борзенко

1.

ГМ в САПР. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОТСЕЧЕНИЯ
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМЫХ С ПЛОСКОСТЯМИ
МЫ РАССМОТРЕЛИ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ ДВУХ ОТРЕЗКОВ ПРЯМЫХ,
ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
РАССМОТРИМ ЕЩЁ ОДИН МЕТОД ПОДХОДЯЩИЙ
КАК ДЛЯ ОТРЕЗКОВ ПРЯМЫХ (2D), ТАК И ДЛЯ ПЛОСКОСТЕЙ (3D)
ПУСТЬ ПЕРЕСЕКАЮЩАЯ ПРЯМАЯ ЗАДАНА ПАРАМЕТРИЧЕСКИ,
А ПЕРЕСЕКАЕМЫЙ ОБЪЕКТ (ПЛОСКОСТЬ ИЛИ ПРЯМАЯ)
В ТОЧЕЧНОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
RAY (ЛУЧ)
RAY (ЛУЧ)
ОБЪЕКТ
В Т.Н.Ф.

2.

ГМ в САПР. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОТСЕЧЕНИЯ
РАССМОТРИМ ЛУЧ (RAY), ВЫХОДЯЩИЙ ИЗ ТОЧКИ A (ЗАДАННЫЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ) И ОБЪЕКТ (ПЛОСКОСТЬ), ЗАДАННЫЙ
В ТОЧЕНОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
ПЛОСКОСТЬ
n
n ( P − B) = 0
B
c
P
RAY R (t ) = A + c t
R(t ) A
t = t1
n ( P − B) = 0
n ( B − A) = n c t1
ПУСТЬ В ТОЧКЕ P ЗНАЧЕНИЕ
ПАРАМЕТРА
t = t1
P = R(t1 ) = A + c t1
n ( A + c t1 − B) = 0
n ( B − A)
t1 =
n c
t1 − ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДЛЯ 2D И 3D

3.

ГМ в САПР. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОТСЕЧЕНИЯ
ВАРИАНТЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛУЧА С ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ
2 n c 0
A
n
n (B − A)
t1 =
n c
1 n c = 0
R(t ) A
n 3D
c
c
B
B
R(t )
c
n
B
А
R(t ) B
P = R (t1 )
n
c
P = R (t1 )
3 n c 0
R(t )
R(t )
n
A
c
3D
B
P = R (t1 )
c
B
n
R(t )
P = R (t1 )
0
0
2D
= 90 2D
90
90
- УГОЛ МЕЖДУ НАПРАВЛЕНИЕМ ЛУЧА И НОРМАЛЬЮ
0

4.

ГМ в САПР. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОТСЕЧЕНИЯ
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ СЛОЖНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ОБЪЕКТ ЧАСТО МОДЕЛИРУЕТСЯ В ВИДЕ «СЕТКИ»
ИЗ ПОЛИГОНОВ – МНОЖЕСТВА ПРИМЫКАЮЩИХ
ДРУГ К ДРУГУ МНОГОУГОЛЬНИКОВ,
ОБРАЗУЮЩИХ «ОБОЛОЧКУ» (SKIN) ОБЪЕКТА
R (t ) = A + c t
R (t ) = A + c t
R (t П )
R (t ) = A + c t
ПРИ ЭТОМ ЛУЧ R (t ) = A + c t
БУДЕТ ПОПАДАТЬ В КАЖДЫЙ
ТАКОЙ МНОГОУГОЛЬНИК В ТОЧКЕ,
ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ
n ( B − A)
ПАРАМЕТРОМ t П =
n c
ЕСЛИ ОБОЛОЧКА ОБРАЗУЕТ ЗАМКНУТУЮ
ПОВЕРХНОСТЬ, ОГРАНИЧИВАЮЩУЮ НЕКОТОРУЮ
ЧАСТЬ ПРОСТРАНСТВА, ТО ОНА НАЗЫВАЕТСЯ
МНОГОГРАННИКОМ ИЛИ ПОЛИЭДРОМ

5.

ГМ в САПР. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОТСЕЧЕНИЯ
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ПОЛИГОНОВ
МНОГОУГОЛЬНИКИ (ПОЛИГОНЫ) ЯВЛЯЮТСЯ
ОСНОВНЫМИ ОБЪЕКТАМИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫМИ
КАК В ДВУМЕРНОЙ, ТАК И В ТРЁХМЕРНОЙ ГРАФИКЕ
P
L
R
ЕСЛИ ПОКАЗАННЫЙ НА РИСУНКЕ
ДВУМЕРНЫЙ ПОЛИГОН
ПОТРЕБУЕТСЯ ВИЗУАЛИЗИРОВАТЬ
В ГРАФИЧЕСКОМ ПРИЛОЖЕНИИ,
ТО НЕОБХОДИМО НАЙТИ ОТВЕТЫ
НА СЛЕДУЮЩИЕ ВОПРОСЫ -
1. ГДЕ НАХОДИТСЯ ЛИ ДАННАЯ ТОЧКА P
ВНУТРИ ИЛИ ВНЕ ПОЛИГОНА ?
2. В КАКОМ МЕСТЕ ДАННЫЙ ЛУЧ R ПЕРВЫЙ РАЗ
ПЕРЕСЕЧЕТ ГРАНИЦУ ПОЛИГОНА ?
3. КАКАЯ ЧАСТЬ ПРЯМОЙ L ЛЕЖИТ ВНУТРИ ПОЛИГОНА,
А КАКАЯ ВНЕ ЕГО ?

