Ряды. Признаки сходимости знакоположительных рядов

1.

Раздел 11.
Ряды
§ 1. Числовые ряды. Основные понятия

2.

Опр. 1. Пусть дана бесконечная последовательность чисел
u1 , u2 , ..., un , ... . Выражение вида
un u1 u2 u3 ... un ...
(1)
n 1
называется числовым рядом,
числа u1 , u2 , ..., un , ... называются членами ряда,
а выражение для u n называется общим членом ряда.
Опр. 2. Сумма первых n членов ряда называется n-й
n
частичной суммой ряда:
Sn u1 u2 ... un uk .
k 1
k
играет роль индекса суммирования. Если вместо k
подставить любую другую букву это не изменит значения
суммы. Для знающих программирование индекс суммирования
– это счетчик цикла, значение которого за пределами
цикла(суммы) неопределено.
2

3.

Рассмотрим следующие суммы:
S1 u1 ,
S2 u1 u2 ,
S3 u1 u2 u3 ,
…
Sn u1 u2 u3 ... un
Опр. 3. Суммой ряда называется предел последовательности
частичных сумм S lim S , если он существует и конечен;
n
n
в этом случае ряд называется сходящимся. Если предел
последовательности частичных сумм не существует или равен
бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Важнейшей задачей теории рядов является нахождение признаков,
позволяющих судить о сходимости или расходимости данного ряда.
3

4.

Пример 1. Рассмотрим ряд 1 1 1 1 1 ... 1.
n 1
Общий член ряда un 1.
Частичные суммы ряда
S1 1; S2 1 1 2; S3 1 1 1 3; ...; Sn n; ...
Найдем предел частичных сумм ряда: lim Sn lim n .
n
n
Следовательно, ряд расходящийся.
Пример 2. Рассмотрим ряд 1 1 1 1 1 1 ... ( 1)
n 1
Общий член ряда un ( 1)n 1.
Частичные суммы ряда
S1 1; S2 1 1 0; S3 1 1 1 1; S4 0; ...
n 1
.
1, если n нечетное,
Sn
0, если n четное.
Предел частичных сумм ряда: lim S n не существует.
n
Следовательно, ряд расходящийся.4

5.

1
1
1
1
1
...
.
Пример 3.
...
n(n 1)
1 2 2 3 3 4
n 1 n( n 1)
Общий член ряда un 1 .
n(n 1)
Частичные суммы ряда
1
1
1 1 2
1
1
S2
;
S1
;
1 2 2 3 2 6 3
1 2 2
1
1
1
2 1 9 3
n
…;
S3
;
Sn
1 2 2 3 3 4 3 12 12 4
n 1
Докажем методом математической индукции.
База индукции: при n = 1; 2; 3 верно.
n 1
.
Шаг индукции: пусть при всех k < n верно, в частности, Sn 1
n
Тогда
n 1
1
n2 1 1
n2
n
Sn Sn 1 un
.
n
n(n 1) n(n 1) n(n 1) n 1
n
Предел частичных сумм ряда равен ⇒ Доказано, что Sn n 1 .
1
n
lim
1.
lim Sn lim
n
1
n
n n 1
1
Значит, ряд сходящийся. 5
n
?

6.

Второй способ. Разложим общий член ряда на сумму
простейших дробей:
1
A
B
n n 1
n
n 1
Вычислим коэффициенты
1 An A Bn A B 0, B 1
A 1
A 1
1
1
1
n n 1 n n 1
Частичные суммы ряда
S1 1
1
2
1 1 1
1
S2 1 1
2 2 3
3
Sn 1
1 1 1 1 1
1
1
1
...
1
2 2 3 3 4
n n 1
n 1
Предел частичных сумм ряда равен
Значит, ряд сходящийся.
1
lim 1
1
n
n 1
6

7.

Пример
4.
Рассмотрим
прогрессию b1 b1q b1q ... b1q
2
бесконечную
n 1
геометрическую
... b1q n 1.
n 1
n-я частичная сумма ряда при q 1 равна
n
q
1
2
n 1
Sn b1 b1q b1q ... b1q b1
;
q 1
предел частичных сумм
, если | q | 1,
n
q 1
lim Sn lim b1
b1
n
n
q 1
, если | q | 1.
1 q
Следовательно, бесконечная геометрическая прогрессия
представляет собой ряд, который сходится, если q 1,
и расходится, если q 1.
Упражнение. Сходится ли ряд бесконечной геометрической
прогрессии, если q 1?
!
7

8.

