Л1_Информатика

1.

Шаманов Анатолий Павлович
+7-912-658-93-70
Samanovanatolij409@gmail.com
1

2. Введение. Понятие информатики

ВВЕДЕНИЕ. ПОНЯТИЕ ИНФОРМАТИКИ
2

3. Термин Информатика

ТЕРМИН ИНФОРМАТИКА
Термин информатика возник в 60-х гг. ХХ века
во
Франции для названия науки,
занимающейся автоматизированной обработкой
информации с помощью электронных
вычислительных машин.
Французский термин “informatique”
(информатика) образован путем слияния слов
information (информация) и automatique
(автоматика).
3

4. Аспекты информатики

АСПЕКТЫ ИНФОРМАТИКИ
Информатика – это отрасль науки, изучающая
структуру и общие свойства информации, а также
вопросы, связанные с ее сбором, хранением, поиском,
переработкой, преобразованием, распространением и
использованием в различных сферах деятельности.
В соответствии с данным определением основными
аспектами информатики являются:
аппаратное обеспечение средств вычислительной
техники;
программное обеспечение средств вычислительной
техники;
средства взаимодействия аппаратного и программного
обеспечения;
средства взаимодействия человека с аппаратным и
4
программным обеспечением.

5. Структура информатики

СТРУКТУРА ИНФОРМАТИКИ
5
Hardware
Software
Brainware

6. Задачи информатики

ЗАДАЧИ ИНФОРМАТИКИ
Можно выделить три основные задачи информатики.
1. Исследование информационных процессов любой
природы.
2. Разработка информационной техники и создание
новых информационных технологий (ИТ) переработки
данных.
3. Решение проблем по внедрению компьютерной
техники и информационных технологий.
6

7.

Информатика как научная дисциплина
1.Теоретическая информатика.
2.Кибернетика.
3.Программирование
4. Искусственный интеллект.
5. Информационные системы.
6.Вычислительная техника.
7

8.

1.Теоретическая информатика.
Пять направлений или пять классов.
1.1.Дисциплины, опирающиеся на математическую логику:
-Теория алгоритмов
- Теория параллельных вычислений
- Теория автоматов
-Теория сетей Петри
1.2.Вычислительная математика и вычислительная геометрия.
1.3.Теория информации и теория кодирования.
1.4. Дисциплины, связанные с моделированием реальных объектов
-Системный анализ и теория систем
-Имитационное моделирование
- Системы массового обслуживания
1.5.Дисциплины, ориентированные на принятие решений:
- Теория принятия решений
- Теория игр
- Математическое программирование
- Исследование операций
8

9.

2.Кибернетика.
Кибернетику можно рассматривать как прикладную информатику
в области автоматизированных и автоматических систем управления.
В сущности до 70-х годов термин «кибернетика» использовался вместо
термина «информатика». Здесь:
- Математическая и прикладная лингвистика
-Теория автоматического управления
-Техническая диагностика
-теория распознавания образов
-бионика.
Главное – общие принципы управления объектами различной природы.
1.3.Программирование
1.4. Искусственный интеллект.
9

10.

5. Информационные системы.
5.1. Анализ прогнозирование потоков информации,
перемещающихся в обществе
5.2. Исследование способов представления
и хранения информации
5.3. Создание процедур и средств извлечения информации
5.4. Создание информационно-поисковых систем
5.5. Создание сетей для хранения, обработки
и передачи информации
6.Вычислительная техника.
10

11.

Раздел 1. ИНФОРМАЦИЯ
11

12.

1.1. ПОНЯТИЕ И ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ ИНФОРМАЦИИ
Как видно из определения информатики, ее функций и задач, приведенных в
разделе 1, одним из ключевых понятий информатики является информация.
Строгое определение информации отсутствует. Определения информации:
1) Информация (лат. informatio) - разъяснение, изложение, осведомленность.
Означает некоторые сведения, совокупность данных, знаний.
2) Продукт научного познания, средство изучения реального действия.
3) Сообщение, осведомление о положении дел, сведения о чем-либо,
передаваемые людьми.
4) Уменьшаемая, снимаемая неопределенность.
5) Сообщение, неразрывно связанное с управлением, сигналы в единстве
синтаксических, семантических и прагматических характеристик.
6) Передача, отражение разнообразия в любых объектах и процессах
(неживой и живой природы).
7) Отличная от вещественно-энергетических факторов сторона отражения,
воспринимаемая материальными системами со степенью организации,
достаточно высокой для ее хранения, переработки и дальнейшего
использования в целях управления, и выражающаяся в упорядоченных
сведениях о степени вероятности того или иного сообщения из возможного
12
разнообразия событий определенного вида.

13.

