СистемыСчисленияю Поз СС (1)

1. Системы счисления

1
Системы
счисления
§ 9. Системы счисления
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

2. Что такое система счисления?

2
Системы счисления, 10 класс
Что такое система счисления?
Система счисления — это правила записи
чисел с помощью специальных знаков —
цифр, а также соответствующие правила
выполнения операций с этими числами.
Счёт на пальцах:
Унарная (лат. unus – один) – одна цифра обозначает
единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)
▪ только натуральные числа
▪ запись больших чисел – длинная (1 000 000?)
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

3. Египетская десятичная система

3
Системы счисления, 10 класс
Египетская десятичная система
черта
–1
лотос
– 1000
– 1000000
хомут
– 10
палец
– 10000
человек
верёвка
– 100
лягушка
– 100000
=?
=1235
2014 = ?
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

4. Непозиционные системы счисления

4
Системы счисления, 10 класс
Непозиционные системы счисления
Непозиционная система счисления: значение
цифры не зависит от её места в записи числа.
• унарная
• египетская десятичная
• римская
«Пираты XX века»
• славянская
• и другие…
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

5. Римская система счисления

5
Системы счисления, 10 класс
Римская система счисления
I – 1 (палец),
V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)
Спасская башня
Московского Кремля
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

6. Римская система счисления

6
Системы счисления, 10 класс
Римская система счисления
Правила:
▪ (обычно) не ставят больше трех
одинаковых цифр подряд
▪ если младшая цифра (только одна!) стоит слева от
старшей, она вычитается из суммы (частично
непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV = 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1644
2389 = 2000 + 300 +
MM
CCC
80
LXXX
+
9
IX
2389 = M M C C C L X X X I X
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

7. Римская система счисления

7
Системы счисления, 10 класс
Римская система счисления
MCDLXVII =
MMDCXLIV =
MMMCCLXXII =
CMXXVIII =
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

8. Римская система счисления

8
Системы счисления, 10 класс
Римская система счисления
3768 =
2983 =
1452 =
1999 =
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

9. Римская система счисления

9
Системы счисления, 10 класс
Римская система счисления
▪ только натуральные числа (дробные?
отрицательные?)
▪ для записи больших чисел нужно вводить
новые цифры
▪ сложно выполнять
вычисления
Какое максимальное
число
?
можно записать?
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

10. Славянская система счисления

10
Системы счисления, 10 класс
Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)
Часы
Суздальского
Кремля
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

11. Системы счисления

11
Системы
счисления
§ 10. Позиционные системы
счисления
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

12. Определения

12
Системы счисления, 10 класс
Определения
Позиционная система: значение цифры определяется
ее позицией в записи числа.
Алфавит системы счисления — это используемый в
ней набор цифр.
Основание системы счисления — это количество цифр
в алфавите (мощность алфавита).
Разряд — это позиция цифры в записи числа. Разряды в
записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

13. Формы записи чисел

13
Системы счисления, 10 класс
Формы записи чисел
тысячи
сотни десятки единицы
3
2
1
0
разряды
развёрнутая форма
записи числа
6 3 7 5 = 6·103 + 3·102 + 7·101 + 5·100
6000 300 70
5
Схема Горнера:
6 3 7 5 = ((6 10 + 3) 10 + 7) 10 + 5
▪ для вычислений не нужно использовать
возведение в степень
▪ удобна при вводе чисел с клавиатуры,
начиная с первой
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

14. Перевод в десятичную систему

14
Системы счисления, 10 класс
Перевод в десятичную систему
Через развёрнутую запись:
=1
разряды: 3 2 1 0
12345 = 1 53 + 2 52 + 3 51 + 4 50 = 194
основание системы счисления
разряды: 3
2 1 0
a3a2a1a0 = a3 p 3 + a2 p 2 + a1 p 1 + a0 p 0
Через схему Горнера:
12345 = ((1 5 + 2) 5 + 3) 5 + 4 = 194
a3a2a1a0 = ((a3 p + a2) p + a1) p + a0
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

15. Перевод из десятичной в любую

15
Системы счисления, 10 класс
Перевод из десятичной в любую
194 = 12345 = ((1 5 + 2) 5 + 3) 5 + 4
делится на 5
остаток от деления на 5
a3a2a1a0 = ((a3 p + a2) p + a1) p + a0
a3a2a1 = (a3 p + a2) p + a1
остаток от
частное от деления на p
деления на p
? Как найти a1?
?
Как по записи числа в системе с
основанием p определить, что оно
делится на p2?
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

