первообразная и интеграл 2026 1 курс 2

1. Первообразная Интеграл

2. в тетрадьПонятие первообразной

Функцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x ) f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.

3.

в тетрадь
1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F (x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F (x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)

4. в тетрадьНеопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
Где С – произвольная постоянная (const).

5.

просмотретьПримеры
1. Adx Ax C ; Ax C A
2. e dx e С;
x
x
x
4. x dx
С;
4
3
x
cos x C sin x
3. sin xdx cos x С ;
4
e C e
x
x
1
С 4x 3 x 3
4
4
1
5.
dx tg x C ;
2
cos x
4
tg x C
1
2
cos x

6.

Три правила
нахождения интегралов
в справочник
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
f x g x dx f x dx g x dx
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf(х).
kf x dx k f x dx
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
есть первообразная для f(kx + b).
1
f kx b dx k F kx b C
1
k
F(kx + b)

7. Таблица неопределенных интегралов в справочник

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

8. Таблица неопределенных интегралов

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
dx
x
13.
arcsin C ..
a
a2 x2
14.
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
15.
dx
1
a x
ln
C .
2
2
2a a x
a x
16.
dx
x2 a
ln x x 2 a C .

9. Определенный интеграл в тетрадь и в справочник

b
f x dx F x F b F a
b
a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл
равен
площади
криволинейной
трапеции,
образованной линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x),
и прямыми у = 0; х = а; х = b.

10. в тетрадь Вычисление определенного интеграла

2
3x 2 x 1 dx x x x
2
3
2
2
1
1
23 22 2 13 12 1 6 1 5
10
3
2 x 6 x 6
x 6 dx
3
3
10
2 10 6 10 6 2 3 6 3 6 80
2
18 7
3
3
3
3

11. В справочникПлощадь криволинейной трапеции

Площадь
криволинейной трапеции
В справочник
y
D
C
b
S ABCD f x dx
a
F b F a
a
b
B
x=b
x=a
0
A
y=0
x

12. Площадь криволинейной трапеции (1) В справочник

y
B
b
y=0
x
b
S ABCD f x dx
D
C
x=b
a
x=a
0
A
a
F a F b

13.

Площадь криволинейной
y трапеции (2) В справочник
D
C
S PMCD S ABCD S ABMP
P
0
Aa
M
b B
b
b
a
a
f x dx g x dx
f x g x dxx
b
a

14.

y
Площадь криволинейной
трапеции (3) В справочник
D
0
A
a
P
C
S PMCD S ABCD S ABMP
B
b
M
b
b
a
a
x
f x dx g x dx
b
f x g x dx
a

15.

y
Площадь криволинейной
трапеции (4) В справочник
SАЕDВ SAEDC SСDB
D
с
b
a
с
f x dx g x dx
Е
0
Aa
с
C
b
B
x

16. Пример 1:

вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
В тетрадь
y
SВОС SABCD SABOCD
C
2
2
1
1
x 2 dx x 2 dx
B
A
-1
2
2
2
x
x
х 2 х 2 dx 2x
3 1
2
1
O
D
2
2
3
8 1
1
1
2 4 2 5 4,5
3 2
3
2
x