Мы примем следующее.
Информация – это сведения об окружающем мире (объекте,
процессе, явлении, событии), которые являются объектом
преобразования (включая хранение, передачу и т.д.) и используются для
выработки поведения, для принятия решения, для управления или для
обучения.
Характерными чертами информации являются следующие:
-Это наиболее важный ресурс современного производства: он
снижает потребность в земле, труде, капитале, уменьшает расход сырья и
энергии.
-Вызывает к жизни новые производства.
-Является товаром, причем продавец информации ее не теряет после
продажи.
-Придает дополнительную ценность другим ресурсам, в частности,
трудовым. Действительно, работник с высшим образованием ценится
больше, чем со средним.
-Информация может накапливаться.
13

14.

Как следует из определения, с информацией всегда связывают три
понятия (их взаимосвязь показана на рис. 1.1):
•источник информации – тот элемент окружающего мира, сведения о
котором являются объектом преобразования;
•потребитель информации – тот элемент окружающего мира, который
использует информацию;
•сигнал – материальный носитель, который фиксирует информацию для
переноса ее от источника к потребителю.
14

15.

1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ИНФОРМАЦИИ
Классификацию информации выполняют по нескольким основаниям
(эта классификация не является строгой и может меняться):
По времени возникновения:
а) априорная – известна потребителю заранее, до получения сигнала;
б) апостериорная – становится известной потребителю после
получения сигнала.
Так, получаемая сейчас читателем информация является априорной,
если он освоил азы информатики в школе, и апостериорной
в противном случае.
По стабильности:
а) переменная – отражает фактические характеристики источника
информации. Может меняться.
б) постоянная – неизменная и многократно используемая в
течение длительного периода времени. Строго говоря, и эта информация
может меняться, но с гораздо меньшей частотой, которой можно пренебречь.
По способу использования:
а) вспомогательная – необязательные данные;
б) закрытая – ее использование возможно с согласия определенных
15
физических или юридических лиц;
в) избыточная – дублирует данные;
г) коммерческая – является объектом купли-продажи.

16.

1.3. СВОЙСТВА ИНФОРМАЦИИ
Будучи объектом преобразования и использования, информация
характеризуется следующими свойствами:
•синтаксис – свойство, определяющее способ представления информации
на носителе (в сигнале). Так, данная информация представлена на
бумажном носителе с помощью определенного шрифта. Здесь же
можно рассматривать такие параметры представления информации, как
стиль и цвет шрифта, его размеры, формат бумаги и ее качество и т.д.
Выделение нужных параметров как синтаксических свойств,
очевидно, определяется предполагаемым способом преобразования.
Например, для плохо видящего человека существенным является размер и
цвет шрифта. Если предполагается вводить данный текст в компьютер
через сканер, важен формат бумаги.
16

17.

• семантика – свойство, определяющее смысл информации как
соответствие сигнала реальному миру. Так, семантика сигнала
«информатика» заключается в данном ранее определении. Семантика
может рассматриваться как некоторое соглашение, известное потребителю
информации, о том, что означает каждый сигнал (так называемое правило
интерпретации). Например, именно семантику сигналов изучает
начинающий автомобилист, штудирующий правила дорожного движения,
познавая дорожные знаки (в этом случае сигналами выступают сами
знаки). Семантику слов (сигналов) познаёт обучаемый какому-либо
иностранному языку. Можно сказать, что смысл настоящего обучения
информатике заключается в изучении семантики различных сигналов –
суть ключевых понятий этой дисциплины.
• прагматика – свойство, определяющее влияние информации на
поведение потребителя. Так прагматика информации, получаемой
читателем настоящего учебного пособия, заключается, по меньшей мере, в
успешной сдаче экзамена по информатике. Хочется верить, что этим
прагматика данного труда не ограничится, и он послужит для дальнейшего
17
обучения и профессиональной деятельности читателя.

18.

1.4. СИГНАЛ КАК МАТЕРИАЛЬНЫЙ НОСИТЕЛЬ
ИНФОРМАЦИИ
1.4.1. ВИДЫ СИГНАЛА
Сигнал может быть дискретным и непрерывным (аналоговым).
Дискретный сигнал слагается из счетного множества (т.е. такого
множества, элементы которого можно пересчитать) элементов (говорят –
информационных элементов). Именно в виде дискретного сигнала
представлена та информация, которую сейчас осваивает читатель. Набор
самых «мелких» элементов дискретного сигнала называется алфавитом, а
сам дискретный сигнал называют также сообщением.
Непрерывный сигнал – отражается некоторой физической
величиной, изменяющейся в заданном интервале времени. В виде
непрерывного сигнала представлена настоящая информация для тех
студентов – потребителей, которые посещают лекции по
информатике и через звуковые волны (иначе говоря, голос лектора),
носящие непрерывный характер, воспринимают материал.
Как мы увидим в дальнейшем, дискретный сигнал лучше поддается
преобразованиям, поэтому имеет преимущества перед аналоговым.
В то же время, в технических системах преобладает аналоговый 18
сигнал.

