Система отсчёта: траектория, путь и перемещение

1. Система отсчёта.

ТРАЕКТОРИЯ, ПУТЬ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ.

2.

Любое движение относительно.
Абсолютного покоя в природе нет.
Чтобы описать движение, нам нужно
условиться, относительно чего мы его
рассматриваем.

3. Определение системы отсчета

Механическое движение тела представляет собой изменение его
положения в пространстве относительно других тел с течением
времени. Для количественного описания этого изменения
необходимо определить:
1. Тело, принимаемое за неподвижное.
2. Способ задания координат точек пространства.
3. Способ измерения времени.
Совокупность этих трех элементов образует систему отсчета.
Формальное определение: Система отсчета есть множество,
состоящее из тела отсчета, связанной с ним системы координат и
синхронизированных часов.

4. Компоненты системы отсчета

Тело отсчета — материальный объект, относительно которого рассматривается
движение других тел. В классической механике тело отсчета полагается абсолютно
твердым, а его движение игнорируется в рамках данной задачи.
Система координат — математический аппарат для определения положения точки в
пространстве. В школьном и вузовском курсе преимущественно используется
декартова прямоугольная система координат, задаваемая тремя взаимно
перпендикулярными осями (X, Y, Z) с общим началом в точке, принадлежащей телу
отсчета. Положение материальной точки определяется радиус-вектором, проекции
которого равны координатам x,y,z.
Часы — прибор, фиксирующий длительность временных интервалов. В
классической ньютоновской механике постулируется абсолютность времени:
временной интервал между двумя событиями одинаков во всех системах отсчета.

5. Траектория

Траектория — непрерывная линия в трехмерном евклидовом пространстве, которую
описывает материальная точка при своем движении относительно выбранной системы
отсчета.
Для описания траектории в пространстве достаточно задать зависимость между
координатами движущейся точки. Это может быть сделано различными способами,
однако во всех случаях траектория определяется исключительно геометрическими
соотношениями между координатами и не содержит параметра времени.
По форме траектории механическое движение подразделяется на два основных типа:
1.
Прямолинейное движение — траектория представляет собой отрезок прямой линии.
Необходимым и достаточным условием прямолинейности является коллинеарность
вектора скорости и вектора ускорения (или равенство ускорения нулю).
2.
Криволинейное движение — траектория является кривой линией (окружность, эллипс,
парабола, гипербола, спираль и т.д.). Кривизна траектории определяется наличием
нормальной (центростремительной) составляющей ускорения.

6. Путь

Путем называется скалярная физическая величина, равная длине участка траектории, пройденного
движущейся материальной точкой за рассматриваемый промежуток времени. Иными словами, путь
есть сумма длин всех элементарных отрезков, из которых состоит траектория в пределах данного
временного интервала.
Путь является скалярной величиной. Это означает, что для его задания достаточно указать числовое
значение и единицу измерения. Путь не имеет направления. Он всегда выражается положительным
числом, если точка совершала движение. Путь не может быть отрицательным или равным нулю при
наличии движения.
1.
Первое свойство пути — его неотрицательность.
2.
Второе свойство — аддитивность: полный путь, пройденный за несколько последовательных
промежутков времени, равен сумме путей, пройденных за каждый из этих промежутков в отдельности.
3.
Третье свойство — монотонное возрастание: при непрерывном движении путь с течением времени не
уменьшается, а только увеличивается или остается неизменным в случае остановки.
Путь существенно зависит от формы траектории. При одном и том же начальном и конечном
положениях тела путь может быть различным в зависимости от того, по какой линии происходило
движение. Чем более извилистой является траектория, тем большее значение принимает пройденный
путь при неизменных начальной и конечной точках.

7. Перемещение

Перемещением называется векторная физическая величина, характеризующая
изменение положения материальной точки в пространстве за данный промежуток
времени. Перемещение определяется как вектор, проведенный из начального
положения точки в её конечное положение.
Перемещение является векторной величиной. Это означает, что для его полного
задания необходимо указать не только численное значение, но и направление в
пространстве. Вектор перемещения направлен по кратчайшему расстоянию
между начальной и конечной точками движения.
Фундаментальным свойством перемещения является его независимость от формы
траектории. Перемещение определяется исключительно координатами начальной
и конечной точек и не зависит от того, по какому пути двигалась точка между этими
точками. Если тело возвращается в исходную точку, его полное перемещение за
время движения оказывается равным нулю, независимо от длины пройденного пути.

8.

В прямоугольной системе координат вектор перемещения может
быть охарактеризован своими проекциями на оси координат.
Каждая проекция представляет собой изменение
соответствующей координаты: конечное значение минус
начальное. Проекции перемещения могут быть положительными,
отрицательными или нулевыми, в зависимости от направления
смещения относительно положительного направления оси.
Поскольку перемещение является вектором, оно подчиняется
правилам векторного сложения. Полное перемещение за
несколько последовательных этапов движения равно векторной
сумме перемещений на каждом из этапов. Это свойство
используется при анализе сложных движений, состоящих из
нескольких участков.

9. Задания

Пассажир сидит в кресле движущегося самолета. Относительно
каких тел пассажир находится в состоянии покоя, а относительно
каких — движется?
Мальчик уронил мяч в вагоне поезда. Поезд движется прямолинейно
и равномерно. Где упадет мяч: строго под точку бросания или
сместится назад/вперед, если рассматривать систему отсчета,
связанную с землей?
Два автомобиля движутся по прямой дороге в одном направлении с
одинаковыми скоростями 60 км/ч. Какая скорость одного
автомобиля относительно другого?

