геометрия 10 класс 2 урок

1.

ГЕОМЕТРИЯ
10 КЛАСС

2.

РАБОТАЕМ УСТНО
Сформулируйте аксиому А₁ и приведите
пример, который её иллюстрирует.
Объясните содержание аксиомы А₂ и укажите,
как она используется на практике.
Сформулируйте аксиому А₃ и приведите
наглядную иллюстрацию из повседневной жизни,
которая её демонстрирует.
Верно ли утверждение, что любые три точки
лежат в одной плоскости? А любые четыре точки?

3.

Назовите:
Каким плоскостям принадлежат точки
M
P
K
Каким плоскостям принадлежат
прямые
MN
KF
В какой точке пересекаются
MN и (AA1B1)
MN и (A1B1D1)
MN и (ABC)
MN и (CC1D1)
AD

4.

НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ
АКСИОМ.
п. 3.

5.

Теорема 1.
Через прямую и не лежащую на ней
точку проходит плоскость, и притом
только одна.
Доказательство
Рассмотрим прямую а
и не лежащую на ней
точку М. Докажем, что
через прямую а и точку
М проходит плоскость.
1.
Отметим на прямой а две
точки Р и Q.
2.
Точки М, Р и Q не лежат на
одной прямой, поэтому согласно
аксиоме А₁ через эти точки
проходит некоторая плоскость α.

6.

Теорема 1.
Рассмотрим прямую а
и не лежащую на ней
точку М. Докажем, что
через прямую а и точку
М проходит плоскость.
3.
Так как две точки прямой а (Р
и Q) лежат в плоскости α, то по
аксиоме А₂ плоскость α проходит
через прямую а.
4.
Единственность
плоскости,
проходящей через прямую а и
точку М, следует из того, что
любая плоскость, проходящая
через прямую а и точку М,
проходит через точки М, Р и Q.

7.

Теорема 1.
5.
Следовательно, эта плоскость
совпадает с плоскостью α, так как
по аксиоме A₁ через точки М, Р и
Q проходит только одна плоскость.
Теорема доказана.
Рассмотрим прямую а
и не лежащую на ней
точку М. Докажем, что
через прямую а и точку
М проходит плоскость.

8.

Теорема 2.
Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и при том только
одна.
Доказательство
1.
Рассмотрим прямые а и b,
пересекающиеся в точке М,
и докажем, что через эти
прямые проходит
плоскость, и притом только
одна.
Отметим на прямой b какуюнибудь точку N, отличную от
точки М, и рассмотрим плоскость
α, проходящую через точку N и
прямую а.

9.

Теорема 2.
Рассмотрим прямые а и b,
пересекающиеся в точке М,
и докажем, что через эти
прямые проходит
плоскость, и притом только
одна.
2.
Так как две точки прямой b
лежат в плоскости α, то по
аксиоме А₂ плоскость α проходит
через прямую b. Итак, плоскость α
проходит через прямые а и b.

10.

Теорема 2.
Рассмотрим прямые а и b,
пересекающиеся в точке М,
и докажем, что через эти
прямые проходит
плоскость, и притом только
одна.
3.
Единственность
такой
плоскости следует из того, что
любая плоскость, проходящая
через прямые а и b, проходит
через точку N. Следовательно, она
совпадает с плоскостью
α,
поскольку через точку N и прямую
а проходит только одна плоскость.
Теорема доказана.

11.

ABCD – ромб, О – точка
пересечения его диагоналей, М –
точка пространства, не лежащая
в плоскости ромба. Точки A, D, О
лежат в плоскости α.
Установите:
А)
Лежат ли в плоскости α точки
В и С?
Б)
Лежит ли в плоскости МОВ
точка D?

12.

Решение:
Б)
А)
1.
т.к. D ∈ α, O ∈ α ⇒ по
аксиоме А2 DO ⊂ α. Точка B
лежит на продолжении прямой
DO ⇒ B ∈ α.
2.
Аналогично можно доказать,
что точка C ∈ α.
B ∈ (MOB), O ∈ (MOB) ⇒ BO ⊂ (MOB). Точка D лежит
на продолжении прямой BO ⇒ D ∈ (MOB).

13.

Вычислите площадь ромба,
если сторона его равна 4 см, а
угол равен 60°.
В △ABH: ∠ABH = 30° ⇒
AH = ½AB = 2 см.
По теореме Пифагора

14.

ДОМА
п. 3 учить записи,
№ 6, 8