Вебинар 10 Шар и сфера их сечения

1. Вебинар 10 Шар и сфера, их сечения

2.

Шаром называется тело, которое
состоит из всех точек пространства,
находящихся на
расстоянии не
больше данного от
данной точки.
Эта точка
называется
центром шара,
а данное расстояние – радиусом шара.

3.

Шаровой
поверхностью
или
сферой называется геометрическое
место
точек
пространства,
равноудалённых от одной точки,
которая называется центром сферы.

4. Сфера и шар – тела вращения

Сферу можно получить путем
вращения полуокружности
вкруг ее диаметра,
Шар, путем вращения
полукруга вокруг его
диаметра

5.

Радиусом сферы называется отрезок
прямой, который соединяет центр
сферы с любой её точкой, например
АО = ОВ = R.

6.

Хордой сферы называется отрезок прямой,
который соединяет две её любых точки.
Диаметром сферы называется хорда,
которая проходит через её центр,
например АС или ВD. Концы любого
диаметра называют диаметрально
противоположными точками сферы.
Шаром называется тело, ограниченное
сферой.
Сферу можно получить вращением
полукруга вокруг диаметра

7.

Определение сферы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек
пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной
точки (центра т.О).
Сфера – тело полученное в результате
вращения полуокруж-ности вокруг её
диаметра.
меридиан
R
R – радиус сферы – отрезок, соединяющий
любую точку сферы с центром.
О
т. О – центр сферы
Параллель диаметр
(экватор)
D – диаметр сферы – отрезок,
соединяющий любые 2 точки сферы и
проходящий через центр.
D = 2R

8. Как изобразить сферу?

R
О
1. Отметить центр сферы (т.О)
2. Начертить окружность с центром в т.О
3. Изобразить видимую вертикальную
дугу (меридиан)
4. Изобразить невидимую вертикальную
дугу
5. Изобразить видимую гори-
зонтальную дугу (параллель)
6. Изобразить невидимую
горизонтальную дугу
7. Провести радиус сферы R

9. Уравнение окружности

• Зададим прямоугольную систему
координат Оxy
у
окружность c центром
М(х;у) •в т.Построим
С и радиусом r
• Расстояние от произвольной
т. М (х;у) до т.С вычисляется по
формуле:
С(х0;у0)
• МС =
О
х
(x – x0)2 + (y – y0)2
МС = r , или МС2 = r2
следовательно уравнение
окружности имеет вид:
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2

10. Уравнение сферы

• Зададим прямоугольную систему
координат Оxyz
• Построим сферу c центром в т. С
и радиусом R
z
М(х;у;z)
R
C(x0;y0;z0)
МС = (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2
• МС = R , или МС2 = R2
у
х
следовательно уравнение
сферы имеет вид:
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2

11. Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы.

• Решение
так, как уравнение сферы с радиусом R и
центром в точке С(х0;у0;z0) имеет вид
(х-х0)2 + (у-у0)2 + (z-z0)2=R2, а координаты
центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5,
то уравнение данной сферы
(x-2)2 + (y+3)2 + z2=25
Ответ: (x-2)2 + (y+3)2 + z2=25

12.

Сечение сферы и
шара плоскостью.

13.

Сечением сферы любой
плоскостью будет
окружность.
Сечением шара любой
плоскостью будет круг.
Круг, полученный пересечением шара
плоскостью, которая проходит через центр,
называется большим кругом шара, а круг,
полученный сечением шара плоскостью,
которая не проходит через центр,
называется малым кругом шара.

14.

Сечения равноудалённые от центра шара, равны
между собой.
Из двух сечений, не одинаково удалённых от центра
шара, больший радиус имеет то, которое лежит
ближе к центру.
Любая плоскость, которая проходит через центр
шара, делит его поверхность на две симметричные
и равные части.
Через две точки сферы, которые не лежат на концах
одного диаметра, можно провести окружность
большого круга, и только одну.
Окружности двух больших кругов при пересечении
делятся пополам.

15. Взаимное расположение сферы и плоскости

16. Взаимное расположение сферы и плоскости

17. Взаимное расположение сферы и плоскости

18. Плоскость, касательная к шару.

Касательной плоскостью к шаровой поверхности
называется плоскость, имеющая с этой
поверхностью только одну общую точку.
Плоскость, проходящая
через точку А шаровой
поверхности и
перпендикулярная радиусу,
проведенному в точку А,
называется касательной
плоскостью.
Точка А называется
точкой касания.

19.

• Касательная плоскость имеет с
шаром только одну общую точку –
точку касания. Прямая в
касательной плоскости шара,
которая проходит через точку
касания, называется касательной
шара в этой точке. Так как
касательная плоскость имеет с
шаром только одну общую точку, то
касательная прямая тоже имеет с
шаром только одну общую точку –
точку касания.

