перпендикулярность прямой и плоскости

1. Перпендикулярность прямой и плоскости

2.

Определение. Две прямые называются перпендикулярными,
если они пересекаются под прямым углом.
C
b
B
a
Теорема Если две пересекающие
прямые параллельны соответственно
A
двум перпендикулярным прямым,
то они тоже перпендикулярны.
1
C1
A1
a1
b1
B1

3.

Перпендикуляр и наклонная.
А
АВ - перпендикуляр, расстояние от точки
до плоскости.
В – основание перпендикуляра.
АС – наклонная, С- основание наклонной.
ВС – проекция наклонной
С
В

4.

Теорема о трёх перпендикулярах.
А1
А
Теорема Если прямая, проведённая
на плоскости через основание
наклонной, перпендикулярна её
проекции, то она перпендикулярна
наклонной.
Обратная теорема
С
Если прямая на плоскости
перпендикулярна наклонной, то она
перпендикулярна и проекции
наклонной.
с
В

5.

D
9 см
Задача . Стороны треугольника 15 см, 26 см и
37 см. Через вершину среднего по величине
угла проведён перпендикуляр в его плоскости,
равный 9 см. Найдите расстояние от концов
этого перпендикуляра до противоположной
А
стороны.
15 см
В
F
12 см
26 см
37 см
С
Решение: Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из
данной точки до прямой. Поэтому, из точки В опустим перпендикуляр ВF на прямую ВС.
По теореме о трёх перпендикулярах DF AC.
BF найдём из треугольника АВС.
Найдём площадь треугольника АВС по формуле Герона.
p = (a+b+c)/2 = (15+26+37)/2 = 39,
S = p( p a)( p b)( p c) 39 24 13 2 13 3 3 8 13 2 = 13·3·4 = 156 (см2).
1
S=
AC·BF,
BF = 2·S/AC= 2·156 / 26 = 12 см.
2
Треугольник DFB – прямоугольный.
По теореме Пифагора DF2 = DB2 + BF2 ,
DF2 = 81 + 144 = 225, DF = 15 см.
Ответ: 12 см и 15 см.

6.

7.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к третьей прямой, то и другая
прямая перпендикулярна к этой прямой.
Дано: a║b; a┴с
a
Доказать: b┴c
Доказательство:
b
c
M
C
A
Проведем CM║c, MA║a.
Так как a┴с, то └AMC=90
a║b (по условию)
MA║a.(по построению) =>
}
MA║b, MC║c
MA┴MC
}
=>
b┴c

8.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости,
если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей
в этой плоскости.
a
а┴

9.

10.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости.
а
а1
Дано: a║а1;
a ┴
Доказать: a1 ┴
Доказательство:
x
х
Так как a ┴
Значит по лемме а1 ┴ х
, то a ┴ х.
=> a1 ┴

11.

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к
плоскости, то они параллельны.
Дано: a┴ b┴
M
c
b b1
a
Доказать: a║b
Доказательство:
Через точку М прямой b
проведем b1║a, => b1┴
Докажем, что b и b1 совпадают
Допустим, что они не совпадают.
Тогда в плоскости через точку М
проходят две прямые ,
перпендикулярные к прямой с
но это невозможно. Значит а║b.

12.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Теорема:
Если прямая перпендикулярна к
двум пересекающимся прямым, лежащим в одной
плоскости, то она перпендикулярна к этой
плоскости.
A a
a
P
l
O
q
Q
m
L
p
Дано: a┴q, a┴p, q p =O
q p
Доказать: a ┴
Доказательство:
Проведем через точку О прямую
l║m. Отложим AO=OB (A,B a)
Проведем прямую b пересекающую
прямые l, p,q в точках L, P, Q
AB ┴ q, AB┴ p, AO=OB => q,p
серединные перпендикуляры к АВ
∆ABQ=∆BPQ (AP=PB, AQ=QB, PQ-общ) =>└APL=└BPQ
B
∆ABL=∆BPL (AP=PB, └APL=└BPQ,PL-общ)=>AL=BL
(l┴a, m║l)=>m┴a=>a┴
(AO=OB,AL=BL)=> l┴AB=>l┴a

13.

Теорема о прямой,
перпендикулярной к плоскости.
Через любую точку пространства проходит прямая,
перпендикулярная к данной плоскости, и при том
только одна.
.M
Дано: M,
Доказать: M с, c┴
Доказательство:
c
Проведем в плоскости прямую
а и рассмотрим плоскость
b
М
a
┴а.
∩ =b
В плоскости проведем прямую с┴b
с- искомая прямая
Предположим, что через точку М
проходит еще одна прямая с1 ┴
Тогда с1║ с, это невозможно, так как с1∩ с = М

14.

Перпендикулярность плоскостей.
Определение. Две пересекающиеся
плоскости называются
перпендикулярными, если третья
плоскость, перпендикулярная прямой
пересечения этих плоскостей
пересекает их по перпендикулярным
прямым.
a
с
b
Задание: Запишите краткую математическую запись определения.

15.

Признак перпендикулярности плоскостей.
b
Теорема Если плоскость
проходит через прямую,
перпендикулярную другой
плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
c
a
Задание: Запишите краткую математическую запись теоремы.

16.

Выполните тестовые задания в следующей
презентации.