19.

1.4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА
Для преобразования аналогового сигнала в дискретный
используется процедура, которая называется квантованием.
Различают два вида квантования – по времени и по уровню
(дискретизацию).
Квантование по времени – замена непрерывной (по времени и
по уровню) функции x(t) (рис. 31а) некоторым множеством
непрерывных (по уровню) функций x(ti) (на рис. 1.1б i = {1,2,3,4}).
Рис. 1.1. Иллюстрация к квантованию по времени:
а) аналоговый сигнал x(t) до квантования;
б) дискретный (по времени) сигнал x(t) – результат квантования.
19

20.

Очевидно, дискретизация связана с потерей информации. В самом
деле, дискретный сигнал на рис. 1.1б не показывает, как ведет себя
исходный сигнал в моменты времени, например, между t3 и t4. Иначе
говоря, дискретизация связана с некоторой погрешностью , которая
зависит от шага дискретизации t = ti – ti-1.
Виды дискретизации различаются по регулярности отсчетов:
равномерная дискретизация, когда t постоянно;
неравномерная дискретизация, когда t переменно, причем этот вид,
в свою очередь, делится на подвиды:
адаптивную, когда t меняется автоматически в зависимости от
текущего изменения сигнала. Это позволяет увеличивать шаг
дискретизации, когда изменения сигнала x(t) незначительны, и
уменьшать – в противном случае;
программируемую, когда t изменяется оператором или в
соответствии с заранее выставленными условиями, например, в
фиксированные моменты времени.
20

21.

Квантование по уровню - преобразование непрерывных (по
уровню) сигналов x(ti) в моменты отсчета ti в дискретные. В результате
непрерывное множество значений сигнала x(ti) в диапазоне от xmin до xmax
преобразуется в дискретное множество значений xk – уровней
квантования (рис. 3.2). Шаг квантования x определяется по формуле:
x = xj – xj-1
.
Можно сказать, что квантование по уровню – это измерение
сигнала. В самом деле, по рис. 3.2б видно, что сигнал x(t1) составляет 0
уровней квантования (k = 0), а сигнал x(t4) – 2 уровня квантования (k = 2).
21

22.

Рис. 1.2. Иллюстрация к квантованию по уровню:
а) аналоговые по уровню (но дискретные по времени) сигналы x(ti) до
квантования;
б) квантованные по уровню сигналы x(ti).
22

23.

При квантовании по уровню не всегда сигнал x(ti) совпадает с уровнем
квантования (см. сигнал x(t2) на рис. 1.2б). В таком случае поступают одним
из следующих способов:
• x(ti) отождествляют с ближайшим значением (в нашем примере – с x2);
• x(ti) отождествляют с ближайшим меньшим (или большим) значением.
Тогда при отождествлении с ближайшим большим значением сигнал x(t2)
отождествится с x2 независимо от того, насколько близко он к этому уровню
квантования находится. При отождествлении с ближайшим меньшим
значением сигнал x(t2) отождествится с x1 также независимо от того,
насколько близко он к этому уровню квантования находится.
Очевидно, и при квантовании по уровню возникает погрешность
квантования (xk):
Погрешность квантования по уровню тем меньше, чем меньше шаг
квантования.
Виды квантования по уровню:
• равномерное, когда диапазон изменения сигнала разбивается на m
одинаковых частей. Тогда, зная размер шага квантования, для представления
xk достаточно знать число k.
• неравномерное, когда диапазон изменения сигнала разбивается на m 23
различных частей.

24.

1.5. КОДИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА
Для удобства последующего преобразования дискретный сигнал
подвергается кодированию. Большинство кодов основано на системах
счисления, причем использующих позиционный принцип образования
числа, при котором значение каждой цифры зависит от ее положения в
числе.
Кодирование информации — процесс преобразования сигнала из
формы, удобной для непосредственного использования информации, в
форму, удобную для передачи, хранения или автоматической
переработки.
Виды кодирования информации
Различают кодирование информации следующих видов:
кодирование текстовой информации;
кодирование цвета;
кодирование графической информации;
кодирование числовой информации;
кодирование звуковой информации;
24
кодирование видеозаписи

25.

