Определённый интеграл

1. ТЕМА 8. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

3.

Решение различных задач привело
к одной и той же математической
модели:
Для функции y=f(x) на отрезке [a;b]:
1.Разбить отрезок [a;b] на n равных частей
2.Составить сумму Sn =f(x0)·∆x0+…+ f(xn)·∆xn
3.Вычислить предел этой суммы при n→∞

4.

Пусть графически задана функция f(x),
непрерывная на своей области
определения D(f)
y
у= f(x)
0
x

5.

Будем рассматривать её на
отрезке [a, b] D( f )
y
У= f(x)
0
а
b
x

6.

Построим фигуру, ограниченную графиком
функции y = f(x), прямыми
x = а, x = b и у = 0.
Назовём её криволинейной трапецией ABCD:
C
у = f(x)
B
x=a
x=b
A
0
D
а
y=0
b
Поставим задачу нахождения её площади S
x

7.

Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками
х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0= a<x1<x2<…<xi<xi+1<xn=b)
произвольным образом
С
y
В
0
Аx0 x1 x2
x3
x4 x5 x6 x7 xn D
x
Через точки деления проведём прямые у = а, у=х1, у = х2, …
у = хi, y= xi+1,…, y= b. Этими прямыми трапеция ABCD
разбивается на полосы.

8.

Каждой полосе поставим в соответствие прямоугольник,
одна сторона которого есть отрезок [xi;xi+1], а смежная
y
сторона – это отрезок f(xi) (i=0…n-1)
С
В
0
Аx0 x1 x2
x3
x4 x5 x6 x7 xn D
x
Криволинейная трапеция заменится некоторой
ступенчатой фигурой, составленной из отдельных
прямоугольников

9.

y
С
В
0
A x0
x1 x2
x3
x4 x5 x6 x7 xn D
x
Основание i-го прямоугольника равно разности xi+1-хi, которую мы будем
обозначать через
i Высота i-го прямоугольника равна f(xi)
x

10.

Площадь i-го прямоугольника равна:
Si f ( xi ) xi
Сложив площади всех прямоугольников,
получаем приближенное значение площади S
криволинейной трапеции:
n 1
S f ( xi ) xi
i 0

11.

Точное значение площади S получается как
предел суммы площадей всех прямоугольников
S lim
x 0
n
f ( x ) x
i
i 0
i
Для обозначения предельных сумм вида
f(xi) xi немецкий учёный В.Лейбниц ввёл
символ
- интеграл функции f(x) от а до b
b
n
f ( x)dx lim f ( x ) x
a
x 0
i 0
i
i

12.

Если предел функции f(x) существует,
то f(x) называется
интегрируемой на отрезке [a, b].
Числа а и b называются нижним и верхним
пределом интегрирования.
При постоянных
пределах интегрирования
определённый интеграл
представляет собой определённое число.

13.

f (x)
- подынтегральная функция;
f ( x)dx - подынтегральное выражение;
a - нижний предел интегрирования;
b - верхний предел интегрирования.

14.

Теорема. Определенный интеграл не
зависит от выбора первообразной
для интегрирования функции.
Теорема. Для всякой, непрерывной на
отрезке [ a; b] функции, существует
соответствующий определенный
интеграл.
Доказательство основано на теореме
Коши, т.е. существует определенный
интеграл, значит, существует разность
значений первообразной.

15.

Свойства определенного интеграла
Пусть на отрезке (a; b) существует
определенный интеграл
b
a
f ( x)dx F (b) F (a), где F ' ( x) f ( x)
b
b
a
a
a
1. f ( x)dx f (t )dt
2. f ( x)dx 0
a

16.

b
a
a
b
3. f ( x)dx f ( x)dx
4. Константу как множитель можно
выносить за знак определенного
интеграла.
5. Определенный интеграл от
суммы конечного числа
непрерывных функций равен сумме
определенных интегралов от этих
функций.

17.

6. Если подынтегральная функция f
неотрицательна, то и определенный
интеграл от нее неотрицателен.
(x)
7. Теорема о среднем
Если f (x ) - непрерывная функция, то
определенный интеграл равен:
b
a
f ( x)dx (b a) f (c), c (a; b)

18.

Геометрический смысл определенного
интеграла
b
Теорема. Определенный интеграл
f ( x)dx от
a
непрерывной неотрицательной f (x )на отрезке
[иa; b] численно равен площади прямолинейной
трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми x с a,
xи b и графиком функции y f (x).
y
y f (x)
a
x
0
b

19.

Следствие.
Если линейная трапеция ограничена графиком
функции y f (x), y g (x), прямыми x aб, xб бb,
бf ( x) g ( x) для x ( a; b), площадь
вычисляется по формуле:
b
S ( f ( x) g ( x))dx
y
a
y f (x)
y g (x)
x
0
a
b

20.