Свойства рядов
1. Если ряд (1) сходящийся и его сумма равна S: un S ,
n 1
то ряд cu1 cu2 cu3 ... cun ... cun тоже сходящийся
n 1
и его сумма равна cS (здесь c – произвольное число).
⇒ Если ряд un расходится, то ряд cun (где c 0) тоже расходится.
n 1
n 1
Доказательство.
Пусть S̛n и Sn— n-ые частичные суммы рядов un и cun
n 1
n 1
соответственно. Тогда
Sn cu1 cu2 ... cun c u1 u2 ... un cS n
Так как существует конечный предел частичных сумм, то ряд cun
n 1
сходится и имеет сумму cS.
Покажем, что если ряд un расходится, c≠0, то и ряд cun
n 1
n 1
расходится. Допустим противное: ряд cun сходится и имеет
8
n 1
сумму S

9.

Тогда S1 lim Sn lim c S n c lim S n ,
n
n
n
откуда lim Sn S1
n
c
т. е. ряд u сходится, что противоречит условию о расходимости
n
n 1
данного ряда.
Доказано.
2. Если сложить почленно два сходящихся ряда, то
т. е. если S1 un , S2 vn , то (un vn ) S1 S2
n 1
n 1
n 1
- получим сходящийся ряд.
Если сложить почленно сходящийся и расходящийся ряд, то
- получим расходящийся ряд.
Если сложить два расходящихся ряда, то
- можно получить как сходящийся, так и расходящийся ряд.
Например,
1 расходится
(1 1) 0 сходится
n 1
( 1)
n 1
расходится
n 1
n 1
n 1
n 1
(1 1) 2
расходится
9

10.

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из
данного путем приписывания или отбрасывания любого
конечного числа членов.
Опр. 4. Ряд rn un 1 un 2 ... uk
(2)
k n 1
называется n-м остатком ряда (1).
Св-во 3. ⇒ ряд и любой его остаток сходятся или расходятся
одновременно.
Если ряд сходится, то
n
n 1
k 1
k n 1
un uk uk
Sn rn S ;
rn S S n ;
lim rn lim S lim S n S S 0.
⇔
n
n
n
Можно показать также, что если lim rn 0, то ряд сходится.
n
Т 1 (необходимое и достаточное условие сходимости ряда).
un сходится
n 1
lim rn 0.
n
10

11.

Т 2 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд
сходится, то предел общего члена ряда равен нулю:
un сходится
n 1
Доказательство.
lim un 0.
n
!
Sn u1 u2 ... un 1 un Sn 1 un .
un Sn Sn 1,
↓ ↓
Если ряд сходится, то при n → ∞
S S
lim un lim Sn lim Sn 1 S S 0. Доказано.
n
n
n
Следствие (достаточный признак расходимости ряда).
Если lim un 0
n
un расходится.
n 1
!
2 3 4
n
Пример 5. 1 ...
.
3 5 7
n 1 2n 1
n
1
n
lim un lim
0.
Общий член ряда un
.
n
n 2n 1
2
2n 1
⇒ необходимый признак сходимости ряда не выполняется,
⇒ ряд расходится.11

12.

Замечание. Если lim un 0, то ряд может быть сходящимся, а
n
может быть и расходящимся.
1
Опр. 5. Ряд 1 1 1 1 ... 1 ...
2 3 4
n
n 1 n
!
!
называется гармоническим рядом.
Пример 6. Для гармонического ряда необходимый признак
сходимости выполняется: lim u lim 1 0, но этот ряд расходится.
n
n
n n
Докажем это методом от противного.
Предположим, что гармонический ряд сходится и его сумма равна S.
lim( S2 n Sn ) S S 0.
Тогда lim S n S ; lim S2 n S ;
!
n
n
n
2n
1
1
1
1
S2 n Sn
...
С другой стороны,
n 1 n 2
2n
k n 1 k
1
1
1
1 1
...
n
.
Таким образом,
2n 2n
2n
2n 2
1
т. е. получили противоречие.
S2 n Sn 2 ,
⇒ предположение о том, что гармонический ряд
lim( S2 n Sn ) 0,сходится, неверно.
⇒ Гармонический ряд расходится.
12
n

13.

§ 2. Достаточные признаки сходимости
знакоположительных рядов
Опр. 1. Знакоположительным называется ряд, все члены
которого (начиная с некоторого номера) неотрицательны.
Знакоотрицательным называется ряд, все члены которого
(начиная с некоторого номера) неположительны.
Замечание.
Знакоотрицательный
ряд
переходит
в
знакоположительный путем умножения на -1, что, в силу
свойств рядов, не влияет на сходимость ряда.
Сформулируем
некоторые
достаточные
сходимости знакоположительных рядов.
признаки

14.