В более узком смысле
Кодирование – это представление сигнала в определенной форме, удобной
или пригодной для последующего использования сигнала. Говоря строже, это
правило, описывающее отображение одного набора знаков в другой набор
знаков. Тогда отображаемый набор знаков называется исходным алфавитом, а
набор знаков, который используется для отображения, - кодовым алфавитом,
или алфавитом для кодирования. При этом кодированию подлежат как
отдельные символы исходного алфавита, так и их комбинации. Аналогично для
построения кода используются как отдельные символы кодового алфавита, так и
их комбинации.
Совокупность символов кодового алфавита, применяемых для кодирования
одного символа (или одной комбинации символов) исходного алфавита,
называется кодовой комбинацией, или, короче, кодом символа. При этом
кодовая комбинация может содержать один символ кодового алфавита.
Символ (или комбинация символов) исходного алфавита, которому
соответствует кодовая комбинация, называется исходным символом.
Совокупность кодовых комбинаций называется кодом.
Взаимосвязь символов (или комбинаций символов, если кодируются не
отдельные символы исходного алфавита) исходного алфавита с их кодовыми25
комбинациями составляет таблицу соответствия (или таблицу кодов).

26.

1.6. ИЗМЕРЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ
В информатике, как правило, измерению подвергается информация,
представленная дискретным сигналом. При этом различают следующие
подходы:
1.Синтаксический подход. Измеряет количество информации
простым подсчетом информационных элементов, составляющих
сообщение. Применяется для оценки возможностей запоминающих
устройств, объемов передаваемых сообщений, инструментов
кодирования без учета статистических характеристик их эксплуатации.
Количество информации здесь измеряется в битах, которые также
называют инженерными битами. Т.е. попросту подсчитывают количество
бит в сообщении.
Проблема в том, что одну и ту же информацию можно закодировать
разным количеством бит.
2.Семантический или вероятностный подход. Учитывает вероятность
появления сообщений: более информативным считается то сообщение,
которое менее вероятно, т.е. менее всего ожидалось. Применяется при
оценке значимости получаемой информации.
26

27.

Количество информации
В основе всей теории информации лежит открытие, что «информация
допускает количественную оценку». В простейшей форме эта идея была
выдвинута еще в 1928г. Хартли, но завершенный и общий вид придал ее
Шэннон в 1948г. При этом количество информации трактуется как мера
снятой неопределенности.
Пусть можно получить n сообщений по результатам некоторого опыта
(т.е. у опыта есть n исходов), причем известны вероятности получения
каждого сообщения (исхода) - pi. Тогда в соответствии с идеей Шеннона,
количество информации I в сообщении i определяется по формуле:
I = -log2 pi,
где pi – вероятность i-го сообщения (исхода).
Мера неопределенности, которая называется энтропией определяется
по формуле
27

28.

Энтропия измеряется также в битах, которые в данном случае
называются информационными битами. Может быть дробным
числом.
Энтропия и объем кода связаны между собой. Объем какого
либо сообщения (в битах) всегда больше или равен энтропии этого
сообщения (в битах).
28

29.

1.7. КАЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ
Качество информации является одним из важнейших параметров для
потребителя
информации.
Оно
определяется
следующими
характеристиками:
•репрезентативность – правильность отбора информации в целях
адекватного отражения источника информации. Например, в целях
большей репрезентативности данных о себе абитуриенты стремятся
представить в приемную комиссию как можно больше свидетельств,
дипломов, удостоверений и другой информации, подтверждающей их
высокий уровень подготовки, что учитывается при зачислении в ВУЗ;
•содержательность
–
семантическая
емкость
информации.
Рассчитывается как отношение количества семантической информации
к ее количеству в геометрической мере. Это характеристика сигнала,
про который говорят, что «мыслям в нем тесно, а словам просторно». В
целях увеличения содержательности сигнала, например, используют
для характеристики успеваемости абитуриента не полный перечень его
аттестационных оценок, а средний балл по аттестату;
29

30.

▪достаточность (полнота) – минимальный, но достаточный состав
данных для достижения целей, которые преследует потребитель
информации. Эта характеристика похожа на репрезентативность, однако
разница состоит в том, что в данном случае учитывается минимальный
состав информации, который не мешает принятию решения. Например,
абитуриент – золотой медалист может не представлять в приемную
комиссию свой аттестат: диплом, подтверждающий получение золотой
медали, свидетельствует о полном наборе отличных оценок в аттестате;
▪ доступность – простота (или возможность) выполнения процедур
получения и преобразования информации. Эта характеристика
применима не ко всей информации, а лишь к той, которая не является
закрытой. Для обеспечения доступности бумажных документов
используются различные средства оргтехники для их хранения, а для
облегчения их обработки используются средства вычислительной
техники;
30

31.

