Ряды. Определение числового ряда, суммы ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости ряда

1. Ряды

Определение числового ряда, суммы ряда. Свойства рядов.
Необходимый признак сходимости ряда.
РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Признак сравнения. Предельный признак сравнения. Эталонные
ряды для сравнения.
Признак Д’Аламбера.
Радикальный / интегральный признак Коши.
ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ / ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Признак Лейбница
Достаточный признак сходимости
Абсолютная и условная сходимость
Общий признак Д’Аламбера
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Степенные ряды. Теорема Абеля.
Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена некоторых
функций.
Применение рядов для приближенных вычислений

2. Числовые ряды

Выражение вида
a1 a2 ... an ... an (1)
n 1
называется числовым рядом, если множество an
образует последовательность, каждый член которой
есть функция целочисленного аргумента, то есть
n N an f (n)
Числа a1 , a2 ,..., an ,... называются членами ряда,
а член a n - общим или n-ым членом ряда

3. Числовые ряды

1 1 1
n 1 1
n 1 1
1 ... ( 1)
... ( 1)
2 3 4
n
n
n 1
n
n
2 4 8 16
2
2
...
...
3 4 5 6
n 2
n 1 n 2

4. Числовые ряды

Величина S n a1 a2 ... an называется n-ой
частичной суммой ряда (1).
Для ряда (1) можно построить последовательность n-ых
частичных сумм S n ,которая, как всякая последовательность,
может быть сходящейся или расходящейся
S1 a1
S2 a1 a2
S3 a1 a2 a3
.......................
S n a1 a2 ... an

5. Числовые ряды

Ряд называется сходящимся, если
существует конечный предел
последовательности его частичных
Sn S
сумм, то есть lim
n
S – сумма ряда
Ряд называется расходящимся, если
lim S n не существует или бесконечен
n

6. Числовые ряды

1.
0 0 0 0 ... 0 ...
Sn 0
lim S
n
2.
n
0
ряд сходится и его сумма S=0
1 1 1 1 ... 1 ...
Sn n
lim S
n
n
ряд расходится

7. Геометрический ряд

a aq aq ... aq
2
n 1
... aq
n 1
n 1
a(1 q )
сумма n членов
q 1 Sn
1 q геометрической прогрессии
n
При
a(1 q )
a
S n lim
q 1 lim q 0 lim
n
n
n
1 q
1 q
n
n
ряд сходится
n
S n ряд расходится
lim
q
lim
q 1
n
n

8. Геометрический ряд

q 1 ряд примет вид a a a ... a ...
lim S n lim n a ряд расходится
n
n
q 1 ряд примет вид a a a ... ( 1) n 1 a ...
S n 0, при n-четном; Sn a, при n-нечетном
lim S n не существует ряд расходится
n
q 1
q 1
Таким
образом
n 1
aq
ряд
сходится и S
n
1
n 1
aq
ряд
расходится
n 1
a
1 q

9. Основные свойства рядов

Если ряды
a и b
n 1
n
n 1
n
сходятся и их суммы
(a
bn )
соответственно равны А и B, то и ряд n 1
,
представляющий сумму данных рядов также сходится
и его сумма равна A+B
Пусть
An a1 a2 ... an ;
lim An A
n
Bn b1 b2 ... bn
lim Bn B
n
n
Sn (a1 b1 ) (a2 b2 ) ... (an bn ) An Bn
S lim S n lim ( An Bn ) lim An lim Bn A B
n
n
n
n

10. Основные свойства рядов

Если ряд
ka
n 1
n
a сходятся и имеет сумму S, то и ряд
n 1
n
, полученный умножением данного ряда на
число k также сходится и имеет сумму kS
Пусть
An a1 a2 ... an
lim An S
n
Sn ka1 ka2 ... kan kAn
S lim S n lim kAn k lim An kS
n
n
n

11. Основные свойства рядов

Остатком ряда (1) после n-ого члена называется
ряд, который получается из данного ряда, если в
нем отбросить первые n членов
Rn an 1 an 2 ... an m ...
an m (2)
m 1
Если ряд (1) сходятся, то сходится и ряд,полученный
из данного путем отбрасывания (или приписывания)
конечного числа членов, то есть для n
ряд (2)
сходится
Для того, чтобы ряд (1) сходился необходимо и
достаточно, чтобы при n остаток ряда при n
стремился к нулю, то есть lim Rn 0
n

