5b557561a48ad1319e5d5db60057a39a

1. Лекция 26. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Теоремы о равномерной сходимости. Свойства

функциональных рядов. Степенные ряды.
Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного
ряда. Свойства степенных рядов.
1

2.

§ 1. Функциональные ряды.
Понятие функционального ряда. Сходимость.
Пусть дана последовательность функций
f1(x), f2(x), …. fn(x) определенная на некоторой
области.
Выражение вида: f1(x)+f2(x)+ …. +fn(x)+…
сокращенно записываемое как f n x ,
n 1
называется функциональным рядом.
При этом частичной суммой ряда называется
функция Sn(x) = f1(x)+f2(x)+ …. +fn(x).
2

3.

Определение (сходимости функций ряда).
Функциональный ряд f n x называется
n 1
сходящимся на множестве D G, если для всех
х D существует lim Sn x S x .
n
Функция
Sn(x)
называется
суммой
функционального ряда.
Функция S(x) должна быть определена на
области D.
Если предел в каких-то точках не существует, то
говорят, что функциональный ряд расходится.
3

4.

При каждом фиксированном значении х
функциональный ряд является числовым.
Поэтому все теоремы для числовых рядов
применимы и для функциональных при
фиксированных х.
Замечание: Для функциональных рядов
применяются признаки Даламбера и Коши,
состоящие в том, что признак Даламбера:
f n 1 x
, х – фиксирован.
lim
n f n x
В признаке Коши:
lim n f n x , х – фиксирован.
n
4

5.

Пример: x , х – переменная.
n
n 1
n
n
lim x x
n
х – фиксирован.
n
x
x
Если <1, то ряд
- сходится абсолютно,
n 1
x >1, то ряд x n - расходится.
n 1
Определение. Все множество значений х, при
котором ряд сходится, называется областью
сходимости функционального ряда.
5

6.

Схема определения сходимости.
1) Фиксируем х и составляем ряд из абсолютных
величин членов исходного ряда. Теперь
f n x - числовой ряд.
n 1
2) Применяем признаки Даламбера или Коши, из
которых получаем в качестве предела число l,
зависящее от x. Те x, при которых l(x) < 1 дают
область сходимости функционального ряда.
Если в некоторых точках l(x*) = 1, то проводится
дополнительное исследование числовых рядов
и точки, в которых эти ряды
вида f n x
n 1
*
6

7.

сходятся, присоединяют к области сходимости
функционального ряда.
Равномерно сходящиеся функциональные
ряды.
Считаем,
что
область
сходимости
D
представляет собой отрезок [a,b].
Пусть дан функциональный ряд f n x ,
n 1
сходящийся на [a,b] к своей сумме S(x). Это
означает, что в точке x0 для ε > 0, номер
N(ε,x0) : n > N(ε,x0) выполняется неравенство:
S(x0) – Sn(x0) < .
7

8.

А в другой точке x1 для ε > 0, номер N(ε,x1) :
n > N1(ε,x1) выполняется неравенство:
S(x1) – Sn(x1) < .
Существуют такие ряды, что сразу для всех
точек из области сходимости можно найти
номер, зависящий от , что из неравенства n > N
сразу следует неравенство S(x1) – Sn(x1) <
сразу для всех х.
Ряды, которые обладают такими свойствами и
называют равномерно сходящимися.
8

9.

Определение
(равномерно
сходящегося
ряда). Функциональный ряд f n x называется
n 1
равномерно сходящимся на [а, b] к своей сумме
S(x), если > 0 (сколь угодно малого) сразу
для всех х [а,b ], и не зависящих от х :
n > N выполняется неравенство S x Sn x
Геометрический смысл.
n > N S x Sn x
Чем больше номер суммы, тем ближе лежит к
сумме ряда. Начиная с некоторого n > N все
частичные суммы функционального ряда лежат
в полосе суммы ряда.
9

10.

Теорема (Вейерштрасса). Если
функциональный ряд f n x на [а, b]
n 1
мажорируется сходящимся
знакоположительным числовым рядом an ,an 0
n 1
(т.е. начиная с некоторого N сразу для всех
х [а, b], fn(x) an), то функциональный ряд
fn x
n 1
равномерно сходится на [а, b].
Без доказательства.
10

11.

Пример. sin nx
3
n 1
x
Так как sin(nx) < 1, значит
sin nx
1
3
3
x
n
1
Ряд 3 - сходится, значит равномерно
n 1 n
сходится и исходный ряд в силу теоремы
Вейерштрасса.
11

12.

Свойства равномерно сходящихся рядов.
Теорема 1. (О непрерывности суммы
равномерно сходящегося ряда). Если
функциональный ряд f n x на [а, b] таков, что:
n 1
1) равномерно сходится
2) функции fn(x) непрерывны на этом отрезке
для n N, тогда сумма этого ряда
непрерывна на этом отрезке, т.е.
lim f n x lim f n x , x0 a ,b .
x x0 n 1
n 1 x x0
и произвольна.
Без доказательства.
12

13.