актуальность – зависит от динамики изменения характеристик
информации и определяется сохранением ценности информации для
пользователя в момент ее использования. Очевидно, что касается
информации, которая используется при зачислении, она актуальна, так
как само обучение уже закончилось, и его результаты изменены быть не
могут, а, значит, остаются актуальными;
своевременность – поступление не позже заранее назначенного
срока. Этот параметр также очевиден недавним абитуриентам:
опоздание с представлением позитивной информации о себе при
поступлении может быть чревато незачислением;
точность – степень близости информации к реальному состоянию
источника информации. Например, неточной информацией является
медицинская справка, в которой отсутствуют данные о перенесенных
абитуриентом заболеваниях;
достоверность – свойство информации отражать источник
информации с необходимой точностью. Эта характеристика вторична
относительно точности. В предыдущем примере получаемая
информация недостоверна;
устойчивость – способность информации реагировать на изменения
31
исходных данных без нарушения необходимой точности.

32.

32

33.

2.Системы счисления.
Введение
Современный компьютер и другие устройства вычислительной
техники основаны на использовании двоичной системы счисления.
Двоичная система счисления использует всего два символа 0 и 1, а
записи, сформированные из них, достаточно длинны и достаточно
плохо воспринимаются человеком. Для их интерпретации используется
шестнадцатеричная система, записи которой значительно короче и
легче воспринимаются человеком. Перевод же из шестнадцатеричной
системы в двоичную и наоборот весьма прост и нагляден, и, при
описании устройств вычислительной техники везде, где это возможно,
используется шестнадцатеричная система счисления. Поэтому для
правильного понимания работы вычислительных систем необходимо
знание двоичной и шестнадцатеричной систем счисления. И уж тем
более оно необходимо при написании программных продуктов.

34.

2.1.Понятие системы счисления.
Представление целых положительных чисел с помощью письменных знаков
(символов) называется нумерацией. Письменные знаки (символы), используемые
при нумерации, называются цифрами. Необходимо четко делать различие между
числом и символом (группой символов), которым пользуются для его
письменного воспроизведения. Например, для изображения числа «пять» могут
использоваться цифра 5 (десятичная система нумерации), цифра V (римская
система нумерации) или группа символов 101 (двоичная система нумерации). С
другой стороны, группа символов 10 может обозначать число «десять» в
десятичной системе или число 2 в двоичной системе. Иными словами, значение
символа зависит от системы нумерации и его положения в записи, тогда как с
числом всегда связана определенная количественная характеристика.
Совокупность правил записи чисел (способ соединения цифр для
обозначения числа) называется системой счисления. Системы счисления
подразделяются на позиционные и непозиционные.
Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных. Они
характеризуются тем, что в них символы, обозначающие то или иное число, не
меняют своего значения в зависимости от своего местоположения в записи этого
числа. Классическим примером такой системы является римская система
счисления. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита.
Значения основных цифр римской системы приведены в таблице 1.1.

35.

Таблица 1.1
Основные цифры римской системы счисления
Цифра
I
V
X
L
C
D
M
Значение
Единица
Пять
Десять
Пятьдесят
Сто
Пятьсот
Тысяча

36.

Для получения количественного эквивалента числа в римской системе
необходимо просто сложить количественные эквиваленты входящих в него
цифр. Исключение составляет случай, когда младшая цифра стоит перед
старшей – в этом случае количественный эквивалент младшей цифры берут
со знаком «минус». Некоторые примеры чисел в римской системе счисления
и их десятичные эквиваленты приведены в таблице 1.2.
Число в римской системе
III
Значение в десятичной
системе
1+1+1=3
IV
5-1=4
XII
10+1+1=12
XLV
-10+50+5=45
CDXVIII
MMDXCVII
100+500+10+5+1+1+1=418
1000+1000+50010+100+5+1+1=2597

37.

Непозиционные системы счисления имеют два существенных
недостатка:
1. с увеличением изображаемых чисел требуется неограниченное число
новых символов;
2. процедура выполнения арифметических операций в таких системах
счисления чрезвычайно сложна.
Поэтому, в настоящее время, непозиционные системы счисления
практически не используются.

38.

2.2.Позиционные системы счисления.
Позиционные системы счисления характеризуются следующим:
•Для записи любого числа используется ограниченный набор символов.
Число используемых символов называется основанием позиционной
системы счисления.
•Устанавливается взаимно - однозначное соответствие между набором цифр
и числами натурального ряда 0, 1, .., p-1, где p – основание системы
счисления. Таким образом, численный эквивалент любой цифры меньше
основания системы счисления.
•Место каждой цифры в числе называется позицией (отсюда, собственно,
название таких систем – позиционные).
•Номер позиции цифры в числе называется разрядом. Нумерация разрядов
начинается с нуля и выполняется справа налево. Разряд 0 называется
младшим разрядом.

39.