12. Основные свойства рядов

Если ряд (1) сходится,то предел его общего члена a n
при n равен нулю, то есть lim аn 0
n
Выразим n-ый член ряда через частные суммы
Так как ряд (1) сходится, то
Поэтому
an S n S n 1
lim S n lim S n 1 S
n
n
lim an lim S n lim S n 1 S S 0
n
n
n
аn 0 , то ряд (1) расходится
Если lim
n
Предположим противное. Пусть ряд (1) сходится. Тогда по необходимому
признаку сходимости lim аn 0 , что противоречит условию.
n

13. Примеры

n
1. ( 1)
n 2
n 1
1
n
n
lim an lim ( 1)
0
n
n
n 2 1
n
ряд расходится
1 1
1
1
2. 1 ... ...
гармонический ряд
2 3
n
n 1 n
Необходимый признак сходимости выполнен
1
lim an lim 0
n
n n
Докажем, что этот ряд расходится

14. Гармонический ряд

Запишем сумму первых 2n и n членов ряда:
1 1
1
1
1
S 2 n 1 ...
...
2 3
n n 1
2n
1 1
1
1
1
S n 1 ...
S2n Sn
...
2 3
n
n 1
2n
1
1
1
1
Так как
;
;... , то
n 1 2n n 2 2n
S2n
1
1
1
1
1
Sn
...
n
2n 2n
2n
2n 2
Предположим противное. Пусть гармонический ряд сходится
lim S n lim S 2 n S
n
n
Переходя к пределу в неравенстве, имеем
lim ( S 2 n S n ) lim S 2 n
n
n
1
lim S n S S 0
n
2
Противоречие

15. Признак сравнения

Пусть
даны два ряда с положительными членами:
(3)
а , n N , an 0
(4)
n 1
n
b ,
n 1
n
n N , bn 0
Если, начиная с некоторого номера k, для членов
ряда (3) и (4) выполняется 0 an bn для n k , то
1)если ряд (4) сходится, то (3) – сходится;
2)если ряд (3) расходится, то (4) – расходится

16. Признак сравнения

An a1 a2 ... an ; Bn b1 b2 ... bn
По условию ряд (4) сходится lim Bn B и Bn B так как
1.
Пусть
n
члены ряда (4) положительны.
An ряда (3)
Рассмотрим последовательность частичных сумм
Эта последовательность является: возрастающей (с ростом n
увеличивается сумма n положительных слагаемых) и ограниченной
An Bn B
последовательность
2.
на основании признака существования предела
An имеет предел, то есть ряд (3) сходится.
Ряд (3) расходится. Используем метод от противного. Предположим
что ряд (4) сходится. Тогда согласно доказанному пункту 1 и ряд (3)
сходится, что противоречит условию.

17. Предельный признак сравнения

Если
а
n 1
n
и
b
n 1
n
- ряды с положительными
членами и существует конечный предел отношения
an
k 0, то ряды сходятся
их общих членов lim
n b
n
или расходятся одновременно.

18. Эталонные ряды для сравнения

1
1
1
n 1 n
aq
n 1
n 1
ряд сходится
0 q 1
q 1
ряд расходится
ряд сходится
ряд расходится

19. Примеры

1
1.
n 2 ln n
1
1
n ln n
n ln n
1
ряд
расходится
n 1 n
n 2
1
ряд
расходится
n 2 ln n
2
2
sin n
sin
n
1
1
2
2. 2
sin n 1 2
2
2 n 1
n 1 n 4
n
4
n
4
n
1
sin 2 n
ряд 2 сходится ряд 2
расходится
n 1 n
n 1 n 4
6 4n
3. 3
n 1 n 5
2
6 4n 2 1
lim 3
4 0
n n 5
n
2
1
ряд n расходится
n 1
6 4n
расходится
3
ряд
n
5
n 1

20. Признак Д’Аламбера

an 1
l
Пусть для ряда а n ( n N , an 0 ) lim
n a
n
n 1
Тогда, если l<1, то ряд сходится;
если l>1, то ряд расходится;
если l=1, то вопрос о сходимости ряда
остается нерешенным
По определению предела числовой последовательности:
an 1
an 1
l
0 N : n N
l или l
an
an
a) Пусть l 1. Возьмем 0таким образом, чтобы q l 1
an 1
q an 1 qan , n N то есть для
то есть
an
n N 1, N 2,...

