10SiTV_B_20_prezentatsia

1.

Число
сочетаний

2.

Пример 1. Маша, Витя и Гена решают, кто их них
отправится на олимпиаду. Необходимо выбрать
только двух учеников. Сколькими способами они
могут это сделать?
Решение:
МВ, МГ, ВМ, ВГ, ГМ, ГВ – мы получили 6
вариантов
Но варианты МВ и ВМ являются одинаковыми,
потому что в данном случае нам не важно в
каком порядке мы поставим имена. Таким
образом, различными являются всего 3
комбинации – МВ, МГ, ВГ.

3.

Вопрос 1
Сколько будет вариантов выбрать
двух учеников, если к Маше, Вите и
Гене добавится Алёна?

4.

Вопрос 1
Сколько будет вариантов выбрать двух учеников,
если к Маше, Вите и Гене добавится Алёна?
Решение: В данном случае у нас будет 12
возможных комбинаций двух имен: МВ, МГ, МА,
ВМ, ВГ, ВА, ГМ, ГВ, ГА, АМ, АВ, АГ.
Каждая пара посчитана два раза.
Значит нам необходимо разделить на два – 6
вариантов составить пары.
Ответ: 6 комбинаций

5.

Числом сочетаний С#" (це из эн по ка)
называется количество способов выбрать k
элементов из n. (Комбинации, отличающиеся
только порядком, считаются одинаковыми).
Число
сочетаний
следующей формуле:
С%$ =
вычисляется
'!
)! ∗ ' − ) !
по

6.

Пример 2
Сколькими способами можно выбрать 3
предмета из 5?
Решение:
5!
5!
1∗2∗3∗4∗5
=
=
3! ∗ 5 − 3 ! 3! ∗ 2! 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 1 ∗ 2
= 10 способов
Ответ: 10 способами
С#" =

7.

Вопрос 2
Чем отличаются перестановки и
сочетания?

8.

Пример 3
Сколько существует способов
представить натуральное число
5 в виде суммы 2 натуральных
слагаемых? (суммы, которые
имеют
разный
порядок
слагаемых, считаются разными).

9.

Пример 3
Сколько
существует
способов
представить
натуральное число 5 в виде суммы 2 натуральных
слагаемых? (суммы, которые имеют разный
порядок слагаемых, считаются разными).
Решение:
1+4
4+1
2+3
3+2
Всего 4 способа.

10.

Пример 4
Сколько существует способов
представить натуральное число
n в виде суммы k натуральных
слагаемых? (суммы, которые
имеют
разный
порядок
слагаемых, считаются разными).

11.

Пример 4
Решение: запишем набор из n единиц.
111 … 111
# штук
Например, если ( = 9, а + = 3, то один из вариантов
разбиения – это 2, 5, 2. Тогда получим следующее:
11 11111 11
Таким образом, задачу можно свести к расставлению
черточек в ряде из ( единиц. Способов расставить
+ − 1 чисел в ( − 1 мест ровно С1/0
#/0 вариантов.

12.

Пример 3
Сколько
существует
способов
представить
натуральное число 5 в виде суммы 2 натуральных
слагаемых? (суммы, которые имеют разный
порядок слагаемых, считаются разными).
Решение:
! = 5, $ = 2
'!
(
С' =
= 4 способа
(!∗+!

13.

Задание 1
Вычислите:
!"!
%!
!&'!
!(!
!'!
а) ; б) ; в)
; г)
; д)
.
$!
&!
!&&!
%!∗&!
'!∗!"!
Задание 2
Вычислите:
(
&
$
'
%
а) С% ; б) С+ ; в) С!" ; г) С+ ; д) С, .

14.

Задание 3
Сравните числа:
#
$
"
(
&
#
а) С" и С" ; б) С% и С% ; в) С' и С' .
Задание 4
Вычислите:
"
)
$
)
а) С$ ; б) С$ ; в) С" ; г) С* .

15.

Задание 5
Из 9 актёров выбирают четырёх для игры в
массовке. Порядок выбранных людей не
важен. Сколько есть способов выбрать
актёров?
Задание 6
Из 9 актёров выбирают четырёх для игры в 4
ролях: горничная, няня, главная роль,
бизнесвумен. Сколько есть способов выбрать
актёров?

16.

Вопрос 3
Чем отличаются задачи 5 и 6?

17.

Задание 7
Выберите неверные утверждения:
1) При двукратном подбрасывании кубика будет
12 элементарных событий.
2) Если в гардеробе 5 пар обуви, 3 штанов и 2
футболки, то можно составить 15 образов.
3) Если в классе 30 человек и нужно выбрать двух
человек, которые пойдут на концерт, то есть 435
вариантов сделать это.
4) Если в команде 10 человек, то есть 45 вариантов
выбрать капитана и заместителя капитана.
5) Если у вас 6 книг, то есть 720 вариантов
расставить их на полке.

18.

