Графы_урок_задачи_10класс

1.

ГРАФЫ
Вероятность и статистика • 10 класс
Учебник Е. А. Бунимовича

2.

Что такое граф
Граф — это набор точек (вершин),
соединённых линиями (рёбрами).
Вершины обозначают объекты: города, людей,
предметы.
A
B
Рёбра показывают связи между ними: дороги,
дружбу, отношения.
D
Ориентированный граф — рёбра со стрелками:
переход возможен только в направлении стрелки.
Маршрут — последовательность рёбер от одной
вершины к другой.
Вес графа — число рёбер; степень вершины —
число выходящих из неё рёбер.
Графы встречаются повсюду: карты дорог,
C
E
Пример графа: 5 вершин, 5 рёбер

3.

Дерево случайного опыта
Дерево — это граф без циклов,
который помогает перечислить все
исходы опыта.
Два броска монеты:
О
О
Корень — начало опыта (слева).
Каждое ребро — один вариант следующего
шага.
Р
Старт
О
Листья — все возможные исходы.
Р
Правило умножения:
Если первый шаг можно сделать m
способами, а второй — n способами, то оба
шага — m · n способами.
Вероятность события = число
благоприятных исходов / число всех
исходов.
Р
4 листа — 4 равновозможных исхода: ОО, ОР,
РО, РР

4.

Решаем задачи
Задача 1. Монета: два броска — какова вероятность получить одного орла и одну
решку?
Задача 2. Шары: из ящика с 4 красными и 3 синими шарами вынимают два шара.
Какова вероятность, что оба красные?
Задача 3. Граф дорог: сколько маршрутов ведёт из пункта А в пункт F, если двигаться
можно только по стрелкам?
После каждой задачи — подробное решение и ответ.
Подсказка: решайте сами, прежде чем смотреть ответ!

5.

Задача 1. Два броска монеты
Монету бросают дважды. С помощью дерева исходов найдите вероятность события A —
«выпадут орёл и решка (в любом порядке)».
Решение
Дерево: первый бросок — О или Р; второй бросок — снова О или Р.
Всего исходов: 2 · 2 = 4 (ОО, ОР, РО, РР) — все равновозможны.
Благоприятные: ОР и РО — их 2.
Ответ: P(A) = 2/4 = 0,5
Ответ: 0,5

6.

Задача 2. Два шара из ящика
В ящике 4 красных и 3 синих шара. Из него наугад вынимают два шара (без возвращения).
Найдите вероятность события B — «оба шара красные».
Решение
Первый шаг — 7 шаров, красных 4: вероятность 4/7.
Второй шаг — осталось 6 шаров, красных 3: вероятность 3/6 = 1/2.
По правилу умножения (дерево: два уровня):
P(B) = 4/7 · 1/2 = 4/14 = 2/7 ≈ 0,29
Ответ: 2/7 ≈ 0,29

7.

Задача 3. Маршруты в графе дорог
На рисунке — схема дорог. Сколько существует маршрутов из пункта А в пункт F, если
двигаться можно только по стрелкам?
В
А
Е
D
С
F
К
Подсчёт: из А в D — 2 пути (через В или С); из D в F — 2 пути (через Е или К).
По правилу умножения: 2 · 2 = 4 маршрута.

8.

Задача 3. Решение и ответ
Решение
Строим дерево маршрутов: корень — А, каждый уровень — следующий пункт.
Из А можно попасть только в В или С → 2 варианта.
Из В и из С — только в D → 1 вариант (число путей не меняется).
Из D — в Е или К → 2 варианта. Из Е и из К — только в F → 1 вариант.
Число маршрутов: 2 · 1 · 2 · 1 = 4.
Ответ: 4 маршрута
Проверьте: А-В-D-Е-F, А-В-D-К-F, А-С-D-Е-F, А-С-D-К-F

9.

Главное на уроке
• Граф — вершины и рёбра; им удобно описывать связи и схемы.
• Дерево случайного опыта перечисляет все исходы опыта.
• Правило умножения: m · n способов для двух последовательных шагов.
• Вероятность = благоприятные исходы / все исходы.
• Маршруты в графе удобно считать, приписывая вершинам число путей до них.
Спасибо за внимание!