Теорема (Критерий сходимости неотрицательного ряда)
Неотрицательный ряд an сходится тогда и только тогда,
n 1
n
когда последовательность его частичных сумм Sn ak
k 1
ограничена сверху.
Доказательство
Из условия следует:
0 Sn a1 ... an a1 ... an an 1 S n an 1 S n 1
Таким образом, Sn неубывающая последовательность. Если
она ограничена сверху, то по теореме Вейерштрасса (всякая
неубывающая и ограниченная сверху последовательность
имеет предел) существует предел lim Sn s
и число s, по
n
определению, есть сумма рассматриваемого ряда.
Обратно, если последовательность частичных сумм имеет
предел, то она ограничена, так как любая имеющая предел
последовательность ограничена.
Доказано
14

15.

Признаки сравнения
Т 1 (непредельный признак сравнения). Пусть
an ,
n 1
an 0;
bn ,
n 1
bn 0,
0 an bn для всех n.
причем
Тогда если ряд bn сходится ⇒ ряд an
n 1
если ряд
an
n 1
n 1
(1)
сходится;
расходится ⇒ ряд bn расходится.
n 1
Иначе говоря, если «больший» ряд сходится, то и «меньший»
ряд сходится; если «меньший» ряд расходится, то и
«больший» ряд расходится.
Доказательство
bn сходится,
Докажем первое утверждение теоремы. Пусть ряд
n 1
A
B
Sn , Sn – n-ые частичные суммы рядов, а S сумма ряда bn .
Так как последовательность частичных сумм n 1 ряда с
неотрицательными членами – неубывающая, то SnB≤ S.
n
n
A
Следовательно, имеем Sn ak bk SnB S
15
k 1
k 1

16.

Таким образом, получаем, что последовательность частичных
сумм SnA ряда (A) an ограничена. Поэтому, ряд (A) сходится.
n 1
Докажем теперь второе утверждение теоремы. Пусть ряд (A)
расходится. Значит последовательность его частичных сумм неограничена.
Из неравенства SnB≤ S следует неограниченность
B
последовательности (Sn ). Поэтому ряд bn расходится.
n 1
Доказано
1
Пример 1. Исследуем сходимость ряда
.
n
n 1 3 2
1
1
0 an
bn
3 2
2
при всех значениях n
n
n
1
n
n 1 2
bn
n 1
- сходится, т.к. это
ряд геометрической
прогрессии c q 1 1.
1
сходится.
2
n
n 1
n 1 3 2
Замечание. Из свойства 3 рядов ⇒ теорема 1 справедлива и в том
случае, если условие (1) выполняется не для всех членов ряда, а
16
начиная с некоторого номера N.
⇒
исходный ряд an

17.

Т 2 (предельный признак сравнения). Пусть
an ,
n 1
an 0;
bn ,
n 1
bn 0.
an
Если существует lim A 0, ,
n b
n
n 1
n 1
(2)
то ряды an и bn ведут себя в смысле сходимости одинаково:
либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Замечание. Отметим случаи, когда предел (2) равен 0 или :
an
1) если an 0, bn 0, lim
0 и ряд bn сходится, то ряд an тоже
n b
n 1
n 1
n
сходится;
an
2) если an 0, bn 0, lim
и ряд bn расходится, то ряд an тоже
n b
n 1
n 1
n
расходится.
17

18.

Пример 2. Исследуем сходимость ряда sin n .
3
n 1
an sin n
3
bn n
3
- бесконечно малая при n
3n
bn 3n
n 1
n 1
sin n
an
3 1 0, ;
lim lim
n b
n
n
3n
⇒
- сходится, т.к. это
ряд геометрической
прогрессии c q 1 1.
3
исходный ряд тоже сходится.
18

19.

Сходимость многих рядов можно исследовать сравнением с
рядом геометрической прогрессии aq n 1 , который сходится
n 1
при |q|<1,
1
гармоническим рядом , который расходится,
n 1 n
1
обобщенным гармоническим рядом R , который
n 1 n
сходится при α>1 и расходится при α≤1.
P n
Вопрос о сходимости ряда k
, где Pk(n) и Ql(n) многочлены
n 1 Ql n
от n степени k и l соответственно, решается сравнением с
обобщенным гармоническим рядом при α=l-k
19

20.

§ 1. Числовые ряды. Основные понятия
Ряд -
выражение вида
un u1 u2 u3 ... un un 1 ...
n 1
‖
Sn
‖
rn
n-я частичная сумма ряда - сумма Sn первых n членов ряда
Общий член ряда -
выражение для un
n-й остаток ряда - rn
Сумма ряда - предел частичных сумм ряда