Решение задач на вычисление площадей поверхностей многогранников

1.

Решение задач на вычисление площадей
поверхностей многогранников

2.

Задача 1
Найдите полную поверхность прямой призмы, в основании которой лежит треугольник со сторонами 5, 4, 3 см, а боковое ребро равно 5 см.
Дано: ABCA₁B₁C₁ — прямая призма
AC = 5 см, AB = 4 см, BC = 3 см, AA₁ = 5 см
Найти: Sполн
Решение:
Sполн = Sбок + 2Sосн
Sбок = P · h, P = 5 + 4 + 3 = 12 см
Sбок = 12 · 5 = 60 см²
Sосн по формуле Герона:
p = 12/2 = 6
Sосн = √(6·1·2·3) = √36 = 6 см²
Sполн = 60 + 2·6 = 72 см²
Ответ: 72 см²

3.

Задача 2
Найдите полную поверхность прямой призмы, в основании которой лежит параллелограмм со сторонами 3 и 6 см и углом между ними 60°,
а боковое ребро равно 8 см.
Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямая призма
AB = 3 см, AD = 6 см, ∠BAD = 60°, AA₁ = 8 см
Найти: Sполн
Решение:
Sполн = Sбок + 2Sосн
P = 2(3 + 6) = 18 см
Sбок = 18 · 8 = 144 см²
Sосн = a · b · sinα
Sосн = 3 · 6 · sin60° = 9√3 см²
Sполн = 144 + 18√3 = 18(8 + √3) см²
Ответ: 18(8 + √3) см²

4.

Задача 3
Найдите площадь осевого сечения прямоугольного параллелепипеда и его полную поверхность, если стороны основания 6 и 8 см, а боковое
ребро равно 9 см.
Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоуг. пар-д
AB = 6 см, AD = 8 см, AA₁ = 9 см
Найти: Sсеч, Sполн
Решение:
BB₁D₁D — осевое сечение
BD² = 6² + 8² = 100 → BD = 10
Sсеч = 10 · 9 = 90 см²
Sполн = Sбок + 2Sосн
P = 2(6 + 8) = 28, Sбок = 28 · 9 = 252
Sосн = 6 · 8 = 48
Sполн = 252 + 2·48 = 348 см²
Ответ: Sсеч = 90 см², Sполн = 348 см²

5.

Задача 4
Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям: 2, 3, 6 см.
Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоуг. пар-д
AB = 2 см, AD = 3 см, AA₁ = 6 см
Найти: A₁C
Решение:
По теореме о диагонали:
d² = a² + b² + c²
A₁C² = 2² + 3² + 6² = 49
A₁C = 7 см
Ответ: 7 см

6.

Задача 5
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что BD₁ = 5, CC₁ = 3, B₁C₁ = √7. Найдите длину ребра AB.
Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоуг. пар-д
BD₁ = 5, CC₁ = 3, B₁C₁ = √7 см
Найти: AB
Решение:
d² = a² + b² + c²
d = BD₁, c = CC₁, b = B₁C₁
5² = a² + (√7)² + 3²
25 = a² + 7 + 9
a² = 9 → a = 3
Ответ: 3

7.

Задача 6
Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а радиус окружности, вписанной в её основание, равен 6 см. Найдите апофему и
площадь полной поверхности пирамиды.
Дано: SABC — прав. пирамида
h = 8 см, r = 6 см
Найти: l, Sполн
Решение:
ΔSOM: ∠SOM = 90°
SM² = SO² + OM² = 8² + 6² = 100
SM = l = 10 см (апофема)
r = a√3/6 → a = 2r√3 = 12√3
P = 3 · 12√3 = 36√3
Sбок = ½ · 36√3 · 10 = 180√3
Sосн = (12√3)² · √3 / 4 = 108√3
Sполн = 180√3 + 108√3 = 288√3
Ответ: l = 10 см, Sполн = 288√3 см²