Связь и отличие определенных и
неопределенных интегралов
Связь:
Как в неопределенном, так и
в определенном интеграле
нужно находить
первообразную для функции
f (x ).

21.

Отличие:
Неопределенный интеграл –
общее выражение для всех
первообразных, определенный
интеграл – это число.

22. Теорема о существовании определенного интеграла

Теорема.
Если функция f x непрерывна на
отрезке a, b , то
n
f xi xi
lim
max xi 0 i 1
существует и конечен, т.е.
b
существует и конечен f x dx .
a

23. Свойства определенного интеграла

a
1. f x dx 0 ;
a
b
2. dx b a ;
a
b
a
3. f x dx f x dx ;
a
b
b
4. f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
a
b
b
a
a

24. Свойства определенного интеграла

b
b
a
b
a
5. Kf x dx K f x dx ;
c
b
a
c
6. f x dx f x dx f x dx ;
a
b
7. f x dx 0 , если f x 0 .
a

25. Теорема о среднем

Если функция непрерывна на
существует такая точка
b
что
f ( x)dx f ( )(b a).
a
y f (x)
a
b
то[ a, b],
[a, b],

26. Вычисление определенного интеграла

Теорема.
Пусть F x - первообразная функции f x .
b
Тогда f x dx F b F a .
a
Эту формулу называют формулой
Ньютона-Лейбница, из которой следует,
что для вычисления определенного
интеграла необходимо найти
первообразную подынтегральной функции.

27. Формула Ньютона-Лейбница

b
a
Исаак Ньютон
1642-1727
f ( x)dx F (b) F (a ),
где F(x) – первообразная
для функции f(x) Или
b
b
a
a
f ( x)dx F ( x)
Формула Ньютона-Лейбница:
b
b
f ( x)dx F ( x)
a
F (b) F (a)
a
Готфрид Лейбниц
1646-1716

28. Вычисление определённого интеграла

Вычислить интеграл:
2
2
2
2
2 Формула
Постоянный
множитель
Ньютона-Лейбница:
dx можно
от
суммы
функций
равен
3 вынести
( 2 Интеграл
3x3 1за
)dx
2
3
x
dx
dx
2
знак
интеграла
сумме интегралов
x
x
1
1
2
1
4 2
1
4
2
1
x
2 3x
2
b 2( ) 3
x b1 ( b x)
xf ( x1 b)dx4 1F ( x) b Fx (b)4 F (a )1
( f ( x) gkf( x( x)))dx k f (fx()xdx
)dx g ( x)dx
a
3 a aa
1 a
a
a
( 1 12 2) (2 1) 11
4
4
1
Ответ : 11
4
b
b

29. Пример

Вычислить
3
e
x .
3 dx
0
0
3
1 3 1 0
e 3 e 3
3
0
0
1 e
1
1
3 e 1 3 1 3
e
e
x
1
3
3 x
e 3 dx e 3 dx
1
x
3e 3

30. Вычисление интеграла

Теорема (Замена переменной в
определенном интеграле).
Пусть f x непрерывна на a, b , а
функция x t непрерывна вместе
со своей производной t на
отрезке , , причем a ,
b .

31.

b
Теорема. Дано:
f ( x)dx, f ( x) (a; b).
a
Введем новую переменную,
связанную с
x формулой x (t ),
(tb) непрерывна на отрезке ; ,
при этом ( ) a,
( ) b
b
a
Тогда :
f x dx f t t dt

32.

тогда
b
a
x (t )
dx ' (t ) dt
f ( x)dx
x a b
t
f ( (t )) ' (t )dt F (t ) F ( ) F ( )

33. Пример

x 1 t
x 1 t 2
3
xdx
2 t2
x t 1, dx 2tdt
1
x 1
x 0, t 1
0
2
1
2tdt
t
x 3, t 2
2
t
8
1
2 t 1 dt 2 t 1 dt 2
t
2 2 1
3
1
1
3
3
1
2
2
2
2
3
1
4 8
8
7
2 2 1 2 1 2
3
3 3
3
3

34.

Теорема (Интегрирование по
частям в определенном
интеграле).
Если функции u u x , v v x и их
производные u x и
v x непрерывны на отрезке a, b , то
b
b
a
a
b
udv u v vdu .
a

35. Пример

dx
u ln x, du
e e dx
x x ln x 1 x
ln xdx
x
1
1
dv dx, v x
e
x ln
e
x1
e
e
dx e ln e ln 1 x 1
1
e e 1 1

36. Несобственный интеграл

Замечание.
f x dx не является определенным интегралом.
a
Считается по определению, что
b
f x dx lim f x dx . Если этот предел
a
b a
конечен, то f x dx , называемый
a
несобственным, сходится.
Если же этот предел не является конечным, то
интеграл расходится.

