ P dy dz
где λ = const
Решение:
= 3∬ₛ x dx dy + 2∬ₛ y dx dy

16.

Аддитивность по поверхности
Формулировка свойства
Применение аддитивности
Теорема: Если поверхность S разбита на конечное число частей S₁, S₂, ..., Sₙ, не имеющих
Случай 1: сложная поверхность
общих внутренних точек, то
Разбиение на простые элементы (плоскости, цилиндры,
сферы)
Формула аддитивности:
∬ₛ P dy dz = ∬ₛ₁ P dy dz + ∬ₛ₂ P dy dz + ... + ∬ₛₙ P dy dz
Случай 2: разрывные функции
Разбиение на области, где функция непрерывна
Важное условие: Все части Sᵢ должны иметь ту же ориентацию, что и S
Случай 3: кусочно-гладкие поверхности
Разбиение на гладкие куски
Геометрическая интерпретация
Поток через S
Общий поток
Равен сумме потоков через части
Сохраняется при разбиении
Пример
Поверхность:
S = S₁ ∪ S₂ — полная сфера (верхняя и нижняя полусферы)
Тогда:
∬ₛF*dS = ∬ₛ₁F*dS + ∬ₛ₂F*dS

17.

Оценка и теорема о среднем
Оценка модуля интеграла
Теорема о среднем
Теорема (оценка):
Теорема:
Если |R(x,y,z)| ≤ M на поверхности S, то
Если R(x,y,z) непрерывна на связной поверхности S, то существует точка M₀ ∈ S
такая, что:
Формула оценки:
|∬ₛ R dx dy| ≤ M · Sₓᵧ
Формула:
где Sₓᵧ — площадь проекции S на плоскость Oxy, R- функция, M-
∬ₛ R dx dy = R(M₀) · Sₓᵧ
число(максимальное значение)
Доказательство: Следует из свойств модуля и определения интеграла
Значение R(M₀):
называется средним значением функции R по поверхности S (с весом проекции)
Следствия оценки
1. Если R = 0, то интеграл = 0
Применение теоремы
2. Если Sₓᵧ = 0, то интеграл = 0
Теоретическое:
(поверхность параллельна оси Oz)
Доказательство других теорем, качественный анализ
3. Оценка полного интеграла:
Практическое:
|∬ₛ P dy dz + Q dz dx + R dx dy| ≤ M₁Sᵧᵤ + M₂Sₓᵤ + M₃Sₓᵧ
Оценка интегралов без точного вычисления

18.

Смена знака при изменении ориентации
Формулировка свойства
Примеры смены знака
Теорема: При переходе к противоположной стороне ориентированной
Пример 1: верхняя и нижняя стороны
поверхности поверхностный интеграл II рода меняет знак .
Для поверхности z = f(x,y):
∬верх R dx dy = -∬низ R dx dy
Формула:
∬ₛ⁺ P dy dz = -∬ₛ⁻ P dy dz
где S⁺ и S⁻ — противоположные стороны поверхности
Пример 2: полная сфера
Внешняя нормаль и внутренняя нормаль:
∬внеш = -∬внутр
Обоснование:
При смене ориентации нормаль n⃗ меняет направление на противоположное,
поэтому направляющие косинусы cos α, cos β, cos γ меняют знак
Пример 3: цилиндр
Боковая поверхность цилиндра имеет две ориентации
Почему это важно?
Физический смысл
Поток в противоположном направлении имеет противоположный знак
Замкнутые поверхности
Для замкнутых поверхностей выделяют внешнюю и внутреннюю стороны
Соглашение о нормалях
Замкнутая поверхность: внешняя нормаль — положительная
Поверхность z = f(x,y): верхняя сторона (cos γ > 0) — положительная
Граница области: нормаль наружу — положительная

19.

ГЛАВА 5
Связь интегралов
I и II рода
Формула перехода между типами поверхностных интегралов

20.

