Стереометрия. 1 урок. 10 класс

1.

СТЕРЕОМЕТРИЯ
1 урок

2.

«планиметрия» – наименование
смешанного происхождения: от
греч. metreo – измерять
и лат. planum – плоская
поверхность (плоскость)
ПЛАНИМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ на плоскости
ГЕОМЕТРИЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
ГЕОМЕТРИЯ в пространстве
«стереометрия» – от греч.
stereos – пространственный
(stereon – объем).

3.

Изучая СТЕРЕОМЕТРИЮ
Мы проведем систематическое рассмотрение
свойств геометрических тел в пространстве.
Освоим различные способы вычисления
практически важных геометрических величин.
При этом мы будем развивать
пространственное воображение и логическое
мышление

4.

Мы знаем, что
ГЕОМЕТРИЯ возникла из
практических задач людей;
ГЕОМЕТРИЯ лежит в основе всей
техники и большинства изобретений
технику,
человечества;
инженеру,
ГЕОМЕТРИЯ нужна
рабочему,
архитектору,
модельеру …

5.

«Мой карандаш, бывает еще
остроумней моей головы»
Леонард Эйлер (1707—1783).
ВЫВОД:
Интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со
строгой логикой мышления — это ключ к изучению стереометрии

6.

Что будем изучать
Аксиомы стереометрии
Параллельность прямых и плоскостей
Учебный материал
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Векторы в пространстве

7.

Основные понятия стереометрии
точка,
А
прямая,
плоскость,

8.

Прочти чертеж
С
A
A
C

9.

Прочти чертеж
c
b
B
a
a
b B
c

10.

Прочти чертеж
c
c

11.

Аксиомы стереометрии
Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает
истинное, исходное положение теории.
Система аксиом стереометрии дает описание
свойств пространства и основных его элементов
Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние»
принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в
аксиомах

12.

Аксиомы стереометрии
Какова бы ни была плоскость, существуют точки в
пространстве, принадлежащие этой плоскости, и
точки, не принадлежащие ей.
А-1
Р
С
К
А
В

13.

Аксиомы стереометрии
А-2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки
прямой лежат в этой плоскости.
Если
М, C
М, C m,
то
m

14.

Аксиомы стереометрии
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют
общую прямую, на которой лежат все общие точки
этих плоскостей.
А-3
М , М , М m
М
m , m
=m

15.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Через любую прямую и не принадлежащую ей точку
можно провести плоскость, и притом только одну.
Т-1
Дано: М m
В
А
м
Доказательство
Пусть точки A, B m.
Так как М m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой.
По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM),
Обозначим её . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно,
по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости ..
Таким образом, плоскость проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует.
Предположим, что есть другая плоскость — , проходящая через прямую m и точку M.
Тогда плоскости и проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а
значит, совпадают. Следовательно, плоскость единственна.
Теорема доказана

16.

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Через любые две пересекающиеся прямые можно
провести плоскость, и притом только одну.
Т-2
n
м
N
Дано: m n = M
Доказательство
Отметим на прямой m произвольную точку N,
отличную от М.
Рассмотрим плоскость =(n, N). Так как M и N , то по А-2 m . Значит
обе прямые m, n лежат в плоскости и следовательно , является искомой
Докажем единственность плоскости . Допустим, что есть другая, отличная от
плоскости и проходящая через прямые m и n, плоскость .
Так как плоскость проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T1 она совпадает с плоскостью . Единственность плоскости доказана.
Теорема доказана

17.

ВЫВОД
Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
По трем точкам, не лежащим на одной прямой
По прямой и точке, не лежащей на этой прямой
По двум пересекающимся прямым

18.

В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные
расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга
Определите: верно, ли суждение?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
ДА
Любые три точки лежат в одной плоскости.
НЕТ
Любые четыре точки лежат в одной плоскости.
Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
НЕТ
Через любые три точки проходит плоскость и при том
НЕТ
только одна.
Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то
ДА
она лежит в плоскости треугольника.
Если прямая проходит через вершину треугольника, то НЕТ
она лежит в плоскости треугольника.
НЕТ
Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. ДА

19.

ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ
1.
2.
Сколько существует способов задания плоскости?
Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?
а)
б)
в)
г)
д)
е)

20.

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ
ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ
УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И
НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ
ОБРАЗОВАНИЮ.»
Я. А. КОМЕНСКИЙ.