•Каждой цифре, в зависимости от ее позиции, ставится в соответствие
количественный эквивалент, определяемый по формуле
ak ∙ pk,
где
ak – численный эквивалент цифры, находящейся в разряде k;
p – основание системы счисления;
k – номер позиции цифры (ее разряд).
• Само значение числа (его количественный эквивалент) определяется
как сумма количественных эквивалентов, вычисленных по формуле (1.1),
всех цифр, входящих в запись числа.
•Для возможности выполнения операции сложения каждой паре чисел,
соответствующих каждое какой-либо одной цифре, ставится в соответствие
число, являющееся результатом их сложения. Аналогично, для
возможности выполнения операции умножения, каждой такой паре чисел
ставится в соответствие число, являющееся результатом их умножения.
Эти соответствия оформляются в виде таблицы сложения и таблицы
умножения.

40.

Таким образом, любое целое положительное число может быть
представлено в виде
an-1an-2 … a1a0= an-1 ∙ pn-1+ an-2 ∙ pn- 2+ … + a1 ∙ p1+ a0 ∙ p0,
где p – основание системы счисления (некоторое поло
жительное целое число);
ai – цифра данной системы счисления (0 ai <p);
n – число разрядов при написании числа.
В качестве основания системы счисления может быть использовано
любое натуральное число p>1. При заданном основании системы счисления
p, каждому натуральному числу соответствует единственное преставление
вида (1.2), и каждому представлению вида (1.2) соответствует единственное
натуральное число. Естественно, при этом лидирующие нули не
учитываются, например 000655 и 655 – это эквивалентные записи одного и
того же числа.

41.

Проиллюстрируем сказанное на привычной нам десятичной
системе. Набор цифр для десятичной системы счисления: {0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9}. Основание системы p=10. Любое число в десятичной системе,
согласно формуле (1.2) представляется в виде
A10=an-1an-2… a1a0=an-1∙10n-1+an-2∙10n-2+…+a1∙101+a0∙100, (1.3)
где каждое ai – одна из цифр множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Например,
625=6∙102 + 2∙101 +5∙100 = 6∙100+2∙10+5
или
1309=1∙103+3∙102+0∙101+9∙100 =1000+3∙100+9.
Таблицы умножения и сложения чисел и выполнение арифметических
операций в десятичной системе известны с начальной школы и здесь не
приводятся.
Далее мы будем рассматривать три системы счисления: двоичную,
десятичную и шестнадцатеричную. Это вызвано следующим:
•компьютер работает только с двоичной информацией;
•человек производит вычисления, используя десятичную систему;
•двоичная информация плохо воспринимается человеком, для ее
интерпретации удобнее использовать шестнадцатеричную систему.

42.

2.3. Двоичная система счисления.
Набор цифр для двоичной системы счисления: {0, 1}. Основание
системы p=2. Любое число в двоичной системе представляет собой
последовательность нулей и единиц. Для того чтобы подчеркнуть, что это
именно двоичная запись, в конце числа можно (но не обязательно)
поставить нижний индекс 2 или символ b (от английского binary –
“двоичный”). Последнее обозначение является обязательным при задании
двоичных констант на языке Assembler. Например,
5=1012=101b
или
1025=100000000012=10000000001b.
Согласно формуле (1.2), число в двоичной системе представляется в
виде
A2=an-1an-2 … a1a0=an-1∙2n-1+an-2∙2n-2+…+a1∙21+a0∙20,
(1.4)
где каждое ai – одна из цифр 0 или 1.
Например,
1012=1∙22 + 0∙21 +1∙20 = 1∙4+1
или
101002=1∙24+0∙23+1∙22 +0∙21+0∙20 =1∙16+1∙4=20.

43.

В формуле (1.4) разложение двоичного числа по степеням «двойки»
выполнено в десятичной системе. То же самое разложение можно записать,
используя только цифры двоичной системы
A2=an-1…a2a1a0=(an-1∙10n-1+…+a2∙1010+a1∙101+a0∙100)2.
(1.5)
Те же самые числа при использовании (1.5) будут выглядеть
следующим образом
1012=(1∙1010+0∙101+1∙100)2
и
101002=(1∙10100+0∙1011+1∙1010+0∙101+0∙100)2.
Таблицы умножения и сложения чисел и выполнение арифметических
операций в двоичной системе счисления выполняются подобно тому, как
это делается в десятичной системе, стой лишь разницей, что при этом
используются свои таблицы умножения и сложения, которые приведены
ниже.

44.

Таблица 1.3
Таблицы сложения и умножения двоичных чисел
Таблица
Таблица
сложени
я
умножени
я
0 1
0
0 1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1 1
0

45.