Теорема 2. (Об интегрировании равномерно
сходящегося ряда). Если
функциональный ряд f n x на [а, b] таков, что:
n 1
1) равномерно сходится
2) функции fn(x) непрерывны на этом отрезке
для n N, тогда функциональный ряд можно
почленно интегрировать, причем:
b
b
a n 1
n 1 a
f n x dx f n x dx
Без доказательства.
13

14.

Теорема 3. (О почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда). Если
функциональный ряд f n x на [а, b] таков, что:
n 1
1) равномерно сходится
2) функции fn(x) и f n(x) непрерывны на этом
отрезке для n N,
3) Ряд f n x равномерно сходится на [а, b],
n 1
тогда функциональный ряд можно почленно
дифференцировать на [а, b], причем:
f n x f n x
Без доказательства.
n 1
n 1
14

15. § 2. Степенные ряды

Определение (степенного ряда).
n
Функциональный ряд
вида an z z0
n 0
называется степенным рядом с базисной
точкой z0.
При этом {an} – последовательность констант,
z – переменная, z0 – постоянная, z - z0 = х , то
Определение. Функциональный ряд an x
n
n 0
называется степенным с базисной точкой в нуле.
15

16. Теорема (Абеля). Если степенной ряд , где an – действительные числа, x – действительная переменная, таков что: 1) сходится в

n
a
x
Теорема (Абеля). Если степенной ряд n ,
n 0
где an – действительные числа, x –
действительная переменная, таков что:
1) сходится в точке x0, то он абсолютно сходится
для x < x0 ;
2) расходится в точке x0, то он расходится для
x > x0 ;
Доказательство. (Самостоятельно)
16

17.

Определение (радиуса сходимости степенного
ряда).
n
Если для ряда an x
n 0
существует действительное число R:
0 R + , такое что x < R ряд сходится,
x > R – расходится, то R называют радиусом
сходимости степенного ряда.
Определение (интервала сходимости
степенного ряда). Если R – радиус сходимости
степенного ряда an x n , то интервалом
n 0
сходимости данного степенного ряда называется
множество точек –R < x < R.
17

18.

Теорема (о радиусе сходимости степенного
ряда).
n
Для каждого степенного ряда an x
n 0
существует единственный радиус сходимости R,
который можно найти по одной из формул:
an
1
R lim
R lim
или
Без
n an 1
n n an
доказательства.
Замечание 1. Если имеется два степенных ряда
an x и an x x0 , то радиусы сходимости
n 0
n
n
n 0
этих рядов одинаковы, несмотря на то, что
базисные точки – разные.
18

19.

Замечание 2. Если радиус сходимости ряда
n
a
x
n R , то интервал сходимости – это
n 0
множество точек –R < x < R. Для ряда an x x0
n 0
радиус сходимости будет тот же, а интервал
сходимости изменится, он будет –R < x – x0 < R,
или x0 – R < x < R + x0.
Замечание 3. Так как степенной ряд может
сходиться на концах интервала сходимости, т.е.
при x = R, то после исследования степенного
ряда на сходимость в этих точках, концы
интервала сходимости присоединяют к интервалу
сходимости, если степенной ряд сходится в этих
точках.
n
19

20.

Свойства степенных рядов.
Теорема 1. (о равномерной сходимости
n
a
x
степенных рядов). Каждый степенной ряд n
n 0
равномерно сходится на любом отрезке
[-r ; r], содержащемся внутри интервала
сходимости (-R ; R).
Доказательство. (Самостоятельно)
Теорема 2. (о непрерывности суммы
n
степенного ряда). Сумма степенного ряда an x
n 0
непрерывна на любом отрезке [-r ; r],
содержащемся в (-R ; R).
Доказательство. (Самостоятельно)
20

21.

Теорема 3. (о радиусах сходимости степенных
рядов).
n
a
x
Если степенной ряд n имеет радиус
n 0
n 1
x
n
1
сходимости R, то ряды an nx
и an
n
1
n
0
n 1
имеют тот же радиус сходимости R.
Без доказательства.
21

22.

Теорема 4. (о дифференцировании и
интегрировании степенных рядов).
Всякий степенной ряд an x n на произвольном
n 0
отрезке [-r ; r] (-R ; R) можно:
1) Почленно дифференцировать. При этом:
n
an x an nxn 1
n 0
n 1
2) Почленно интегрировать. При этом:
x
a x n 1
n
n
a
x
dx
n
n 0 n 1
0 n 0
Без доказательства.
22

23.

§ 3. Приложения степенных
рядов.
1. Нахождение пределов последовательностей,
функций.
2. Вычисление производных.
3. Приближенные вычисления.
Самостоятельно.
23