Формула связи поверхностных интегралов
Основная формула
Вывод формулы
Теорема: Пусть S — ориентированная гладкая поверхность с единичной нормалью n⃗
Шаг 1:
= (cos α, cos β, cos γ). Тогда:
Элемент площади dS проецируется на координатные
плоскости
Формула связи:
Шаг 2:
∬ₛ P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ∬ₛ (P cos α + Q cos β + R cos γ) dS
Здесь: левая часть — интеграл II рода, правая часть — интеграл I рода
dxdy(площадь поверхности) = dS · |cos γ|
Шаг 3:
Знак определяется ориентацией (знак косинуса)
Компоненты формулы
Векторная форма
dy dz
dz dx
dx dy
= cos α · dS
= cos β · dS
= cos γ · dS
Пусть a⃗ = (P, Q, R):
∬ₛ (a⃗, n⃗) dS = ∬ₛ a⃗ · dS⃗
где dS⃗ = n⃗ · dS — вектор элемента площади

21.

Применение формулы связи
Переход II → I рода
Формула связи позволяет свести вычисление интеграла II рода к вычислению
интеграла I рода, который часто проще.
Пример применения
Задача:
Вычислить ∬ₛ x dy dz + y dz dx + z dx dy по сфере x² + y² + z² = R² (внешняя
Алгоритм:
сторона)
1. Найти единичную нормаль n⃗ к поверхности
2. Вычислить направляющие косинусы cos α, cos β, cos γ
Решение:
3. Подставить в формулу связи
Для сферы: cos α = x/R, cos β = y/R, cos γ = z/R
4. Вычислить интеграл I рода
∬ₛ = ∬ₛ (x²/R + y²/R + z²/R) dS = (1/R) ∬ₛ R² dS = R · 4πR² = 4πR³
Преимущество: Интеграл I рода не зависит от ориентации
Обратный переход I → II рода
Иногда полезен обратный переход — от интеграла I рода к интегралу II рода.
Применение:
Важные следствия
Существование
Интеграл II рода существует, если существует интеграл I рода
• Физические задачи (потоки)
• Теоремы Остроградского-Гаусса и Стокса
• Упрощение вычислений
Свойства
Свойства интеграла II рода следуют из свойств интеграла I рода

22.

ГЛАВА 6
Вычисление
поверхностного интеграла
II рода
Методы и примеры вычислений

23.

Сведение к двойному интегралу
Формула вычисления
Алгоритм вычисления
Пусть поверхность S задана явно: z = f(x, y), где (x, y) ∈ D — проекция S на плоскость Oxy.
Шаг 1:
Определить проекцию D поверхности S на соответствующую
Формула:
координатную плоскость
∬ₛ R(x,y,z) dx dy = ±∬ᴅ R(x,y,f(x,y)) dx dy
Шаг 2:
Выразить функцию через переменные проекции (подставить z
Выбор знака:
= f(x,y))
• + (верхняя сторона): угол γ острый, cos γ > 0
• - (нижняя сторона): угол γ тупой, cos γ < 0
Шаг 3:
Определить знак в зависимости от ориентации
Шаг 4:
Аналогичные формулы
Вычислить двойной интеграл по области D
∬ₛ P dy dz
∬ₛ Q dz dx
= ±∬ᴅ P(x(y,z),y,z) dy dz
= ±∬ᴅ Q(x,y(x,z),z) dz dx
Частные случаи
Цилиндрическая поверхность:
Если образующие параллельны Oz, то ∬ₛ R dx dy = 0
Плоскость:
Проекция — плоская область, cos γ = const

24.

Примеры вычисления интегралов
Пример 2: цилиндр
Пример 1: полусфера
Задача:
Задача:
Вычислить ∬ₛ z dx dy по верхней стороне полусферы x² + y² + z² =
Вычислить ∬ₛ x dy dz по внешней стороне цилиндра x² + y² = R², 0 ≤
R², z ≥ 0
z≤H
Решение:
Решение:
1) Разбиение поверхности
1) Описание поверхности и проекции: z=