Пример. Сложить числа 101 и 11011.
Решение:
101
11011
---------------------100000
1
0
1
=
0
0
1
0
1
0
=
5
+
1
1
1
0
=
2
3
7
2

46.

При работе с двоичными числами важную роль играют
степени числа 2. Значения первых членов этого ряда, которые
приведены в таблице 1.4, желательно помнить.
Таблица 1.4
n
2n
n
2n
n
2n
n
2n
0
1
6
64
12
4 096
18
262 144
1
2
7
128
13
8 192
19
524 288
2
4
8
256
14
16 384
20
1 048 576
3
8
9
512
15
32 768
21
2 097 152
4
16
10
1 024
16
65 536
22
4 194 304
5
32
11
2 048
17
131 072
23
8 388 608

47.

Недостатком двоичной системы счисления является
необходимость использования большого числа символов при
записи даже сравнительно небольших чисел, что существенно
затрудняет их восприятие человеком. Например, число 1567
записывается в двоичном виде как 11000011111, а число 8763
как 10001000111011. Поэтому для интерпретации двоичной
информации используется шестнадцатеричная система, запись
чисел в которой значительно компактнее.
2.4. Шестнадцатеричная система счисления.
Набор цифр для шестнадцатеричной системы счисления и
их количественные эквиваленты приведены в табл.1.5.
Основание системы p=16.

48.

Таблица 1.5.
Цифры шестнадцатеричной системы счисления и их
количественные эквиваленты
Цифры
0
1
2
3
4
5
6
7
Количестве
нный
эквивалент в
десятичной
система
0
1
2
3
4
5
6
7
Цифры
8
9
A
B
C
D
E
F
Количественн
ый эквивалент в
десятичной
система
8
9
10
11
12
13
14
15

49.

Любое число в шестнадцатеричной системе представляет собой
последовательность перечисленных символов. Для того, чтобы
подчеркнуть, что это именно шестнадцатеричная запись, в конце
числа можно (но не обязательно) поставить нижний индекс 16 или
символ h или H. Последнее обозначение является обязательным при
задании шестнадцатеричных констант на языке Assembler, при этом
к числу добавляется лидирующий нуль, чтобы различать числа и
имена. Например,
161=A116=0A1h=0A1H
или
1025=40116=401h.

50.

Согласно формуле (1.2), число в шестнадцатеричной системе
представляется в виде
A16= an-1an-2 … a1a0= an-1∙(1016)n-1+an-2∙(1016)n-2+
…+a1∙(1016)1+a0∙(1016)0.
(1.6)
где каждое ai – одна из цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}.
Например,
10F16=1∙(1016)2 + 0∙(1016)1 +F∙(1016)0
В формуле (1.6) разложение шестнадцатеричного числа по
степеням «шестнадцати» выполнено в шестнадцатеричной
системе.

51.

То же самое разложение можно выполнить в десятичной системе
A16=an-1an-2…a1a0= αn-1∙16n-1+…+α2∙162+α1∙161+α0∙160. (1.7)
где каждое αi – количественный эквивалент соответствующей
цифры ai, аписанный в десятичной системе.
Те же самые примеры при использовании (1.5) будут выглядеть
следующим образом
10F16=1∙162+ 0∙161 +15∙16)0=256+15=27110
Таблицы умножения и сложения чисел и выполнение
арифметических операций в
шестнадцатеричной системе
счисления выполняются подобно тому, как это делается в
десятичной системе, стой лишь разницей, что при этом
используются свои таблицы умножения и сложения, которые
приведены ниже.

52.

Таблица умножения шестнадцатеричных чисел
0
0 0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
A 0
B 0
C 0
D 0
E 0
F 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E
3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D
4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C
5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B
6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A
7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69
8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78
9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87
A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96
B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5
C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4
D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3
E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2
F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1

53.

Таблица сложения шестнадцатеричных чисел
0
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
A A
B B
C C
D D
E E
F F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11
4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12
5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13
6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14
7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15
8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16
9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17
A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18
B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E

54.

2.5.Выполнение арифметических операций.
2.5.1. Сложение.
Пусть требуется сложить два числа A и B, записанных в системе
счисления с основанием p:
A= an-1an-2…a1a0= an-1∙pn-1+an-2∙pn-2+…+ a1∙p1+a0∙p0
и
B=bn-1bn-2…b1b0= bn-1∙ pn-1+bn-2∙pn-2+…+b1∙ p1+b0∙p0,
где p – основание системы счисления;
ai, bi – цифры этой системы счисления.
Результатом сложения этой пары чисел будет число C:
C=сnсn-1 … с1с0= cn∙ pn+cn-1∙pn-1+…+c1∙ p1+c0∙p0∙
(2.1)

55.

