Лекция 5 ТПР 2026

1.

Филиал ФГБОУ ВО
«Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске
Теория принятия решений
Доцент кафедры ВТ
кандидат технических наук, доцент
И.А. Денисова
Смоленск
Смоленск
– 2026
2011

2.

Лекция № 5
Многокритериальные задачи
принятия решений

3.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Многокритериальные задачи (МКЗ) принятия решений
2. Методы решения МКЗ
3. Методы экспертных оценок

4.

1 вопрос
Многокритериальные задачи (МКЗ)
принятия решений

5.

Часто при принятии решения возникает необходимость учитывать
существование более одного показателя эффективности, оптимальные
решения по которым не совпадают – задачи многокритериального
математического программирования или МКЗ.
Многокритериальность может быть обусловлена одной из трех причин:
1) цель не может быть адекватно представлена (закрыта) одним
критерием;
2) принимающий решения (ЛПР) ставит более одной цели, которые
связаны общими активными средствами;
3) решения принимаются группой лиц с несовпадающими интересами.
5

6.

Математическая модель МКЗ
Критерии оптимальности:
f 1(x1, x2,...,xn)→ opt (min/max)
f 2(x1, x2,...,xn)→ opt (min/max)
………………………………………
f k(x1, x2,...,xn)→ opt (min/max)
............... Ограничения задачи, заданные
в виде системы уравнений
либо неравенств
..........
.....
Х D
где D – множество допустимых решений.
6

7.

Существенное отличие МКЗ от традиционной однокритериальной
состоит в понятии оптимальности.
В однокритериальной задаче под оптимальным понимается решение,
обеспечивающее оптимальное значение критерия.
При многих критериях часто увеличение одних критериев приводит
к уменьшению других и поэтому понятие оптимальности требует
принципиальных уточнений.
Очевидно, что без дополнительной информации о предпочтениях
ЛПР бессмысленно говорить об оптимальном решении и тем более
формализованно искать его.
7

8.

Математическая модель МКЗ с двумя критериями
Критерии оптимальности:
y1=f 1(x1, x2,...,xn)→ max
y2=f 2(x1, x2,...,xn)→ max
задачи, заданные
............... Ограничения
в виде системы уравнений
либо неравенств
...............
Х D
где D – множество допустимых решений.
В результате решения получают множество
Y G
.
8

9.

Вид критериального пространства G
Альтернатива 2 называется
доминирующей по отношению к
альтернативе 1, если по всем
критериям оценки альтернативы 2
не хуже, чем оценки альтернативы 1,
а хотя бы по одному критерию
оценка альтернативы 2 лучше, чем
оценка альтернативы 1.
Альтернатива 1 определяется как
доминируемая.
Граница AB множества G содержит точки, которые являются недоминируемыми
(неулучшаемыми). Одновременно они являются несравнимыми между собой (например, в
точках 6 и 7), поэтому отдать предпочтение одному из них без ЛПР невозможно.
Такие точки (граница AB множества G ) называют эффективными или оптимальными
по Парето. Их совокупность образует множество Парето (паретовское множество).
9

10.

Вид критериального пространства G
Наименование произошло от фамилии
итальянского экономиста и социолога
В.Парето (1848-1923), который проводил
математические исследования процесса
рыночного обмена товаров.
Очевидно, что оптимальное решение следует искать только среди
эффективных точек. При групповом принятии решений множество эффективных точек
называют также переговрным, подчеркивая тем самым, что только их и нужно
рассматривать в качестве претендентов на компромиссное решение.
Эффективные альтернативы не сравнимы между собой на основе
критериальных оценок, и лучшая из них может быть выбрана только с учетом
дополнительной информации, отражающей предпочтения ЛПР.
10

11.

Возможные виды критериального пространства G
.
11

12.

Общая схема решения МКЗ:
1. Предварительный этап: попарное сравнение альтернатив и
.
исключение
доминируемых.
2. Основной этап: использовать методы решения МКЗ. Например:
выбора главного критерия и перевод остальных критериев в
ограничения;
аддитивной либо мультипликативной сверток;
уступок;
интерактивные и др.
12

13.

Пример МКЗ
Максимизировать два критерия
при условиях
f1(X)=-2x1+x2
f2(X)= 4x1- x2
x1+x2 ≤ 8
-x1+x2 ≤ 2
0 ≤x1≤6
0 ≤ x2≤ 4
Выполнить графическое построение множеств D и G.
13

14.

Пример МКЗ. Предварительный этап
Графическое построение множеств D и G:
Рис. 10.11
14

15.

2 вопрос
Методы решения МКЗ

16.

1. Метод аддитивной (линейной) свертки
Если. ЛПР может не только ранжировать критерии, но и дать сравнительную
количественную оценку значимости (важности) критериев, решение многокритериальной
задачи сводится к обычной задаче с одним критерием, в качестве которого берется
обобщенный показатель вида
m
F ( X) Ci f i ( X)
i 1
где Сi
- положительные числа, отражающие веса критериев в структуре
предпочтений ЛПР. При групповом ЛПР Ci находятся по индивидуальным весам одним из
методов обработки экспертных оценок. Обычно значения Сi нормируются так, чтобы
m
C = 1.
i 1
i
16

17.

1. Метод аддитивной (линейной) свертки
.
Данный
метод решения многокритериальной задачи имеет существенные
недостатки.
Во-первых, большие затруднения возникают при определении весов. Одно дело
– расположить критерии по важности, и совсем другое – оценить, на сколько или во
сколько один критерий важнее другого.
Во-вторых, неизвестна связь между значениями весов и значениями критериев.
Очень часто эта зависимость оказывается существенно нелинейной.
В-третьих, целесообразно все критерии приводить к одним единицам измерения.
С этой целью лучше представлять критерии в относительных единицах, беря за
базовое максимальное или желаемое значение.
Достоинство метода – в стандартности задачи, к которой сводится исходная
многокритериальная проблема.
17

18.

1. Результаты решения методом главного критерия и линейной свертки
.
№
1
2
3
Обобщенный
критерий
f1(X) max
f2 (X) max
Ci fi (X) max,
C1 C2
1
2
Рис. 10.11
A
K
[K,E]
Решение
Х1
Х2
Y1
0
2
2
6
0
-12
6
Y2
-2
24
[0,2] [-12,-10] [24,22]
18

19.

2.1 Метод уступок (с заданными уступками)
Имеется множество альтернатив X ={x1,x2 ,...,xm} , оцениваемых по набору критериев
. f } . Нумерация критериев соответствует их порядку важности.
F = { f1 , f2 ,...,
m
Используя метод последовательных уступок, для заданных значений ∆j выбрать
наиболее предпочтительную альтернативу.
Предприятию требуется приобрести датчики для использования в составе
автоматизированной системы управления технологическим процессом механообработки.
Имеется возможность приобрести датчики одного из шести типов, для оценки которых
используются следующие критерии:
f1→ min – стоимость, тыс. руб.;
f2→ max – точность, количество отсчетов;
f3→ max – наработка на отказ, тыс. ч.;
f4→ max – условия технического обслуживания, баллы.
Величины уступок: ∆1 = 500 руб.; ∆2 = 1500 отсчетов; ∆3 = 500 часов.
xi f1(xi) f2(xi) f3(xi) f4(xi)
x1 1,6
3000 3,2
3
x2 1,6
2500 3,5
3
x3 2
5000 4
5
x4 2,5
5000 6,5
5
x5 2,1
4000 5
3
19
x6 1,8
3500 4,5
4

20.

2.2 Метод уступок (в режиме диалога с ЛПР)
Основная идея метода заключается в поэтапном исключении доминируемых
.
альтернатив.
Для установления доминирования между конкурирующими по двум
критериям альтернатив используются коэффициенты замещения критериев.
1. Выделение и исключение доминируемых вариантов из исходного
множества.
Выделен наиболее
предпочтительный вариант?
да
конец
нет
2. Задание ЛПР коэффициента замещения для следующей пары
элементов.
3. Выделение и исключение доминируемых вариантов с
использованием всех заданных коэффициентов замещения.
20

21.

2.2 Метод уступок (в режиме диалога с ЛПР)
Пусть стоит задача выбора варианта квартиры по трём критериям: f1 – цена (млн.
.
руб.), f2 – площадь (м2), f3 – расположение дома от метро (минут ходьбы до метро).
xi
f1(xi) → min
f2(xi) → max
f3(xi) → min
x1
24
27
8
x2
30
30
10
x3
34
32
16
x4
32
32
12
x5
26
30
16
21

22.

2.2 Метод уступок (в режиме диалога с ЛПР)
На первом этапе выделим доминируемые варианты. Среди пяти исходных x4
.
доминирует x3, поэтому вариант 3 исключаем. Оставшиеся варианты конкурируют
между собой (оптимальны по Парето).
На втором этапе зададим коэффициент замещения второго критерия первым. В
данном примере ЛПР должно ответить на вопрос: сколько млн. руб. оно готово
заплатить за каждый дополнительный квадратный метр площади. Пусть
Z2,1=1 млн.руб./м2
По критерию f1 вариант 1 предпочтительнее на 6 млн. руб. , а по критерию f2 вариант
2 предпочтительнее на (30-27)*1= 3 млн. руб.
Таким образом, по критериям f 1 и f 2 вариант х1 предпочтительнее х2, так как
k12 k11 (k 22 k 21 ) Z 2,1 0
Поскольку по критерию f 3 вариант х1 также предпочтительнее х2, то х1 доминирует
х2 и значит х2 должен быть исключен.
Затем сравним х1 и х4:
k14 k11 (k24 k21 ) Z 2,1 32 24 (32 27)1 0
С учетом значений f 3 вариант х1 доминирует х4.
22

23.

2.2 Метод уступок (в режиме диалога с ЛПР)
Затем сравним х1 и х5:
.
k15 k11 (k25 k21 ) Z 2,1 26 24 (30 27)1 1 0.
Значит, х5 предпочтительнее х1 по критериям f1 и f2, а с учётом f3 получим, что эти
два варианта конкурируют между собой.
После исключения доминируемых вариантов на основе коэффициента замещения
Z2,1 остались два варианта х1 и х5.
Теперь нужен коэффициент замещения третьего критерия первым. Пусть ЛПР
готово уступить за каждую минуту (расстояние до метро) 100 тыс.руб.т
Z3,1=-0,1 млн.руб./мин
Затем снова сравним х1 и х5
.е.
Значит, х5 предпочтительнее х1.
(16 - 8)0,1= - 0,2 млн.руб.
23

24.

3 вопрос
Методы экспертных оценок

25.

Методы экспертных оценок – это методы организации работы со
специалистами-экспертами и обработки мнений экспертов.
25

26.

Методы экспертных оценок
.
1. Метод средних арифметических рангов
2. Метод медианных рангов
26

27.

Методы экспертных оценок
Метод средних арифметических рангов
1. Вычислить средние арифметические рангов проектов
2. Упорядочить проекты по возрастанию средних
арифметических рангов
Метод медианных рангов
1. Вычислить медианы проектов
2. Упорядочить проекты по возрастанию медиан
27

28.

Пример
Шести экспертам предложено оценить пять
проектов (a1-a5). Результаты оценки
представлены в таблице:
№
Мнение эксперта
эксперта
1
a3,
a4,
a1,
a5,
a2
2
a4,
a1,
a3,
a5,
a2
3
a1,
a5,
a2,
a4,
a3
4
a1,
a4,
a3,
a5,
a2
5
a4,
a3,
a1,
a2,
a5
6
a2,
a4,
a5,
a1,
a3
28

29.

Пример
Преобразование исходных данных
№ эксперта
a1
a2
a3
a4
a5
1
3
5
1
2
4
2
2
5
3
1
4
3
1
3
5
4
2
4
1
5
3
2
4
5
3
4
2
1
5
6
4
1
5
2
3
29

30.

Пример. 1. Метод средних арифметических рангов
№ эксперта
a1
a2
a3
a4
a5
1
3
5
1
2
4
2
2
5
3
1
4
3
1
3
5
4
2
4
1
5
3
2
4
5
3
4
2
1
5
6
4
1
5
2
3
Сумма рангов
14
23
19
12
22
Среднее арифметическое рангов
2,33
3,83
3,167
2
3,67
Итоговый ранг по среднему
арифметическому
2
5
3
1
4
Итоговая ранжировка
a4,
a1, a3, a5, a2
30

31.

Пример. 2. Метод медианных рангов
1. Расположить ранги, выставленные экспертами
проекту в порядке возрастания
№ эксперта
а1
1
2
3
4
5
6
3
2
1
1
3
4
2. Выбрать ранг, находящийся на месте,
разделяющем выборку пополам.
(Если число рангов – четное, то взять
среднее арифметическое рангов,
находящихся в середине упорядоченной
выборки)
Mедиана проекта а1 равна 2,5
31

32.

Пример. 2. Метод медианных рангов
1. Расположить ранги, выставленные экспертами
проекту в порядке возрастания
№ эксперта
а2
1
2
3
4
5
6
5
5
3
5
4
1
2. Выбрать ранг, находящийся на месте,
разделяющем выборку пополам.
(Если число рангов – четное, то взять
среднее арифметическое рангов,
находящихся в середине упорядоченной
выборки)
Mедиана проекта а2 равна 4,5
32

33.

Пример. 2. Метод медианных рангов
№ эксперта
a1
a2
a3
a4
a5
1
1
1
1
1
2
2
1
3
2
1
3
3
2
4
3
2
4
4
3
5
3
2
4
5
3
5
5
2
4
6
4
5
5
4
5
Медиана проекта
2,5
4,5
3
2
4
Итоговый ранг по медиане
2
5
3
1
4
Итоговая ранжировка
a4,
a1, a3, a5, a2
33

34.

ЗАДАНИЕ НА ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Задание 1. Максимизировать
f1(X)= -x1+ 2x2,
f2(X) = 2x1 + x2,
f3(X)= x1 - 3х2
при условиях
х1 + x2 ≤ 6
1≤ x1 ≤ 3
1≤ x2 ≤ 4
методами
•главного критерия;
•линейной свертки с равными весами;
•последовательных уступок, если величины уступок: ∆1 = 3; ∆2 = 5/3.
34

35.

ЗАДАНИЕ НА ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Задание 2. Правительство области назначило комиссию по выбору места для аэропорта, которая
приступила к работе. Были обследованы различные площадки около города, где постройка аэропорта
нужного размера представлялась возможной. После многочисленных дискуссий комиссия определила
три основных критерия для оценки вариантов расположения аэропорта.
1. Стоимость постройки. Желательно построить аэропорт с заданной пропускной
способностью за наименьшую возможную цену.
2. Расстояние от города. Желательно, чтобы поездка пассажиров от аэропорта в город и
обратно занимала наименьшее время.
3. Минимальное шумовое воздействие. Количество людей, подвергающихся нежелательным
шумовым воздействиям, должно быть, по возможности, минимальным.
В результате исследования получены четыре альтернативы со следующими оценками:
А ( 180 млн, 70 мин., 10 тыс.);
В ( 170 млн, 40 мин., 15 тыс.);
С ( 160 млн, 55 мин., 20 тыс.);
D ( 150 млн, 50 мин., 25 тыс.).
мин.
Решить методом последовательных уступок, если величины уступок: ∆1 = 20 млн. руб.; ∆2 = 10
35

36.

ЗАДАНИЕ НА ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Задание 3. Упорядочить пять альтернатив, используя:
метод средних арифметических рангов;
метод медианных рангов.
№ эксперта
Мнение эксперта
1
А1
А5
А2
А4
А3
2
А4
А1
А3
А2
А5
3
А3
А1
А4
А5
А2
4
А2
А4
А5
А1
А3
5
А4
А1
А3
А5
А2
6
А1
А4
А3
А5
А2
36