Random_Variables_Presentation

1.

Դիսկրետ և անընդհատ
պատահական մեծություններ
Բաշխման ֆունկցիա, խտության ֆունկցիա,
մաթեմատիկական սպասում
[Անուն Ազգանուն]

2.

Ներկայացման պլան
1
Պատահական մեծության գաղափարը
2
Դիսկրետ պատահական մեծություններ
3
Բաշխման ֆունկցիա
4
Անընդհատ մեծություններ և խտություն
5
Մաթեմատիկական սպասում

3.

Ի՞նչ է պատահական մեծությունը
• Պատահական մեծությունը
փորձի ամեն ելքին
համապատասխանեցնում է թիվ
X : ելք → թիվ
• Նշանակում ենք X, Y, Z
1, 2, 3, 4, 5, 6
• Օրինակ՝ զառի նետման
ժամանակ X-ը վերևի նիշն է

4.

Պատահական մեծությունների երկու տեսակ
Դիսկրետ
Անընդհատ
Արժեքները առանձին
թվեր են՝ վերջավոր կամ
հաշվելի բազմություն
Արժեքները լցնում են
ամբողջ միջակայք
Օրինակ՝ զառի նիշը, թերի
արտադրանքի թիվը
Օրինակ՝ մարդու հասակը,
սպասման ժամանակը

5.

Դիսկրետ մեծության բաշխման շարք
Երկու մետաղադրամի նետում, X՝ զինանշանների թիվը
X
0
1
2
p
1/4
1/2
1/4
0,6
0,50
0,4
0,25
0,25
0,2
pi ≥ 0, Σ pi = 1
0,0
0
1
2

6.

Բաշխման ֆունկցիա
F(x) = P(X < x)
0 ≤ F(x) ≤ 1
F(x)-ը չնվազող է
F(−∞) = 0, F(+∞) = 1
P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a)

7.

Դիսկրետ մեծության բաշխման ֆունկցիա
1,00
x≤0 F=0
0,75
0 < x ≤ 1 F = 1/4
0,50
1 < x ≤ 2 F = 3/4
0,25
x>2 F=1
0,00
-1
0
1
x
2
3
Աստիճանային
ֆունկցիա, թռիչքները
p-ի չափով

8.

Անընդհատ պատահական մեծություն
• F(x)-ը անընդհատ ֆունկցիա է
• P(X = x) = 0 ցանկացած x-ի համար
• Հավանականությունը հաշվում ենք միջակայքերի
համար
Խտության ֆունկցիա՝ f(x) = F′(x)

9.

Խտության ֆունկցիայի հատկությունները
1
f(x) ≥ 0
2
∫ f(x) dx = 1 (−∞-ից +∞)
3
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx (a-ից b)
4
F(x) = ∫ f(t) dt (−∞-ից x)

10.

Օրինակ՝ f(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1
f(x) = 2x
-0,5
F(x) = x²
2
1,0
1
0,5
0
0,0
0
0,5
1
1,5
-0,5
0
0,5
P(0,5 < X < 1) = F(1) − F(0,5) = 1 − 0,25 = 0,75
1
1,5

11.

Մաթեմատիկական սպասում՝ դիսկրետ դեպք
M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn
Միջին արժեքը՝ կշռված հավանականություններով
Օրինակ՝ երկու մետաղադրամ
M(X) = 0·1/4 + 1·1/2 + 2·1/4 = 1

12.

Մաթեմատիկական սպասում՝ անընդհատ դեպք
M(X) = ∫ x · f(x) dx (−∞-ից +∞)
Գումարը փոխարինվում է ինտեգրալով
Օրինակ՝ f(x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1
M(X) = ∫ 2x² dx = 2/3 (0-ից 1)

13.

Մաթեմատիկական սպասման հատկությունները
M(C) = C
հաստատունի սպասումը հաստատունն է
M(CX) = C·M(X)
հաստատունը դուրս է գալիս
M(X + Y) = M(X) + M(Y)
գումարի սպասումը
M(XY) = M(X)·M(Y)
եթե X-ը և Y-ը անկախ են

14.

Համեմատություն
Դիսկրետ
Անընդհատ
հաշվելի բազմություն
միջակայք
Նկարագրում է
բաշխման շարք
խտության ֆունկցիա
F(x)
աստիճանային
անընդհատ
M(X)
Σ xp
∫ x f(x) dx
Արժեքներ

15.

Եզրակացություններ
• Դիսկրետ մեծությունը նկարագրվում է բաշխման
շարքով
• Անընդհատ մեծությունը՝ խտության ֆունկցիայով
• F(x)-ը և M(X)-ը սահմանվում են երկու տեսակի համար
էլ

16.

Գրականություն
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
М.: Высшая школа.
2. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: МЦНМО.
3. Ross S. A First Course in Probability. Pearson.
4. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications.
Wiley.