Сумму этой пары чисел
C=A+B=(an-1∙pn-1+an-2∙pn-2+…+a1∙p1+a0∙p0)+
+(bn-1∙pn-1+bn-2∙pn-2+ …+b1∙p1+b0∙p0)=
= (an-1+bn-1)∙pn-1+(an-2+bn-2)∙pn-2 +…
+(a1+b1)∙p1+(a0+b0)∙p0
(2.2)
будем определять в следующем порядке.
1 действие. Определяем цифру с0. Для этого складываем цифры нулевого
разряда слагаемых.
(a0+b0)=s1c0= s1∙p1+c0 p0,
где c0 – младшая цифра суммы цифр a0 и b0 и, соответственно, цифра
нулевого разряда для (2.1);
s1 – старшая цифра суммы цифр a0 и b0 и, соответсвенно, значение
переноса в первый разряд для (2.1);
При этом s1 может быть равным 0 или 1. Если s1=0, мы говорим, что перенос в
первый разряд отсутствует. Если s1=1, мы говорим, что есть перенос единицы в
первый разряд. Выражение для суммы приобретает вид
S= (an-1+bn-1)∙pn-1 + (an-2+bn-2)∙pn-2+…+(a1+b1+s1)∙p1+c0∙p0.
(2.3)

56.

2 действие. Определяем цифру с1. Для этого складываем цифры
первого разряда слагаемых и значение переноса из нулевого разряда
(a1+b1+s1)=s2c1= s2∙p1+c1∙p0,
где c1 – младшая цифра суммы цифр a1, b1 и s1 и, соответственно, цифра первого разряда для (2.1);
s2 – старшая цифра суммы цифр a0 и b0 и, соответсвенно, значение переноса во второй разряд для (2.1);
Выражение для суммы приобретает вид
S=(an-1+bn-1)∙pn-1+(an-2+bn-2)∙pn-2+…+(a2+b2+s2)∙p2+c1∙∙p1+c0∙p0.
Так будем продолжать пока не дойдем до разряда (n-1).

57.

Действие с номером n. Определяем цифры сn-1 и сn. Для этого
складываем цифры разряда (n-1) слагаемых и значение переноса из
разряда (n-2).
(an-1+bn-1+sn-1)=sncn-1= sn∙p1+cn-1∙p0,
где cn-1 – младшая цифра суммы цифр an-1, bn-1 и sn-1 и, соответственно, цифра разряда для (2.1);
s2 – старшая цифра суммы цифр a0 и b0 и, соответсвенно, значение переноса в разряд с номером n для (2.1);
Выражение для суммы приобретает вид
C= sn∙pn+cn-1∙pn-1+…+c2∙p2+c1∙p1+c0∙p0.
Примем cn=sn и, окончательно получим
C=сnсn-1 … с1с0= cn∙ pn+cn-1∙pn-1+…+c1∙ p1+c0∙p0∙
Эту же последовательность операций можно оформить в виде
сложения столбиком.

58.

2.5.2. Умножение.
Пусть требуется умножить два числа A и B, записанных в
системе счисления с основанием p:
A= an-1an-2…a1a0= an-1∙pn-1+an-2∙pn-2+…+ a1∙p1+a0∙p0
и
B=bm-1bm-2…b1b0= bm-1∙ pm-1+bm-2∙p-2+…+b1∙ p1+b0∙p0,
где p – основание системы счисления;
ai, bi – цифры этой системы счисления;
n, m – число разрядов, использованных для представления
первого и второго числа, соответственно.
Результатом умножения этой пары чисел будет число C:
C=сtсt-1 … с1с0= ct∙ pt+ct-1∙pt-1+…+c1∙ p1+c0∙p0,
где ct – цифры системы счисления;
t – число разрядов, использованных для представления
результата умножения.

59.

Для того чтобы выразить представление числа C через числа A и
B запишем их произведение в следующем виде:
C=A∙B=A∙(bm-1∙pm-1+…+b1∙p1+b0∙p0)=
= Qm-1∙pm-1+ Qm-2∙pm-2+…+Q1∙p1+Q0∙p0,
(2.4)
где Qi – произведение первого сомножителя на цифру i-го разряда второго сомножителя (промежуточное произведение
номером i):
Qi=A∙bi.=qi,nqi,n-1….qi,1qi,0,
где qi,k – цифра k-го разряда записи числа Qi.
Далее
Q1∙p1= q1,nq1,n-1….q1,1q1,0∙ p1= q1,nq1,n-1….q1,1q1,00,
Q2∙p2= q2,nq2,n-1….q2,1q2,0∙ p2= q2,nq2,n-1….q2,1q2,000,
Q3∙p3= q3,nq3,n-1….q3,1q3,0∙ p3= q3,nq3,n-1….q3,1q3,0000
и.т.д