16. Перевод из десятичной в любую

16
Системы счисления, 10 класс
Перевод из десятичной в любую
10 → 5
194 5
190 38 5
4 35 7
3 5
2
194 = 12345
5
1
0
1
5
0
перевести в
? Как
систему с
основанием 8?
Делим число на p, отбрасывая остаток
на каждом шаге, пока не получится 0. Затем
надо выписать найденные остатки в обратном
порядке.
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

17. Задачи

17
Системы счисления, 10 класс
Задачи
Задача: в некоторой системе счисления число 71
записывается как «56x»? Определите основание
системы счисления X.
71 = 56X
• в записи есть цифра 6, поэтому X > 6
• переводим правую часть в десятичную систему
1 0
56x = 5·X1 + 6·X0= 5·X + 6
• решаем уравнение
71 = 5·X + 6 X = 13
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

18. Задачи

18
Системы счисления, 10 класс
Задачи
Задача: в некоторой системе счисления число 71
записывается как «155x»? Определите основание
системы счисления X.
71 = 155X
• в записи есть цифра 5, поэтому X > 5
• переводим правую часть в десятичную систему
2 1 0
155x = 1·X2 + 5·X1 + 5·X0
= X2 + 5·X + 5
• решаем уравнение
71 = X2 + 5·X + 5
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
X= 6
X = -11
http://kpolyakov.spb.ru

19. Задачи

19
Системы счисления, 10 класс
Задачи
Задача: найдите все основания систем счисления, в
которых запись десятичного числа 24 оканчивается на 3.
24 = k·X + 3
21 = k·X
X = 3, 7, 21
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

20. Задачи

20
Системы счисления, 10 класс
Задачи
Задача: найдите все десятичные числа,
не превосходящие 40, запись которых в системе
счисления с основанием 4 оканчивается на 11.
N = k·42 + 1·4 + 1 = k·16 + 5
При k =0, 1, 2, 3, … получаем
N = 5, 21, 37, 53, …
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

21. Задачи

21
Системы счисления, 10 класс
Задачи
Задача: Все 5-буквенные слова, составленные из букв А,
О и У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало
списка:
1. ААААА
А→0
1. 00000
в троичной
2. ААААО
2. 00001
O→1
системе!
3. ААААУ
3. 00002
У→2
4. АААОА
4. 00010
5. …
5. …
Найдите слово, которое стоит на 140-м месте от
начала списка.
на 1-м месте: 0
на 140-м месте: 139
? Сколько всего?
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
139 = 120113
ОУАОО
http://kpolyakov.spb.ru

22. Дробные числа

22
Системы счисления, 10 класс
Дробные числа
0,6375 = 6·0,1 + 3·0,01 + 7·0,001 + 5·0,0001
Развёрнутая форма записи:
разряды: -1 -2 -3 -4
0, 6 3 7 5 = 6·10-1 + 3·10-2 + 7·10-3 + 5·10-4
0, 1 2 3 45 = 1·5-1 + 2·5-2 + 3·5-3 + 4·5-4
перевод в десятичную систему
Схема Горнера:
0, 6375 = 10-1·(6 + 10-1·(3 + 10-1·(7 + 10-1·5)))
0,12345 = 5-1·(1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 + 5-1·4)))
перевод в десятичную систему
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

23. Дробные числа: из десятичной в любую

23
Системы счисления, 10 класс
Дробные числа: из десятичной в любую
0,12345 = 5-1·(1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 + 5-1·4)))
5·(0,12345)= 1 + 5-1·(2 + 5-1·(3 + 5-1·4))
целая часть
дробная часть
0,a1a2a3a4 = p-1 (a1 + p-1 (a2 + p-1 (a1 + p-1 a0)))
p (0,a1a2a3a4) = a1 + p-1 (a2 + p-1 (a1 + p-1 a0))
? Как найти a2?
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

24. Дробные числа: из десятичной в любую

24
Системы счисления, 10 класс
Дробные числа: из десятичной в любую
10 → 5
0,9376
Вычисления
Целая часть
Дробная часть
0,9376 5 = 4,688
0,688 5 = 3,44
0,44 5 = 2,2
0,2 5 = 1
4
3
2
1
0,688
0,44
0,2
0
0,9376 = 0,43215
10 → 5
0,3
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
? Что делать?
http://kpolyakov.spb.ru

25. Дробные числа: из десятичной в любую

25
Системы счисления, 10 класс
Дробные числа: из десятичной в любую
10 → 6
25,375 = 25 + 0,375
© К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru