Лекция 9_2гр

1. Системы булевых функций

2.

Операции дизъюнкция + и конъюнкция являются
примерами двух из шестнадцати булевых функций от
двух переменных, которые перечисляются в следующей
таблице:
x y
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f7
f8
f9
f10
f11
f12
f13
f14
f15
f16
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0 1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1 0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
x
y
+
y
x
1
-
штрих
Функция f15 ( x, y ) f 2 ( x, y )
обозначается x | y .
f 9 ( x, y ) f8 ( x, y )
Функция
обозначается x y .
-
Шеффера,
стрелка
Пирса,

3.

Для описания алгебраических свойств булевых
алгебр с вышеперечисленными операциями
используются формулы, которые называются
булевыми формулами и которые образованы из
булевых
переменных
x,y,…(принимающих
значения 0,1) и символов булевых операций по
следующим правилам:
1)
все булевы переменные x,y,… и символы 0,1
– булевы формулы;
2)
если p и q – булевы формулы, то таковыми
являются выражения
и
где
символ любой из вышеперечисленных бинарных
булевых операций.

4.

Лемма. Булевы функции от двух переменных
взаимосвязаны следующими свойствами:
1) ( x y ) x y , ( xy ) x y – законы де Моргана;
2) x xy x , x( x y) x – законы поглощения;
3) x x 1 , xx 0
– характеристическое
свойство отрицания;
4) x 1 1, x 1 x – характеристическое свойство
элемента 1;
x 0 0 – характеристическое
5) x 0 x ,
свойство элемента 0;
xy ( x y )
6) x y ( x y ) ,
– взаимосвязь
конъюнкции и дизъюнкции;
x y ( xy )
7) x y x y ,
– взаимосвязь
импликации с дизъюнкцией, конъюнкцией и
отрицанием;

5.

8) x y ( x y)( y x) , x y ( x y )( x y ) ;
xy ( x | y ) ( x | y ) | ( x | y ) ,
x x | x ,
9) x | y ( xy ) ,
x y x | y ( x | x) | ( y | y ) – взаимосвязь штриха
Шеффера
с
дизъюнкцией,
конъюнкцией
и
отрицанием;
10) x y ( x y) , x x x , x y ( x y) ( x y) ( x y) ,
xy x y ( x x) ( y y) – взаимосвязь стрелки
Пирса с дизъюнкцией, конъюнкцией и отрицанием;
11) x y y x , ( x y) z x ( y z ) , x( y z) xy xz,
x 1 x ,
x x 0,
x 0 x,
x x 1
–
характеристическое свойство суммы Жегалкина;
x y x y 1,
x y xy x 1 ,
12) x y xy x y ,
x y ( x 1)( y 1) 1 x y xy
–
взаимосвязь
суммы Жегалкина с дизъюнкцией, конъюнкцией,
отрицанием, импликацией и эквивалентностью.

6.

Определение. Суперпозицией булевых функций
g ( y1 ,..., ym ) и h1 ( x1 ,..., xn ) , …, hm ( x1 ,..., xn ) называется
булева функция f ( x1,..., xn ) , значения которой
определяются по формуле:
f ( x1 ,..., xn ) g h1 ( x1 ,..., xn ),..., hm ( x1 ,..., xn ) .
Для упрощения записи суперпозиции булевых
функций скобки по возможности опускаются с
учетом следующего приоритета выполнения
булевых операций: , и затем все остальные
операции.

7.

Определение.
Система
F f1 ,..., f k называется
булевых
функций
- полной, если любая булева функция может быть
представлена в виде суперпозиции функций из этой
системы F;
замкнутой, если она содержит любые
суперпозиции функций из этой системы F.
Для любой системы булевых функций F есть
наименьшая замкнутая система булевых функций
, содержащая систему F. Система
называется
замыканием системы булевых функций F.

8.

Проблема. Найти критерий полноты системы
булевых функций.
Теорема Жегалкина. Любая булева функция f от
n переменных представима в виде следующего
полинома Жегалкина
f ( x1 ,..., xn )
i1 ,..., ik
xi1 ...xik c
для некоторых значений c 0,1 и 1 i1 ... ik n .
Причем такое представление булевой функции f
единственно с точностью до порядка слагаемых.

9.

Определение. Булева функция f называется линейной,
если ее представление полиномом Жегалкина не
содержит произведения переменных.
Множество всех линейных булевых функций
обозначим символом L.
Определение. Булева функция f ( x1,..., xn ) называется
f
(
x
,...,
x
)
f
(
x
,...,
x
)
самодвойственной, если
.
1
n
1
n
Множество всех самодвойственных булевых функций
обозначим символом S.
Определение. Булева функция f ( x1,..., xn ) называется
монотонной, если для любых x1 ,..., xn , y1 ,..., yn 0,1 из
x1 y1 ,..., xn yn следует f ( x1 ,..., xn ) f ( y1 ,..., yn ) .
Множество всех монотонных
обозначим символом M.
булевых
функций