6.

ГМ в САПР. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОТСЕЧЕНИЯ
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ПОЛИГОНОВ
ЗАДАЧА УПРОЩАЕТСЯ, ЕСЛИ РАССМАТРИВАЕМЫЙ
ПОЛИГОН БУДЕТ ВЫПУКЛЫМ, ТАК КАК В ЭТОМ СЛУЧАЕ
ОН ПОЛНОСТЬЮ ОПИСЫВАЕТСЯ
НАБОРОМ «ОГРАНИЧИВАЮЩИХ ПРЯМЫХ»
L3
L2
РАССМОРИМ ВЫПУКЛЫЙ ПОЛИГОН
(ПЯТИУГОЛЬНИК), ОГРАНИЧЕННЫЙ
n ( P − B) = 0
L4
ПРЯМЫМИ L1 ...L5 ЗАДАННЫМИ В ТНФ L1
L5
КАЖДАЯ ОГРАНИЧИВАЮЩАЯ ПРЯМАЯ ОПРЕДЕЛЯЕТ ДВА
ПОЛУПРОСТРАНСТВА: ВНУТРЕННЕЕ, СОДЕРЖАЩИЙ ДАННЫЙ
ПОЛИГОН И ВНЕШНЕЕ, НЕ ИМЕЮЩЕЕ С НИМ ОБЩИХ ТОЧЕК
ПРИМЕНИМ РАССМОТРЕННЫЙ
МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ С ПЛОСКОСТЯМИ
ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛУЧА
С ОГРАНИЧИВАЮЩИМИ ПОЛИГОН ПРЯМЫМИ

7.

ГМ в САПР. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОТСЕЧЕНИЯ
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ПОЛИГОНОВ
n (C − D) = 0
Dt
ВЫХ
C
t ВХ A ПОЛИГОН
A
n
B
n ( A − B ) = 0
L(t ) = A + c t
n
ЛУЧ L(t ) = A + c t ПЕРЕСЕКАЕТ
ВЫПУКЛЫЙ ПОЛИГОН
ТАК КАК ПОЛИГОН ВЫПУКЛЫЙ, ТО ЛУЧ
ПЕРЕСЕКАЕТ ЕГО РОВНО ДВА РАЗА:
ОДИН РАЗ НА ВХОДЕ
t ВХ И ОДИН РАЗ НА ВЫХОДЕ t ВЫХ
СЛЕДОВАТЕЛЬНО ЗАДАЧА СВОДИТСЯ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ЭТИХ ЗНАЧЕНИЙ
A = A + c t ВХ
n ( A − B ) = 0
n ( B − A)
t ВХ =
n c
C = A + c t ВЫХ
n (C − D) = 0
n ( D − A)
t ВЫХ =
n c
ВХОДНАЯ ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
A = A + c t ВХ
ВЫХОДНАЯ ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ C = A + c t ВЫХ
ЛУЧ НАХОДИТСЯ ВНУТРИ ПОЛИГОНА P ДЛЯ ВСЕХ
t t ВХ
t ВЫХ

8.

ГМ в САПР. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ОТСЕЧЕНИЯ
ОТСЕЧЕНИЕ ОТРЕЗКА ВЫПУКЛЫМ ПОЛИГОНОМ
КАКАЯ ЧАСТЬ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ АС ДЛЯ ЗАДАННЫХ ТОЧЕК
А И С НАХОДИТСЯ ВНУТРИ ВЫПУКЛОГО ПОЛИГОНА Р ?
РАССМОТРИМ ОТРЕЗОК АС КАК ЧАСТЬ ПРЯМОЙ L(t ) = A + c t
ГДЕ ВЕКТОР c = (C − A)
В ТОЧКЕ А ПАРАМЕТР t = 0 , А В ТОЧКЕ С
t =1
ВАРИАНТЫ ЗАДАЧИ ОТСЕЧЕНИЯ
t ВХ 0
t ВЫХ 1 I
t ВХ
A
t =0
t ВХ 0
C
Р C t ВЫХ
t =1
C
A
(I)
A = A + c t ВХ
C = A + c t ВЫХ
t ВХ
t =0
A
Р
tВЫХ 1
1
A (II)
tВЫХ 1
C
tВЫХ 1
t ВХ 0
A = A + c t ВХ
C = C
II
A
t =1
t =0
(III)
Р
A = A t ВХ 0
III
t
1
C = C ВЫХ