Степенная функция с натуральным показателем

1.

§ 9
Степенная функция
с натуральным показателем
Алгебра • 10 класс • Углублённый уровень

2.

01
·
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
02 / 12
Что такое степенная функция с натуральным показателем?
Функцию вида y = xⁿ, где n ∈ ℕ (n = 1, 2, 3, …), называют степенной функцией с натуральным
показателем.
Область определения
D(y) = ℝ
Выражение xⁿ имеет смысл при любом
действительном x.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Нуль функции
Единственный нуль: x = 0
(при любом натуральном n)
§ 9

3.

02
·
ЧЁТНЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ
03 / 12
Случай 1: n — чётное натуральное число (n = 2k)
Область значений
Знакопостоянство
E(y) = [0; +∞)
y > 0 на (−∞; 0) и (0; +∞)
Чётность
Монотонность
Чётная: (−x)ⁿ = xⁿ
Симметрия относительно оси Oy
Убывает на (−∞; 0]
Возрастает на [0; +∞)
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
n = 2k

4.

03
·
ГРАФИК ПРИ ЧЁТНОМ n
04 / 12
График — парабола «вверх» (ветви направлены вверх)
Вершина
1
(0; 0) — единственная точка минимума
Симметрия
2
Относительно оси ординат (Oy)
Квадранты
3
Ветви в I и II координатных четвертях
Особенность
4
Чем больше n, тем «круче» подъём и сильнее «прижатие» к оси Ox вблизи нуля
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
y = x², y = x⁴, …

5.

04
·
НЕЧЁТНЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ
05 / 12
Случай 2: n — нечётное натуральное число (n = 2k + 1)
Область значений
Знакопостоянство
E(y) = ℝ
y < 0 на (−∞; 0)
y > 0 на (0; +∞)
Чётность
Монотонность
Нечётная: (−x)ⁿ = −xⁿ
Симметрия относительно начала координат
Возрастает на всей области определения ℝ
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
n = 2k + 1

6.

05
·
ГРАФИК ПРИ НЕЧЁТНОМ n
06 / 12
График — кубическая парабола
Точка перегиба
1
(0; 0) — не вершина, а точка перегиба относительно оси Ox
Симметрия
2
Относительно начала координат (центральная симметрия)
Квадранты
3
Ветви в I и III координатных четвертях
Поведение
4
При x > 0 — y > 0; при x < 0 — y < 0. Функция строго возрастает
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
y = x³, y = x⁵, …

7.

06
·
СРАВНЕНИЕ СВОЙСТВ
07 / 12
Свойства функции y = xⁿ (n ∈ ℕ)
Свойство
n — чётное
n — нечётное
ℝ
ℝ
Область значений
[0; +∞)
ℝ
Нули функции
x=0
x=0
Чётность
Чётная
Нечётная
↓ на (−∞;0], ↑ на [0;+∞)
Возрастает на ℝ
Относительно оси Oy
Относительно начала координат
Область определения
Монотонность
Симметрия графика
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Таблица

8.

07
·
ГЛАВНОЕ ПРАВИЛО
08 / 12
Правило, которое нужно запомнить
Чётная степень
Если степень чётная → функция чётная → график симметричен относительно оси Oy
Нечётная степень
Если степень нечётная → функция нечётная → график симметричен относительно начала координат
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Запомнить!

9.

10.

11.

12.

08
·
ЗАДАНИЕ 1
09 / 12
Определение и базовые свойства
Для каждой функции укажите, является ли она степенной с натуральным показателем; если да — назовите показатель степени
n:
1. f(x) = x⁵
2. g(x) = 3x²
3. h(x) = √x
4. p(x) = x⁻³
5. q(x) = x
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Определение

13.

09
·
ЗАДАНИЕ 2
10 / 12
Чётность и симметрия графиков
Определите, какие из функций чётные, какие нечётные, какие — ни те, ни другие:
1.
3.
y = x⁴
y = x³ + x
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
2.
4.
y = x⁷
y = x⁶ − 2
Чётность

14.

10
·
ЗАДАНИЯ 3 и 4
11 / 12
Задание 3
Задание 4
Область определения и область значений
Сравнение значений (монотонность)
Найдите область определения и множество значений для
функций:
Не строя график, сравните значения:
• y = x³
• y = x⁸
• 2⁵ и 3⁵
• (−2)⁶ и (−3)⁶
• (−1)³ и (−2)³
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Область · Монотонность

15.

11
·
ЗАДАНИЯ 6 и 7
12 / 12
Задание 5
Задание 6
Решение уравнений графически
Неравенства со степенными функциями
Решите уравнение графически и аналитически:
Решите неравенство:
x³ = x
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
x⁴ > 16
Уравнения · Неравенства