Криволинейные интегралы 2 рода

1.

Рассмотрим
произвольную
функцию
f(x,y),
заданную вдоль непрерывной плоской кривой АВ.
Разобьем эту кривую на элементарные дуги AiAi+1 и
соединим точки Ai ломаной.
На каждом участке ломаной выберем точку Mi(ξi,
ηi)и вычислим значение функции в этой точке:
f ( i , i ) f (M i )

2.

y
B
yi 1
Mi
i
yi
A
Ai 1
Ai
xi i xi 1
x

3.

Сумму вида
n
f ( , ) x
i 1
i
i
i
где Δxi =xi+1-xi, называют
интегральной суммой для функции
f(x,y) по кривой АВ.

4.

Если
существует
конечный
предел
интегральной суммы при стремлении к
нулю наибольшей из всех дуг μ, не
зависящий от способа разбиения кривой
АВ и выбора точек Mi, то он называется
криволинейным интегралом второго рода
от функции f(x,у) по кривой АВ.
n
lim
max 0
f ( , ) x
i 1
i
i
i
f ( x, y)dx
AB

5.

Аналогично можно определить интегральную сумму
n
f ( , ) y
i
i 1
i
i
Тогда
n
lim
max 0
f ( , ) y
i 1
i
i
i
f ( x, y)dy
AB

6.

Если вдоль кривой АВ определены две
функции P(x,y) и Q(x,y) и существуют
интегралы
P( x, y)dx
и
AB
Q( x, y)dy
AB
то их сумму называют криволинейным
интегралом общего вида:
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y)dx Q( x, y)dy
AB
AB
AB

7.

Сравним криволинейные интегралы 1 и 2 рода.
У криволинейных интегралов 1 рода в интегральной
сумме стоит длина участка разбиения дуги:
i Ai Ai 1
У интегралов 2 рода в интегральной сумме стоит
проекция этого участка на ось х или у:
xi
или
yi
Проекция зависит от направления кривой и меняет
знак при смене направления:

8.

f ( x, y)dx f ( x, y)dx
AB
BA
f ( x, y)dy f ( x, y)dy
AB
BA

9.

Понятие
криволинейного
интеграла
обобщить на пространственную кривую:
можно
f ( x, y, z)dx
f ( x, y, z)dy f ( x, y, z)dz
AB
AB
AB
Тогда интеграл общего вида будет:
P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
AB
P( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz
AB
AB
AB