Теоретический_материал_с_разбором_примеров

1.

Интегральная теорема
Лапласа
МАТЕРИАЛ СО СТРАНИЦ С ПОМЕТКОЙ:
ЗАПИСАТЬ В ТЕТРАДЬ ДЛЯ ЛЕКЦИЙ
1

2. Интегральная теорема Лапласа

Интегральная
теорема
Муавра—Лапласа.
Если
вероятность р
наступления события А в каждом
испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
того, что число m наступления события А в n
независимых испытаниях заключено в пределах от а до b
(включительно), при достаточно большом числе n
приближенно равна
Pn (a m b) ( x2 ) − ( x1 ), где
( x) =
1
2
2
x
e
0
−t 2 / 2
dt ,
x1 =
a − n p
,
n p q
x2 =
b − n p
n p q

3. Интегральная теорема Лапласа

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа.
Свойства функции Ф(х):
1. Функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х).
2. Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при
x → , ( x) → 0.5, (практически можно считать, что
уже при х > 5 Ф(х) ≈ 0,5).
Интегральную теорему Лапласа применяют при n∙p >10.
Для функции Лапласа также имеются статистикоматематические таблицы.
3

4. Интегральная теорема Лапласа

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют
холодильники. Необходимо найти вероятность того, что из 400 семей от
300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники.
Решение. р = 80/100 = 0,8; n = 400, q = 0,2, a = 300, b = 360.
1. np = 0.8 ∙ 400 = 320 > 10, значит, можно применить интегральную
теорему Лапласа.
b − n p 360 − 400 0.8 40
a − n p 300 − 400 0.8 − 20
x
=
=
=
=5 .
=
=
= −2.5 ; 2
2. x1 =
n p q
400 0.8 0.2 8
8
n p q
400 0.8 0.2
3. Ф(-2,5)= -Ф(2,5) ≈
4.
-0,4938, Ф(5) ≈ 0,499997;
P400 (300 m 360) ( x2 ) − ( x1 ) = 0,499997 − (−0,4938) = 0,993793 .
Ответ: вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно)
имеют холодильники равна 0,993793.
4

5. Интегральная теорема Лапласа

Пример
По данным ремонтной мастерской, в течение гарантийного
срока выходят из строя в среднем 12 % кинескопов. Какова
вероятность того, что из 50 наугад выбранных кинескопов
проработают гарантийный срок:
а) 47 кинескопов;
б) не менее 47 кинескопов?
5

6. А) Решение: n=50 общее число выбранных кинескопов р=0,12 (вероятность, что кинескоп вышел из строя q=1-0,12=0,88 Если

проработают гарантийный срок ровно 47 кинескопов,
то 50-47=3 выйдут из строя
6
Ответ: 0,83269

7.

б) по интегральной теореме Лапласа:
n*р=50*0,88=44
n*p*q=50*0,88*0,12=5,28
7
Ответ : 0,0906

8. Интегральная теорема Лапласа

При скрещивании двух сортов люпина во втором
поколении ожидаемым отношением алкалоидных
растений к безалкалоидным является отношение 9:7.
Найти вероятность того, что среди полученных 150
гибридных растений
а)половина растений будут алкалоидными?
б)Более половины растений будут алкалоидными?
( р = 9/16 ≈ 0,5625; Р150(75) ≈ 0,02, Р150(76≤m≤150) ≈ 0,9382 )
8

9. Интегральная теорема Лапласа

1. Найти вероятность того, что среди 1000
новорожденных детей мальчиков будет:
a) не менее половины;
P1000 (500 m 1000) (31) − (−0,63) 0,5 − (−0,2357) = 0,7357.
b)
менее половины.
P1000 (0 m 499) = 0,2643
Принять, что вероятность рождения мальчика равна 0,51.
2.
При уборке картофеля повреждается в среднем 10%
клубней. Найти вероятность того, что в случайной
выборке из 200 клубней повреждено от 15 до 50 клубней.
( Р200(15 ≤ m ≤ 50) ≈ 0,881 )
9

10.

Формула Пуассона.
10

11. Формула Пуассона.

Если число независимых испытаний n достаточно
велико, а вероятность появления события в каждом
испытании отлична от 0 и 1 и мала (p – близка к 0), так
что n∙p ≤ 10 , то для вычисления вероятности появления
события k раз применяют формулу Пуассона.
Пуассон Симеон
(21.06.1781 - 25.04.1840)
Французский учёный, член Парижской АН,
почётный член Петербургской АН.
Труды Пуассона относятся к теоретической и
небесной механике, математике и
математической физике.
11

12. Формула Пуассона.

Теорема. Если вероятность p наступления события А в
каждом испытании постоянно близка к нулю, число
независимых испытаний n достаточно велико, то
вероятность того, что в n независимых испытаниях событие
А наступит m раз приближенно равна
Pn (m)
m
m!
e − ,
где = n p
Формулу Пуассона можно применять при λ ≤ 10.
Существуют статистико-математические таблицы для
распределения Пуассона.
12

13. Формула Пуассона.

Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова
вероятность того, что 1 сентября является днем рождения
одновременно четырех студентов факультета?
Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября,
равна р = 1/365. Так как р = 1/365 — мала, n = 1825 — велико и
λ = nр = 1825 • (1/365 ) = 5 < 10, то применяем формулу Пуассона:
P1825 (4)
m
m!
e
−
5 4 −5
625
625
625
= e =
=
0.18
5
5
4!
24 e
24 2.7
3443.7377
По таблицам можно точнее и быстрее найти Р(m,λ). Так для данного
примера P1825(4) = P(m, λ) = P(4,5) ≈ 0.17547.
Ответ: вероятность того, что 1 сентября является днем рождения
одновременно четырех студентов факультета равна 0,17547.
13

14. Пример. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей

окажется
.
5 нестандартных
14

15. Независимые повторные испытания. Схема

Наивероятнейшее число
Независимые
повторные испытания
n • p - q ≤ m0 ≤ n • p + p
n невелико,
р (или q) не очень
мало
n велико,
р (или q) не очень
мало
n велико,
р (или q) очень
мало
Формула Бернулли
Формула Лапласа
Формула Пуассона
Pn (m) = C nm p m q n − m
Pn (m)
npq < 10
x=
( x)
n p q
Pn (m)
m
e − ,
m− n p
m!
= n p
n p q
np < 10
npq >= 10
15

16.

ТАБЛИЦЫ
16

17.

Как пользоваться? Например,
значение ϕ (0, 23). Слева ищем
0,2 , сверху 3, на пересечении
получаем ϕ (0,23)= 0,3885
(все значения – это знаки после
запятой, т. е. 3503 - это 0,3503 и
т.п.).
17

18.

18

19.

19