10. Задания

Турист прошел по прямой дороге на север 4 км, а затем
развернулся и прошел на юг 2 км. Чему равен пройденный
туристом путь и чему равен модуль его перемещения?
Спортсмен пробежал дистанцию 100 метров по прямой дорожке
от старта до финиша. Чему равен его путь и чему равно
перемещение?
Автомобиль проехал по шоссе из города А в город Б (расстояние
30 км), а затем развернулся и вернулся обратно в город А. Чему
равен путь автомобиля за всю поездку и чему равен модуль его
перемещения?

11. Задания

Пешеход прошел 300 метров на восток, затем повернул под прямым
углом и прошел еще 400 метров на север.
Вычислите: а) пройденный путь; б) модуль вектора перемещения.
Мяч упал с высоты 5 метров, отскочил от пола и поднялся на высоту 2
метра, после чего его поймали на лету. Чему равен путь,
пройденный мячом, и чему равен модуль его перемещения?
Человек обошел вокруг квадратной площади со стороной 100
метров, вернувшись в точку старта. Чему равен его путь и чему равно
перемещение?

12. Задания

Тело двигалось вдоль оси X. Сначала оно переместилось из точки с координатой 10
м в точку с координатой 25 м, а затем из точки 25 м в точку с координатой 5 м.
Определите: а) общий пройденный путь; б) модуль конечного перемещения (из
начальной точки с координатой 10 м в конечную точку с координатой 5 м).
Катер плывет по озеру. Сначала он проходит 600 метров на запад, затем
поворачивает на юг и проходит 800 метров, после чего поворачивает на восток и
проходит еще 600 метров. Найдите путь катера и модуль его перемещения из
начальной точки.
Материальная точка начала движение в точке с координатами (2; 3) и
переместилась в точку с координатами (5; 7). Затем она переместилась в точку (-1;
-1). Найдите путь (считая, что оба перемещения были прямолинейными) и модуль
общего перемещения.

13. Задания посложнее

Тело движется по окружности радиусом 2 метра. Оно проходит дугу, соответствующую
центральному углу 180 градусов (половина окружности). Найдите пройденный путь и
модуль перемещения тела.
Материальная точка движется по окружности радиусом 1 метр. Она совершает три
полных оборота, а затем останавливается в исходной точке. Чему равен путь точки и
чему равно её перемещение?
Конькобежец бежит по ледовой дорожке, имеющей форму полуокружности
радиусом 100 метров. Он стартует в начале полуокружности и финиширует в её конце.
Найдите длину пути, который пробежал конькобежец, и расстояние по прямой между
стартом и финишем.
Точка движется по окружности радиусом 0,5 м. Она прошла четверть окружности (дуга
в 90°). Во сколько раз пройденный путь больше модуля перемещения? (Ответ дайте в
виде числа, используя π).

14. Задания посложнее

Тело начало движение из точки А в точку В, расстояние между которыми 30
метров. Дойдя до точки В, оно мгновенно развернулось и пошло обратно к точке
А, но остановилось, не дойдя до А 10 метров. Определите пройденный телом
путь и расстояние от начальной точки до конечной (модуль перемещения).
Мяч бросили вертикально вверх с балкона, высота которого над землей
составляет 15 метров. Мяч поднялся на 5 метров выше балкона, затем упал на
землю. Найдите путь, пройденный мячом, и модуль его перемещения.
Автомобиль начал движение от светофора. Он проехал 200 метров прямо,
затем развернулся и проехал обратно 80 метров, после чего заглох. Чему равен
путь автомобиля и чему равно его перемещение относительно точки старта?

15. Задания посложнее

Турист прошел 6 километров строго на восток, затем повернул под прямым
углом и прошел 8 километров строго на север. Вычислите длину всего
маршрута (путь) и расстояние от начальной точки до конечной (модуль
перемещения).
Два пешехода вышли из одного пункта. Первый прошел 9 км на юг, второй
прошел 12 км на запад. Чему равно расстояние между пешеходами после
окончания движения?
Самолет пролетел 400 км строго на север, затем развернулся и пролетел 300
км строго на запад. Найдите путь самолета и модуль его перемещения
относительно аэропорта вылета.

16. Задания посложнее

Внутри движущегося автобуса пассажир проходит от задней двери к передней со
скоростью 1 м/с относительно автобуса. Автобус движется относительно земли
со скоростью 10 м/с вперед.
За время перехода пассажира (5 секунд) автобус проехал 50 метров.
Каково перемещение пассажира относительно земли, если известно, что длина
автобуса 5 метров? (Движение прямолинейное).
Два катера движутся по озеру навстречу друг другу. Скорость первого
относительно воды 8 м/с, второго — 6 м/с. Расстояние между ними в начальный
момент времени 700 метров. Через сколько времени они встретятся?
Эскалатор метро движется вверх со скоростью 0,8 м/с относительно стен.
Человек стоит на эскалаторе неподвижно относительно его ступеней. Чему равен
путь человека относительно земли за 20 секунд? Чему равно его перемещение
относительно земли? Чему равен путь человека относительно эскалатора?