Пример 5
В магазине на выбор предлагается
15
тетрадей
с
различными
животными, найдите вероятность
того, что при выборе двух тетрадей
Мария выберет тетрадь с зеброй, а
другую с котиком.

19.

Пример 5
Для того, что найти вероятность нам
необходимо
найти
общее
количество
возможных вариантов выбрать 2 элемента из 15,
в данном случае порядок не важен. Значит
будем использовать число сочетаний:
$
С"#
= 105
Нам походит только одно элементарное
событие из 105, значит вероятность равна
1
) * =
105

20.

Задание 8
Сколькими способами можно расставить на
шахматной доске 4 разные фигуры? Найдите
вероятность того, что 4 разные фигуры будут
стоять на клетках А1, А2, А3, А4.
Задание 9
Сколькими способами можно расставить на
шахматной доске четыре одинаковые
фигуры? Найдите вероятность того, что 4
одинаковые фигуры будут стоять на клетках
А1, А2, А3, А4.

21.

Задание 10
Сколько прямых можно провести через 10
точек, если никакие три точки не лежат на
одной прямой?
Задание 11
Сколько треугольников можно построить с
вершинами в 10 точках, если никакие три
точки не лежат на одной прямой?

22.

Задание 12
Сколькими способами можно составить
букет из пяти различных цветов, если
имеется 10 различных цветов?

23.

Задание 13
В классе 30 человек. Сколькими
способам можно выбрать 1 капитана и 2
его заместителей?

24.

Решение задания 13
Решение: допустим сначала мы выбираем
капитана. С$"# способов выбрать капитана.
Далее нам нужно выбрать 2 заместителей из 29
оставшихся человек, так как 1 уже стал
капитаном, получаем С%%& способов.
Так как для каждого капитана у нас С%%&
способов выбрать ему заместителей, то найдем
произведение
29!
$
%
С"# ∗ С%& = 30 ∗
= 30 ∗ 406 = 12 180
2! ∗ 27!

25.

Задание 14
В секции бадминтона 10 мальчиков и 15
девочек. Сколькими способами можно
сформировать команду на соревнования,
если в нее должны входить два мальчика и
две девочки. Найдите вероятность того, что
на соревнования в составе команды поедут
подружки Оля и Нина, которые занимаются
в данной секции.

26.

Решение задания 14
$
$
Мальчиков можно выбрать С"#
способами, девочек С"%
способами. Необходимо использовать число сочетаний, так
как не важен порядок. Всего вариантов будет равно
произведению кол-ва способов выбора мальчиков на кол-во
способов выбора девочек, т.е. необходимо использовать
комбинаторное правило умножения.
10!
15!
$
$
С"# ∗ С"% =
∗
= 45 ∗ 105 = 4 725
8! ∗ 2! 13! 2!
Количество способов выбрать двух мальчик, Олю и Нину
$
равно С"#
∗ 1, так как всего 1 способ выбрать Олю и Нину.
$
С"#
∗1
1
1 «Оля и Нина поедут на соревнования» = $
$ = 105
С"# ∗ С"%

27.

Задание 15
В классе, в котором учится 25 учеников,
разыгрывают по жребию 3 билета в цирк. С
какой вероятностью в цирк пойдут Ира,
Маша и Оля?

28.

Задание 16
На полке стоит 10 книг – 4 детектива и 6
фантастик.
a. Случайным образом берут 3 книги. Найдите
вероятность того, что 3 книги окажутся
детективами.
b. Случайным образом берут 3 книги. Найдите
вероятность того, что 3 книги окажутся
фантастикой.
c. Найдите вероятность того, что из 5 взятых
книг будет 3 детектива и 2 фантастики.

29.

Задание 17
В классе 16 девочек, среди которых есть три
подружки Алёна, Маша и Вика. На
следующей неделе будет проходить конкурс
стихотворений среди девочек. Учитель
случайным образом выбирает двух девочек.
Найдите вероятность того, что это будут две
из трех подружек.

30.

Задание 18
Слово «ГОРА» написали на картонке и
разрезали полоску на буквы. Затем в
случайном порядке выкладывают на стол.
Найдите вероятность того, что получилось
слово «РОГА».
Задание 19
Найдите вероятность тогда, что в pin-код
от банковской карточки содержится
цифра 5 (pin-код состоит из 4 чисел).

31.

Задание 20
Шесть друзей случайным образом
рассаживаются на скамейку. С
какой вероятностью Таня и Дима
будут сидеть рядом?

32.

Решение задания 20
ДТ**** ТД**** *ДТ*** *ТД*** **ДТ**
**ТД** ***ДТ* ***ТД* ****ДТ ****ТД

33.

Задание 21
4 одинаковых фигурок кошечек и 5
одинаковые фигурки собачек случайным
образом ставят на подоконник. С какой
вероятностью кошечки не будет стоять
рядом, то есть кошечки и собачки будут
чередоваться?