21. Признак Д’Аламбера

a N 2 qa N 1 ; a N 3 qa N 2 q 2 a N 1 ;...; a N k qa N k 1 ... q k a N 1
Таким образом члены ряда aN 2 aN 3 ... aN k ... меньше
чем члены ряда qa N 1 q a N 1 ... q
2
геометрический ряд при q<1
k 1
aN 1 ... - сходящийся
по признаку сравнения ряд
aN 2 aN 3 ... aN k ... сходится
а
n 1
n
- сходящийся,
который отличается от полученного на (N+1) членов
б) Пусть l 1. Возьмем 0. Таким образом
l 1.
a
Тогда n 1 l 1 an 1 an Члены ряда возрастают,
an
начиная с номера N+1, поэтому lim an 0 ряд расходится
n

22. Радикальный признак Коши

Пусть для ряда
а
n 1
n
( n N , an
n a l
0 ) lim
n
n
Тогда, если l<1, то ряд сходится;
если l>1, то ряд расходится;
если l=1, то вопрос о сходимости ряда
остается нерешенным

23. Примеры

6n 1 6n
1.
- ряд сходится
2 n 1 n!
n 1 2 n!
Признак Д’Аламбера
an 1
6n 1 n!
6
lim
lim
n lim
0 1
n a
n ( n 1)! 6
n n 1
n
1 6n2
2. (1 ) - ряд расходится
3n
n 1
Радикальный признак Коши
1 6n
1 3n 2
2
lim an lim (1 ) lim ((1 ) ) e 1
n
n
n
3n
3n
n

24. Интегральный признак Коши

Если аn f (n) , где f(x) – функция положительная,
монотонно убывающая и непрерывная при x a 1,
то ряд
а
n 1
n
и несобственный интеграл
f ( x)dx
a
сходятся или расходятся одновременно
Возьмем в качестве a=1
Рассмотрим ряд
2
3
n 1
1
2
n
f ( x)dx f ( x)dx ... f ( x)dx ...
Его n-ой частичной суммой будет:
2
3
n 1
n 1
1
2
n
1
S n f ( x)dx f ( x)dx ...
f ( x)dx f ( x)dx

25. Интегральный признак Коши

Сходимость интеграла
предела:
f ( x)dx означает существование
1
n 1
f ( x)dx lim ( f ( x)dx) lim S
n
1
n
1
n
В силу монотонности функции f(x) на отрезке [n;n+1]
f (n) f ( x) f (n 1) или an f ( x) an 1
проинтегрируем на отрезке [n;n+1]
n 1
an dx
n
Если ряд
n 1
а
n 1
f ( x)dx
n
n 1
или
a
dx
n
1
n 1
an
n
n
f ( x)dx a
n 1
n
сходится, то из 1 неравенства по признаку
сравнения сходится ряд
несобственный интеграл
n 1
f ( x)dx
n 1
1
n
f ( x ) dx
, а значит и

26. Интегральный признак Коши

Обратное утверждение: Если сходится интеграл
n 1
то есть ряд
f ( x)dx
n 1
, то согласно 2 неравенству по
признаку сравнения сходится ряд
и ряд
а
n 1
f ( x ) dx
1
n
а
n 1
n 1,
а следовательно
n
1
- ряд расходится
n 1 n
a
a
dx
dx
lim ln x lim ln a - расходится
1 x lim
a
a
a
1
x
1

27. Знакочередующиеся ряды

Ряд называется знакочередующимся, если
любые два его соседних члена имеют разные
знаки, то есть
a1 a2 a3 a4 ... ( 1) n 1 an ... ( 1) n 1 an , an 0
n 1

28. Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда убывают по
абсолютной величине a1 a2 ... an ... и
lim an 0, то ряд
n
( 1)
n 1
n 1
an сходится, а его сумма
не превосходит первого члена S a1
Рассмотрим последовательность частичных сумм четного
числа членов при n=2m
S2 m (a1 a2 ) (a3 a4 ) ... (a2 m 1 a2 m )
Эта последовательность возрастающая ( так как в скобках
положительные слагаемые) и ограничена ( так как S 2 m a1 )

29. Признак Лейбница

На основании признака существования предела последоват.
lim S 2 m S
m
Переходя к пределу в неравенстве S a получим S a
2m
1
1
Пусть n=2m+1
lim S 2 m 1 lim ( S 2 m a2 m 1 ) lim S 2 m lim a2 m 1 S 0 S
m
m
m
m
Таким образом, для любого n (четного или нечетного)
lim S n S a1
n
( 1)
- ряд сходится
n 1 n 1
1
1 1 1
lim
0
...
n n 1
2 3 4
n

30. Знакопеременные ряды

Ряд
a
n 1
n
называется знакопеременным,
если любые его члены a n могут быть как
положительными так и отрицательными.

31. Достаточный признак сходимости

Если ряд, составленный из абсолютных величин
членов данного ряда
сходится, то ряд
n
S ,S
a
n 1
a
n 1
n
n
a1 a2 ... an ...
сходится.
n -
суммы абсолютных величин членов ряда
входящих в него со знаком “ + ” и “ - ”.
n
Sn1 S S
n
n
частичная сумма ряда
n
- частичная сумма ряда
Sn2 S S
a
n 1
n
a
n 1
n
a
n 1
n
,

32. Достаточный признак сходимости

Ряд
a
n 1
n
сходится
Последовательности
Ограниченными
lim S
n
n
a
n 1
n
n2
S n , S n являются возрастающими
( S n S , S n S ) lim Sn
n
n
n
n
lim S n1 lim S lim S
n1
Ряд
lim Sn2 S
сходится
n
и
и

33. Достаточный признак сходимости

Утверждение обратное достаточному признаку
сходимости неверно
( 1)
n 1
n 1
1
n
сходится по признаку Лейбница
1
n 1 n
расходится как гармонический ряд

34. Знакопеременные ряды

Ряд называется абсолютно сходящимся, если
сходятся ряды
a
n 1
n
и
a
n 1
n
Ряд называется условно сходящимся, если ряд
a
n 1
n
- сходится, а ряд
a
n 1
n
- расходится

35. Знакопеременные ряды

положительные и
члены быстро убывают отрицательные слагаемые
уничтожают друг друга

36. Пример

cos n
3
n
n 1
Составим ряд
cos n
3
1
Сравним с рядом 3
n 1 n
n
cos n 1
3 , так как cos n 1
n N
3
n
n
1
cos n
сходится
- сходится
3
3
n 1 n
n
n 1
cos n
3 - сходится
n 1 n
n 1

37. Общий признак Д’Аламбера

Пусть ряд а n (5) таков, что lim an 1 l
n a
n 1
n
Тогда, если l<1, то ряд абсолютно сходится;
если l>1, то ряд расходится
a) Пусть l 1. Рассмотрим ряд an (6). Так как ряд (6)
n 1
положителен,можем применить к нему признак Д’Аламбера.
Ряд (6) сходится Ряд (5) абсолютно сходится
a
an 1
б) Пусть l 1. При n n 1 l 1 , то есть
1
an
an
или an 1 an абсолютные величины членов ряда (5)
растут, то есть удаляются от 0 нарушается необходимый
признак сходимости ( an 0 ) и ряд расходится

38. Функциональные ряды

Функциональным рядом называется ряд вида
u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) ... un ( x) ... un ( x),
где n N un ( x) f (n, x)
n 1
Множество значений аргумента x, для которых
функциональный ряд сходится называется областью
сходимости функционального ряда.
Sn ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 ( x) ... un ( x)
S ( x) lim S n ( x) - сумма ряда
n
Rn ( x) S ( x) Sn ( x) - остаток ряда

39. Степенные ряды

Степенной ряд с0 с1 x с2 x ... сn x ...
2
n
с x (6)
n
n 0
n
является частным случаем функционального ряда
с0 с1 ( x a) с2 ( x a) ... сn ( x a) ... сn ( x a) (7)
2
n
n
n 0
(6) – частный случай (7), так как при x a x ряд (7)
превратится в ряд:
с0 с1 x с2 x ... сn x ... сn x
2
n
n 0
n

40. Теорема Абеля

Если степенной ряд
n
с
x
n
n 0
1. сходится в точке x1 он сходится абсолютно при
x : x x1
2. расходится в точке x2 расходится x : x x2
1) По условию ряд (6) сходится в точке x x1 выполняется
an lim cn x1n 0
необходимый признак сходимости, т.е. lim
n
n
n
последовательность cn x1 ограничена, то есть M 0, n
cn x1n M
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин
членов
ряда (6):
2
n
x
x
x
n
2
n
сn x с0 с1 x1
с2 x1
... сn x1
... (8)
x1
x1
x1
n 0

41. Теорема Абеля

Члены ряда (8) меньше соответствующих членов ряда:
2
n
x
x
x
M M
M
... M
... (9)
x1
x1
x1
x
Ряд (9) – геометрический ряд, который сходится при q
1
x1
то есть при x x1 по признаку сравнения ряд (6) сходится
2) По условию ряд (6) расходится при x x2 . Покажем, что он
расходится x : x x2 . Предположим противное, то есть
при x x2 ряд сходится. Тогда из доказанного он сходится
при x x2 , так как x2 x . Противоречие, так как при
x x2 ряд (6) расходится.
Ч.Т.Д.

42. Следствие из теоремы Абеля

x R ряд сходится
R 0 :
x R ряд расходится
x R
нужны специальные исследования
x R
расходится
?
R
сходится
?
расходится
R
R – радиус сходимости
(-R;R) – интервал сходимости
Для некоторых рядов: R=0 или R

43. Радиус сходимости степенного ряда

1
R
cn
R lim
n c
n 1
lim
n
n
cn
Применим к ряду из абсолютных величин признак Д’Аламбера
с0 с1 x с2 x ... сn x ... сn x
2
n
n
n 0
cn 1 x n 1
cn 1
cn
lim
x lim
1 x lim
, cn 0
n
n c x
n c
n c
n
n
n 1
cn
R lim
,
n c
n 1

44. Найти интервал сходимости

n
x
n 0 n 1
lim
n
un 1 ( x)
un ( x)
lim
n
x
n 1
n 1
n 2 x
n
n 1
x lim
x 1
n n 2
R=1 ряд сходится на интервале (-1;1)
( 1) n
- сходится по признаку Лейбница
x=-1
n 0 n 1
1
- расходится по признаку сравнения
x=1
n 0 n 1
Область сходимости : [ -1; 1 )

45. Свойства степенных рядов

Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда:
f ( x) с0 с1 x с2 x ... сn x ...
2
n
где (-R;R) – интервал сходимости этого ряда.
Говорят, что функция f(x) на интервале (-R;R)
разлагается в степенной ряд.
f(x) непрерывна для x a, b ( R, R)
1. Степенной ряд можно почленно интегрировать на
b
b
b
b
отрезке [a, b]
n
f
(
x
)
dx
с
dx
с
xdx
...
с
x
0 1
n dx ...
a
a
a
a
2. Степенной ряд можно почленно дифференцировать
на отрезке [a, b] f ( x) с1 2с2 x 3с3 x 2 ... nсn x n 1 ...

46. Ряд Маклорена

Пусть функция f(x) определенная и n раз
дифференцируемая в окрестности точки x=0
разложена в степенной ряд:
f ( x) с0 с1 x с2 x ... сn x ...
2
n
Найдем коэффициенты этого ряда. Для этого найдем
производные функции f(x):
2
3
n 1
f ( x) с1 2с2 x 3с3 x 4с4 x ... nсn x ...
2
n 2
f ( x) 2с2 3 2с3 x 4 3с4 x ... n (n 1)сn x ...
n 3
f ( x) 3 2с3 4 3 2с4 x ... n (n 1) (n 2)сn x ...
..................................
f ( n ) ( x) n (n 1) (n 2) ... 3 2 сn ...

47. Ряд Маклорена

При x=0:
f (0) c0 , f (0) с1 , f (0) 2 1 с2 2!с2 ,
f (0) 3 2 1 с3 3!с3 ,..., f
(n)
(0) n!сn
f (0)
f (0)
f ( n ) (0)
c0 f (0), с1 f (0), с2
, с3
,..., сn
,...
2!
3!
n!
Степенной ряд
f (0)
f (0) 2 f (0) 3
f ( n ) (0) n
f (0)
x
x
x ...
x ...
1!
2!
3!
n!
называется рядом Маклорена

48. Ряд Маклорена

S n (x) - n-ая частичная сумма ряда
Rn (x) - n-ый остаток ряда
f ( x) Sn ( x) Rn ( x)
Необходимое и достаточное условие сходимости
Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции
f(x) необходимо и достаточно, чтобы
lim Rn ( x) 0 x ( R, R)
n
Ряд Маклорена является частным случаем
ряда Тейлора
(n)
f ( x0 )
f ( x0 )
f
( x0 )
2
f ( x0 )
( x x0 )
( x x0 ) ...
( x x0 ) n ...
1!
2!
n!

49. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

y e
x
( n)
x
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ... f ( x) e
f (0) f (0) f (0) f (0) ... f ( n ) (0) e0 1
2
3
n
x
x
x
e 1 x ... ...
2! 3!
n!
x
Область сходимости:
( ; )

50. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

y sin x
f ( x) sin x, f ( x) cos x, f ( x) sin x, f ( x) cos x
f ( 4) ( x) sin x, f (5) ( x) cos x, f ( 6) ( x) sin x, f ( 7 ) ( x) cos x
f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1, f ( 4) (0) 0...
f
(2n)
(0) 0, f
( 2 n 1)
(0) ( 1)
n 1
, n 1,2,3...
n 1
2 n 1
x
x
( 1) x
sin x x ...
...
3! 5!
(2n 1)!
3
5
Область сходимости:
( ; )

51. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

y cos x
x
x
( 1) x
cos x 1 ...
...
2! 4!
(2n)!
2
Область сходимости:
4
n
2n
( ; )

52. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

y (1 x)
m
m –любое действительное число
f ( x) (1 x) m , f ( x) m(1 x) m 1 , f ( x) m(m 1)(1 x) m 2 ,...
( n)
m n
..., f ( x) m(m 1)...( m n 1)(1 x)
(n)
f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1),..., f (0) m(m 1)...( m n 1)
m(m 1) 2
m(m 1)...( m n 1) n
(1 x) 1 mx
x ...
x ...
2!
n!
m
Область сходимости: ( 1;1)
При x 1 сходимость ряда зависит от конкретных m

53. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

y ln( 1 x)
Рассмотрим геометрический ряд со знаменателем q=-x
1
1
2
3
n n
(1 x) 1 x x x ... ( 1) x ...
1 x
Проинтегрируем почленно в интервале (0;x), где /x/<1
x
x
dt
0 1 t ln t 1 0 ln( 1 x)
x 2 x3
( 1) n x n 1
ln( 1 x) x ...
...
2
3
n 1
Область сходимости:
( 1;1)

54. Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

1 x
y ln
1 x
n 1
x
x
( 1) x
ln( 1 x) x ...
...
2
3
n 1
2
3
n
x
x
x
ln( 1 x) x ... ...
2 3
n
2
3
1 x
x x
ln
ln( 1 x) ln( 1 x) ( x ...)
1 x 2
2 3 2 n 1
3
3
5
x x
x x
x
( x ...) 2( x ...
...)
2 3
3 5
2n 1
Область сходимости: ( 1;1)
2
3
n

55. Применение рядов для приближенных вычислений

1
4
e
x2
dx, 0,001
0
Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена,
2
(
x
)
заменяя x на
2
4
6
n 2n
x
x
x
(
1
)
x
x
e 1 ...
...
1! 2! 3!
n!
t
t
2
4
6
n 2n
2
x
x
x
(
1
)
x
x
0 e dx 0 (1 1! 2! 3! ... n! ...)dx
1
3
5
7
x
x
x
1
1
1
1
(x
...) 4
...
3
5
7
1! 3 2! 5 3! 7
0 4 1! 3 4 2! 5 4 3! 7 4
2

56. Применение рядов для приближенных вычислений

1
4
e
x2
dx, 0,001
0
1
1
0,0052... 0,001 , a
0,001 ,
Так как
3
5
1! 3 4
2! 5 4
то с точностью до 0,001 имеем
1
4
e
0
x2
1
1
dx
0,245
4 192

57. Применение рядов для приближенных вычислений

ln 0,8 0,0001
(0,2) 2 (0,2)3
(0,2) n
ln 0,8 ln( 1 0,2) 0,2
..
..
2
3
n
(0,2 0,02 0,00266 0,0004 ...)
Если в качестве ln 0,8 взять первые четыре члена, то
мы допустим погрешность
(0,2)5 (0,2)6
(0,2) n
(0,2)5 (0,2)6
(0,2) n
rn
..
..
..
..
5
6
n
5
5
5
5
5
(0,2)
(0,2)
1
n 5
(1 0,2 ... (0,2) ...)
0,00008
5
5 1 0,2
0,0001