37. Пример

. Вычислить несобственный интеграл
0
xdx
x2 4
(или установить его расходимость)
b
b
xdx
1
d ( x 2 4) 1
.
2
lim
lim ln( x 4)
x
0
2
4
2 b 0 x 2 4
2 b
0
1
lim (ln(b 2 4) ln 4)
2 b
Этот несобственный интеграл расходится.

38. Пример

Несобственный интеграл
0
dx
2
x 4
1
b 1
lim arctg arctg ( )
b 2
2 2
2 2 4

39. 1. Вычисление площадей

Площадь фигуры в декартовых координатах:
y
y f x
Площадь такой
фигуры, называемой
криволинейной
трапецией,
вычисляют по
x
b
формуле S f x dx .
a
0
a
b

40. Вычисление площадей

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных
функций y f 1 x , y f 2 x , f1 x f 2 x и двумя прямыми
b
x a и x b определяется по формуле S f 2 x f1 x dx
a

41. Вычисление площадей

В случае параметрического задания
кривой, площадь фигуры, ограниченной
прямыми x a, x b, осью Ох и кривой
x (t ), y (t ), вычисляют по
формуле
t2
S (t ) (t )dt ,
где пределы интегрирования
определяют из
t1
.
уравнений
.
a (t1 ), b (t 2 )

42. Вычисление площадей

Площадь полярного сектора вычисляют
по формуле
1 2
S r ( )d
2
r r ( )
.
β
α

43. Примеры

Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
и
y x 2 2x 3
y x 2 1

44. Продолжение

Получим
S x 2 x 3 x 1 dx 2 x
1
2
1
2
1
x
x
2 x x 2 dx 2
2x
3
2
2
2
1
2
3
2
2 x 4 dx
2
2
2
1 1
8
8 4
1 1
2 2 4 2 2 6
3
3 2
3 2
3 2
1
9
2 3 8 2 9
2
2

45. Примеры

x2 y2
Найти площадь эллипса 2 2 1 .
a
b
Параметрические уравнения эллипса
x a cos t , y b sin t.
0
S 4 b sin t ( a sin t )dt
/2
у
/2
b
4ab sin tdt 4ab
2
х
о
/2
a
0
0
1 cos 2t
dt
2
1
1
/2
4ab(t sin 2t ) 0 2ab ab.
2
2
2

46. Пример

Площадь фигуры, ограниченной
2
лемнискатой Бернулли
r
и лежащей вне круга радиуса
1
2
/6
1
0 a cos 2 d 2
2
/6
0
a cos 2
2
:
r
a
2
/6
2
a
1 2
1 2
d ( a sin 2 a )
2
4
4
0
1 2
a2
3
a2
a (sin )
(
)
( 3 )
4
3 6
4 2 6
8
3
a2
S
( 3 )
2
3

47. Вычисление длины дуги

Если кривая задана параметрическими
уравнениями
, t y , тоtдлина
x
ее дуги
t2
l
t 2 t ,2 dt
–значения параметра,
где
t1
соответствующие
концам дуги .
t ,t
1 2

48. Длина дуги в декартовых координатах

Если кривая задана уравнением
,y f x
b
2, где a, b–абсциссы
то l
1 f x dx
начала и конца дуги
.
a
a b
Если кривая задана
d уравнением
2
,
то
, где c d
l
1
g
y
dy
x g y
c, d–ординаты начала
и конца дуги
c

49. Длина дуги в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в
полярных координатах
, то
l
2 2 d
,
где
–значения полярного угла,
соответствующие
концам дуги .
,

50. Примеры

y x
Вычислить длину дуги кривой
от точки
до
.
O 0,0
B 4,8
3 1
, тогда
y x x 2
2
4
4
9
4
9 9
l 1 x dx
1 xd 1 x
4
90
4 4
0
3
2
4 2 9
1 x
9 3 4
3
2
4
0
8
10 10 1
27
3

51. Вычисление объема тела вращения.

Объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ox криволинейной трапеции,
ограниченной кривой
, отрезком
y
f
x
оси абсцисс
и прямыми
, вычисляется по формуле a x b
.
x a , xb b
Vx π
f x dx
2
a

52. Вычисление объема тела вращения

Объем тела, образованного вращением
вокруг оси Oy фигуры, ограниченной
кривой
, отрезком оси ординат
и прямымиx g y , вычисляется по
y c, y d
формуле c y d
d
Vy
g
y
2
c
.
dy

53. Вычисление объема тела вращения

y x2
y
y
1
А
0
1
Рис. 14
x
Искомый объем
можно найти как
разность объемов,
полученных
вращением вокруг
оси Ox
криволинейных
трапеций,
ограниченных
линиями
и
y x
y x
2

54. Решение

Тогда
1
x dx x dx
1
Vx
2
0
1
1
0
2 1
x
xdx x dx
2
0
0
4
3
2 5 10
0
2 2
5 1
x
5
0