20. Теорема «Свойство касательной плоскости»

Радиус сферы, проведенный в
точку касания сферы и плоскости,
перпендикулярен к касательной
плоскости

21. Обратная теорема

Если радиус сферы
перпендикулярен к плоскости,
проходящей через его конец,
лежащий на сфере, то эта
плоскость является
касательной к сфера.

22. Поверхность шара и его частей.

Часть шаровой поверхности, которая
отделяется от шара какой-нибудь
плоскостью, называется сегментною
поверхностью.
Окружность пересечения СD
плоскости с шаровой поверхностью называется основанием,
а отрезок АВ = Н радиуса,
перпендикулярного к плоскости сечения, – высотой
сегментной поверхности.

23.

Часть шаровой поверхности, заключённая
между двумя параллельными секущими
плоскостями, называется шаровым поясом.
Окружности
сечения С1D1 и С2D2
называются основания
ми шарового пояса,
а расстояние АВ = Н
между параллельными
плоскостями –
высотой пояса.

24.

Площадь сферы и шара
Сферу нельзя развернуть на плоскость.
Опишем около сферы многогранник,
так чтобы сфера касалась всех его
граней.
За площадь сферы принимается предел
последовательности площадей
поверхностей описанных около сферы
многогранников при стремлении к нулю
наибольшего размера каждой грани
Площадь сферы радиуса R:
Sсф=4πR2
Sшара=4 Sкруга
т.е.: площадь поверхности шара
равна учетверенной площади
большего круга

25.

26. Шаровой сегмент

Шаровым сегментом
называется часть шара,
отсекаемая от него
какой-нибудь
плоскостью.

27. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРОВОГО СЕГМЕНТА

Площадь боковой поверхности шарового сегмента,
радиуса R и высотой h, выражается формулой
S 2 Rh.

28. Шаровой слой

• Шаровым слоем называется
часть шара, расположенная
между двумя
параллельными
плоскостями,
пересекающими шар.
• Круги, получившиеся в
сечении шара этими
плоскостями, называются
основаниями шарового
слоя.
• Расстояние между
плоскостями называется
высотой шарового слоя.

29. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРОВОГО ПОЯСА

Площадь боковой поверхности шарового пояса,
радиуса R и высотой h, выражается формулой
S 2 Rh.

30. Шаровой сектор

Шаровым сектором называется
тело, получаемое вращением
кругового сектора с углом,
меньше 90°, вокруг прямой,
содержащей один из
ограничивающих круговой
сектор радиусов.

31. Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9м2. Найдите площадь сферы.

Решение:
Сечение, проходящее через
центр сферы есть
окружность.
Sсеч =πr2,
9= πR2,
R=√9/π .
Sсферы=4 πr2 ,
Sсферы=4π · 9/π =36м2
Ответ: Sсферы=36м2

32.

Найти площадь поверхности сферы,
радиус которой = 6 см.
Дано:
сфера
R = 6 см
Найти:
Sсф = ?
Решение:
1. Sсф = 4πR2
2. Sсф = 4π 62 = 144π см2
Ответ: Sсф = 144π см2

33. Задание 1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхно­сти шара.

Задание 1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите
площадь поверхности шара.

34.

А
8
В
6
О
Дано: шар,
АВ = r = 8 см., ОА = d = 6 см.
Найти: D = СВ – диаметр шара.
Решение: D = 2 · R = 2 · OB.
Рассмотрим ΔОАВ –
прямоугольный
По теореме Пифагора:
ОВ2 = ОА2 + АВ2 = 62 + 82 = 100, ОВ = 10 см.
С
D = 2 · 10 = 20 см.
Ответ: 20 см.

35.

1. Расстояние от центра шара радиуса R=13 см. до секущей плоскости равно d
= 12 см. Вычислите :
а) радиус сечения; б) площадь сечения.
А
12
О
В
13
Решение:
а) ОАВ - прямоугольный
По теореме Пифагора
АВ2 = ОВ2 – АО2
= 132 – 122 = 25,
АВ = 5см.
б) Sсеч = π АВ2 = 25 π см2.
Ответ: 5 см.; 25 π см2.

36. Задание 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

37. Задание 3. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их

поверхностей

38.

Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью,
находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти
радиус сечения.
М
R
О d
К
Дано:
Шар с центром в т.О
R=41 дм
α - секущая плоскость
d = 9 дм
Найти: rсеч = ?
Решение:
Рассмотрим ∆ОМК – прямоугольный
ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r, r = R2 - d2
по теореме Пифагора: МК2 = r2 = 412- 92 = 1681 - 81=1600,
отсюда rсеч = 40 дм
Ответ: rсеч = 40 дм

39.

Найти площадь поверхности сферы,
радиус которой равен 6 см.
Дано:
сфера
R = 6 см
Найти:
Sсф = ?
Решение:
1. Sсф = 4πR2
2. Sсф = 4π 62 = 144π см2
Ответ: Sсф = 144π см2